Gelanggang homomorfisme
Struktur aljabar
Struktur terkait
Teori bilangan aljabar
Teori bilangan dan desimal p-adik
Geometri aljabar
Geometri aljabar nonkomutatif
Aljabar bebas
Aljabar Clifford
Sebuah aljabar non-asosiatif[1] (atau aljabar distributif) adalah aljabar atas medan dimana operasi perkalian biner tidak beranggap sebagai asosiatif. Artinya, struktur aljabar A adalah aljabar non-asosiatif atas medan K jika itu adalah ruang vektor atas K dan kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-K pada A × A → A yang mungkin atau mungkin tidak asosiatif. Contohnya termasuk aljabar Lie, aljabar Jordan, oktonion, dan ruang Euklidean tiga dimensi kelengkapan dengan operasi produk silang. Karena perkalian tidak mengasumsikan asosiatif, penggunaan tanda kurung untuk menunjukkan urutan perkalian diperlukan. Misalnya, ekspresi (ab)(cd), (a(bc))d dan a(b(cd)) apabila semua dapat menghasilkan jawaban yang berbeda.
Meskipun penggunaan "non-asosiatif" ini berarti bahwa asosiatif tidak mengasumsikan, itu tidak berarti bahwa asosiatif tidak diperbolehkan. Dengan kata lain, "non-asosiatif" berarti "belum tentu asosiatif", seperti halnya "non-komutatif" berarti "belum tentu komutatif" untuk gelanggang nonkomutatif.
Aljabar adalah unital atau uniter jika memiliki elemen identitas e dengan ex = x = xe untuk semua x dalam aljabar. Misalnya, oktonion adalah unital, namun aljabar Lie bukan unital.
Struktur aljabar nonasosiatif dari A dipelajari dengan asosiasi dengan aljabar asosiatif lain yang merupakan subaljabar dari aljabar penuh endomorfisme-K pada A sebagai ruang vektor K. Dua seperti itu adalah aljabar turunan dan (asosiatif) aljabar menyelubungi, yang terakhir dalam arti "aljabar asosiatif terkecil A".
Lebih umum, beberapa penulis mempertimbangkan konsep aljabar non-asosiatif atas gelanggang komutatif R: Sebuah modul-R kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-R.[2] Jika sebuah struktur memenuhi semua aksioma gelanggang selain dari asosiatif (misalnya, aljabar R), maka secara alami adalah sebuah aljabar- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , jadi beberapa penulis menyebut aljabar- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } non-asosiatif sebagai gelanggang non-asosiatif.
Struktur seperti gelanggang dengan dua operasi biner dan tidak ada batasan lain adalah kelas yang luas, yang terlalu umum untuk dipelajari. Untuk alasan ini, jenis aljabar non-asosiatif yang terkenal memenuhi identitas, atau sifat, yang menyederhanakan perkalian. Ini termasuk yang berikut.
Misalkan x, y dan z menyatakan elemen arbitrer aljabar A atas medan K. Misal pangkat ke bilangan bulat positif (bukan nol) didefinisikan secara rekursif oleh x1 ≝ x dan lainnya xn+1 ≝ xnx[3] (pangkat kanan) atau xn+1 ≝ xxn[4][5] (pangkat kiri) tergantung pada penulis.
Untuk K dari karakteristik:
Jika K ≠ GF(2) atau dim(A) ≤ 3:
Jika char(K) ≠ 2:
Jika char(K) ≠ 3:
Jika char(K) ∉ {2,3,5}:
Jika char(K) = 0:
Jika char(K) = 2:
Asosiasi pada A adalah peta multilinear-K [ ⋅ ⋅ --> , ⋅ ⋅ --> , ⋅ ⋅ --> ] : A × × --> A × × --> A → → --> A {\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A} diberikan oleh
Ini mengukur tingkat nonasosiasi dari A {\displaystyle A} , dan apabila digunakan untuk mengekspresikan beberapa kemungkinan identitas yang dipenuhi oleh A.
Misalkan x, y dan z menyatakan elemen aljabar sebarang.
Inti adalah himpunan elemen yang terkait dengan semua elemen lain:[30] yaitu, n di A sebagai
Inti adalah subgelanggang asosiatif dari A.
Pusat dari A adalah himpunan elemen komutatif dan terkait dengan suatu di A, yang merupakan perpotongan dari
dengan inti. Ternyata untuk elemen C(A) cukup dua himpunan ( [ n , A , A ] , [ A , n , A ] , [ A , A , n ] ) {\displaystyle ([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])} adalah { 0 } {\displaystyle \{0\}} untuk yang ketiga juga merupakan himpunan nol.
Lebih banyak kelas aljabar:
Ada beberapa sifat yang mungkin familiar dari teori gelanggang, atau dari aljabar asosiatif, yang tidak selalu benar untuk aljabar non-asosiatif. Tidak seperti kasus asosiatif, elemen dengan invers perkalian (dua sisi) mungkin juga merupakan pembagi nol. Misalnya, semua elemen bukan-nol dari sedenion memiliki invers dua sisi, namun beberapa di antaranya juga merupakan pembagi nol.
Aljabar non-asosiatif bebas pada himpunan X atas medan K didefinisikan sebagai aljabar dengan basis yang terdiri dari semua monomial non-asosiatif, produk formal hingga dari elemen kurung penahan X. Produk dari monomial u, v dengan (u)(v). Aljabar adalah unital apabila jika mengambil produk kosong sebagai monomial.[31]
Kurosh membuktikan bahwa setiap subaljabar dari aljabar non-asosiatif bebas adalah bebas.[32]
Sebuah aljabar A atas medan-K khususnya adalah ruang vektor-K dan dengan demikian apabila mempertimbangkan aljabar asosiatif EndK(A) dari endomorfisme ruang vektor linear-K dari A. Apabila mengasosiasikan struktur aljabar pada A dua subaljabar EndK(A), aljabar turunan dan (asosiatif) sampul aljabar.
Sebuah turunan pada A adalah peta-D dengan sifat
Turunan pada A sebagai bentuk subruang DerK(A) di EndK(A). Komutator dari dua turunan merupakan turunan terus, sehingga braket Lie diberikan oleh DerK(A) struktur aljabar Lie.[33]
Ada peta linear L dan R yang melekat pada setiap elemen a dari aljabar A:[34]
Sampul aljabar asosiatif atau aljabar perkalian dari A adalah aljabar asosiatif yang dihasilkan oleh peta linear kiri dan kanan.[29][35] pusat dari A adalah pemusat aljabar sampul dalam aljabar endomorfisme EndK(A). Sebuah aljabar adalah pusat jika pusat massanya terdiri dari kelipatan skalar K dari identitas.[16]
Beberapa identitas yang mungkin dipenuhi oleh aljabar non-asosiatif dapat dengan mudah diekspresikan dalam bentuk peta linear:[36]
Wakilan kuadrat Q didefinisikan oleh:[37]
atau ekuivalen
Artikel tentang aljabar sampul universal menjelaskan konstruksi kanonik dari aljabar sampul, serta teorema tipe-PBW. Untuk aljabar Lie, aljabar bungkus tersebut memiliki sifat universal, yang tidak berlaku, secara umum, untuk aljabar non-asosiatif. Contoh yang terkenal adalah, aljabar Albert, aljabar Jordan tidak menyampul oleh konstruksi kanonik dari aljabar yang sampul untuk aljabar Jordan.
Lokasi Pengunjung: 3.145.11.77