Kekisi dikomplemenkan

Dalam matematika disiplin teori tatanan, sebuah kisi dikomplemenkan adalah kisi dengan elemen terkecil 0 dan elemen terbesar 1, dimana setiap elemen a memiliki dikomplemenkan, yaitu elemen b memuaskan a ∨ b = 1 dan a ∧ b = 0. Dikomplemen tidak menggunakan sifat unik.

Sebuah kisi dikomplemenkan relatif adalah kisi sedemikian rupa untuk setiap interval [ c , d ], dipandang sebagai kisi hingga sendiri, adalah kisi dikomplemenkan.

Sebuah ortokomplementasi pada kisi dikomplemenkan adalah involusi yang merupakan tatanan invers dan memetakan setiap elemen menjadi pelengkap. Kisi ortokomplementasi yang memenuhi bentuk lemah hukum modular disebut kisi ortomodular.

Dalam kisi distributif, komplemen bersifat unik. Setiap kisi distributif komplementer memiliki ortokomplementasi unik dan sebenarnya adalah aljabar Boolean.

Definisi dan sifat dasar

Sebuah kisi dikomplemenkan adalah kisi terbatas dengan elemen terkecil 0 dan elemen terbesar 1, dimana setiap elemen a memiliki dikomplemen, yaitu elemen b sedemikian rupa maka

a ∨ b = 1 dan a ∧ b = 0.

Secara umum suatu elemen mungkin memiliki lebih dari satu komplemen. Namun, dalam sebuah kisi distributif (terbatas) setiap elemen akan memiliki paling banyak satu dikomplemen.^[1] Kisi dimana setiap elemen memiliki tepat satu pelengkap disebut kisi dikomplemenkan unik^[2]

Kisi dengan sifat yang dilengkapi setiap interval (dipandang sebagai sub kisi) disebut kisi dikomplemen relatif. Dengan kata lain, kisi dikomplemen relatif dicirikan dengan sifat bahwa untuk setiap elemen a dalam interval [c, d] elemen b sedemikian rupa maka

a ∨ b = d dan a ∧ b = c.

Unsur b disebut pelengkap dari a relatif terhadap interval.

Kisi distributif dikomplemenkan jika dan hanya jika dibatasi dan relatif komplekmen.^[3]^[4] Kisi subruang dari ruang vektor memberikan contoh kisi komplementer yang secara umum tidak distributif.

Ortokomplementasi

Sebuah ortokomplementasi kisi terbatas adalah fungsi yang memetakan setiap elemen a sebagai "ortokomplemen" a^⊥ sedemikian rupa maka aksioma berikut dipenuhi:^[5]

Hukum komplekmen: a^⊥ ∨ a = 1 dan a^⊥ ∧ a = 0.
Hukum involusi: a^⊥⊥ = a.
Tatanan pembalik: jika a ≤ b maka b^⊥ ≤ a^⊥.

Sebuah kisi ortokomplemenkan atau ortokisi adalah kisi terbatas yang dilengkapi dengan ortokomplementasi. Kisi subruang dari ruang hasilkali dalam, dan operasi komplemen ortogonal, memberikan contoh kisi ortokomplemenkan yang secara umum tidak distributif.^[6]

Beberapa kisi dikomplemenkan
Dalam kisi segi lima N₅, simpul di sisi kanan memiliki dua komplemen.
Kisi berlian M₃ mengakui tidak ada ortokomplementasi.
Kisi M₄ sebagai 3 ortokomplementasi.
Kisi segi enam memiliki ortokomplementasi yang unik, tetapi tidak dikomplemenkan secara unik.

Aljabar Boolean adalah kasus khusus kisi ortokomplemenkan, yang gilirannya merupakan kasus khusus kisi dikomplemenkan dengan struktur ekstra. Ortokisi paling sering digunakan di logika kuantum, dimana tertutup subruang dari pisahan Ruang Hilbert mewakili proposisi kuantum dan sebagai kisi ortokomplementasi.

Kisi ortokomplementer, seperti aljabar Boolean yang memenuhi hukum de Morgan:

(a ∨ b)^⊥ = a^⊥ ∧ b^⊥
(a ∧ b)^⊥ = a^⊥ ∨ b^⊥.

Kisi ortomodular

Sebuah kisi disebut modular jika untuk semua elemen a, b dan c duimplikasikan sebagai

jika a ≤ c, maka a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c

Ini lebih dari sifat distributivitas, misalnya kisi yang ditunjukkan di atas M₃ bersifat modular, tetapi tidak distributif. Pelemahan alami lebih lanjut dari kondisi ini untuk kisi ortokomplementer yang diperlukan untuk aplikasi dalam logika kuantum, hanya memerlukannya dalam kasus khusus b = a^⊥. Oleh karena itu, kisi ortomodular didefinisikan sebagai kisi ortokomemen sehingga untuk dua elemen apa pun implikasinya.

jika a ≤ c, maka a ∨ (a^⊥ ∧ c) = c.

Bentuk kisi sangat penting untuk mempelajari logika kuantum, karena ini bagian dari aksiomisasi ruang Hilbert rumus mekanika kuantum. Garrett Birkhoff dan John von Neumann mengamati bahwa kalkulus proposisional dalam logika kuantum "secara formal tidak dapat dibedakan dari kalkulus subruang linear [dari ruang Hilbert] sehubungan dengan hasil himpunan, jumlah linear, dan ortogonal dikomplemenkan" sesuai dengan peran dan, atau dan tidak dalam kisi Boolean. Pernyataan ini telah memicu minat pada subruang tertutup dari ruang Hilbert yang membentuk kisi ortomodular.^[7]

Lihat pula

Kekisi pseudokomplemenkan

Catatan

^ Grätzer (1971), Lemma I.6.1, p. 47. Rutherford (1965), Teorema 9.3 hal. 25.
^ Stern, Manfred (1999), Semimodular Lattices: Theory and Applications, Ensiklopedia Matematika dan Aplikasi, Cambridge University Press, hlm. 29, ISBN 9780521461054 .
^ Grätzer (1971), Lemma I.6.2, hal. 48. Hasil ini berlaku lebih umum untuk kisi modular, lihat Latihan 4, hal. 50.
^ Birkhoff (1961), Corollary IX.1, hal. 134
^ (Stern 1999), p. 11.
^ Matentikawan Unapologetik: Pelengkap Ortogonal dan Kisi Subruang.
^ Ranganathan Padmanabhan; Sergiu Rudeanu (2008). Axioms for lattices and boolean algebras. World Scientific. hlm. 128. ISBN 978-981-283-454-6.

Referensi

Birkhoff, Garrett (1961). Lattice Theory. American Mathematical Society.
Grätzer, George (1971). Lattice Theory: First Concepts and Distributive Lattices. W. H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0442-3.
Grätzer, George (1978). General Lattice Theory. Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 978-0-12-295750-5.
Rutherford, Daniel Edwin (1965). Introduction to Lattice Theory. Oliver and Boyd.