迴圈量子重力

迴圈量子重力論（loop quantum gravity，LQG），又譯回圈量子引力论，英文別名圈引力（loop gravity）、量子幾何學（quantum geometry）；由阿貝·阿希提卡、李·斯莫林、卡洛·羅威利等人發展出來的量子引力理論，与弦理论同是當今將重力量子化最成功的理論。

利用量子场论的微扰理論来实现引力论的量子化的理论是不能被重整化的。如果主張时空只有四维而從廣義相對論下手，结果可以把廣義相對論转变成类似規範場論的理論，基本正則變量为阿希提卡-巴貝羅聯絡（英语：Ashtekar-Barbero Connection）而非度规张量，再以联络定义的平移算子（holonomy）以及通量變數（英语：flux variable）为基本變量來實現量子化。

在此理論下，時空描述是呈背景獨立，由關係性迴圈織出的自旋網路鋪成時空幾何。網絡中每條邊的長度為普朗克長度。迴圈並不存在於時空中，而是以迴圈扭結的方式定義時空幾何。在普朗克尺度下，時空幾何充滿隨機的量子漲落，因此自旋網絡又稱為自旋泡沫。在此理論下，時空是離散的。

迴圈量子引力通論與目標

多數弦論學家相信無法在3+1維時空中，將引力量子化而不產生物質與能量有關的人工產物。然而弦論所預測的物質有關的人工產物也未被證明是否真的與實際觀測到的物質不相同。不過若迴圈量子引力成功地成為引力的量子理論，則已知的物質場必須「事後」再加到此一理論中，而不是從理論中自然而然地出現。迴圈量子引力論的創始者之一李·斯莫林已思索過弦論與迴圈量子引力兩者可能分別是一個終極理論兩相不同的近似這樣的可能性。

目前迴圈量子引力聲稱具有的成功之處有：

其為3維空間幾何的非微擾量子化，具有量子化的面積與體積算符。
其包含了對於黑洞熵的計算。
其為弦論以外另一可行的理論，但僅只涉及引力的量子化（即非萬有理論）。

然而，這樣的聲稱尚未被完全接受。雖然許多迴圈量子引力的核心成果都是來自於嚴謹的數學物理，不過它們的物理詮釋仍多為推敲性質。迴圈量子引力是有可能成為引力或者是幾何的改進方案；舉例來說，(2)中的熵計算事實上是針對一種形式的「洞」來做的，這個洞可能是，也可能不是黑洞。

量子引力的其他方案，比如自旋泡沫模型，與迴圈量子引力密切相關。

迴圈量子引力的假设

迴圈量子引力的两个最重要的假设为

广义协变 - 物理学的定律可以用任何的坐标系来表示，这也是广义相对论的基本假设。
背景獨立 - 不存在可以作为背景的独立不变的度规，坐标系等。

迴圈量子引力也假设量子论的基本原理是正确的。举例广义协变的理论有广义相对论，非广义协变的理论有狭义相对论（狭义协变），非背景獨立的理论有牛顿力学（假设存在一条独立不变的时间轴），狭义相对论（其背景为闵可夫斯基空间，背景度规为闵可夫斯基度规），在背景电磁场中运动的电子的方程等，背景獨立的理论有广义相对论,度规张量的值完全由理论决定。

迴圈量子引力的基本内容

迴圈量子引力可以从广义相对论的ADM表示法推导。ADM表示法的正则变数为三维空间的度规张量 $q_{ab}$ 以及其正则动量 $P^{ab}$ 。使用狄拉克约束处理方法可得ADM表示法有两个第一类约束：

微分同胚约束: $-2q^{-{\frac {1}{2}}}\;^{3}\nabla _{a}P_{\ b}^{a}=0$
哈密顿约束: $-^{3}R+q^{-1}(P^{ab}P_{ab}-{\frac {1}{2}}P^{2})=0$

阿希提卡-巴贝罗联络

此时用卡当的几何法，用三足（triad）一次型来表示度规张量,

$e_{a}^{i}e_{b}^{j}\delta _{ij}=q_{ab}$

假设与三足相容的联络为 $\Gamma _{a}^{i}$ (称为自旋联络),三维空间的外部曲率张量为 $K_{a}^{i}$ , $\gamma$ 为任何实数，定义一个新的联络

$A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\gamma K_{a}^{i}$

即阿希提卡-巴贝罗联络。其正则动量为 $E_{i}^{a}=det(e)e_{i}^{a}$ 。使用狄拉克约束处理方法可得三个第一类约束:

高斯约束: $D_{a}E_{i}^{a}=0$
微分同胚约束: $F_{ab}^{i}E_{i}^{a}=0$
哈密顿约束: ${\frac {1}{\sqrt {|det(E)|}}}F_{ab}^{i}E_{j}^{a}E_{k}^{b}\epsilon _{ijk}+...=0$

$D_{a}$ 为阿希提卡-巴贝罗联络定义的协变微商， $F_{ab}^{i}$ 为阿希提卡-巴贝罗联络定义的曲率张量.由于有高斯约束的关系,所以迴圈量子引力是一种类似规范场论的理论.

參考文獻

書目

Rodolfo Gambini and Jorge Pullin, Loop Quantum Gravity for Everyone, World Scientific, 2020.
Carlo Rovelli, "Reality is not what it seems", Penguin, 2016.
Martin Bojowald, Once Before Time: A Whole Story of the Universe 2010.
Carlo Rovelli, What is Time? What is space?, Di Renzo Editore, Roma, 2006.
Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity, 2001

論文

（英文）迴圈量子引力論中的引力子傳遞子(Graviton propagator in loop quantum gravity) （页面存档备份，存于互联网档案馆）-- We compute some components of the graviton propagator in loop quantum gravity, using the spinfoam formalism, up to some second order terms in the expansion parameter.
（英文）量子引力與標準模型(Quantum Gravity and the Standard Model) （页面存档备份，存于互联网档案馆）-- Shows that a class of background independent models of quantum spacetime have local excitations that can be mapped to the first generation fermions of the standard model of particle physics.