布豐投針問題

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布豐投針問題（法語：Aiguille de Buffon，又译“蒲丰投針問題”），是法國學者布丰於18世紀提出的一個数学問題：^[1]

設我們有一個以平行且等距木紋舖成的地板（如右圖），現在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的機率。

使用積分幾何能找到此題的解。用該方法可設計一個求π的蒙地卡羅方法，不過這並非布豐的本意。^[2]

解法

設針的長度是 $\ell$ ，平行線之間的距離為 $t$ ， $x$ 為針的中心和最近的平行線的距離， $\theta$ 為針和線之間的銳角。

$x\in [0,t/2]$ 且均匀分布，其機率密度函數為 ${\frac {2}{t}}$ 。

$\theta \in [0,\pi /2]$ 且均匀分布，其機率密度函數為 ${\frac {2}{\pi }}$ 。

$x,\theta$ 兩個隨機變數互相獨立，因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的積：

{\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])

當 $x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta$ ，針和線相交，然後對 $x,\theta$ 積分得出所求機率。

要求上式的積分需要分為兩種情況：“短針” $({\ell }\leq t)$ 以及“長針” $({\ell }>t)$ ；以下考慮“短針”情況，計算上式積分得針與線相交的機率：

P=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}

作簡單變換可得 $\pi ={\frac {2\ell }{tP}}$ ,

當拋 $n$ 支針，其中有 $h$ 支針與線相交，利用多次重複試驗所觀察事件發生的頻率越來越接近機率的理論值 $P\approx {\frac {h}{n}}$ 。

近似可得 $\pi \approx {\frac {2\ell n}{th}}$

拉扎里尼的估計

1901年，意大利數學家马里奥·拉扎里尼（Mario Lazzarini）嘗試進行此實驗。他拋了3408次針，得到π的近似值為355/113。

拉扎里尼選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況，針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交，π約等於 $5/3\times n/x$ 。分母、分子少於五位數字，沒有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式 $355/113=5/3\times n/x$ ，得 $x=113n/213$ 。

為求x的值接近這個數，可以重覆拋213次針，若有113次是成功的，便可終止實驗，宣布這個方法求π值準確度不低；否則，就再拋213次針，希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。拉扎里尼做了 $3408=213\times 16$ 次。

參見

參考文獻

^ Histoire de l'Acad. Roy. des. Sciences (1733), 43–45; Histoire naturelle, générale et particulière Supplément 4 (1777), p. 46.
^ Behrends, Ehrhard. Buffon: Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht? (PDF). [14 March 2015]. （原始内容存档 (PDF)于2014-08-02）.

外部連結

维基共享资源上的相关多媒体资源：布豐投針問題

Buffon's Needle Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
Math Surprises: Buffon's Noodle （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
MSTE: Buffon's Needle （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Buffon's Needle Java Applet （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Estimating PI Visualization (Flash) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation) （页面存档备份，存于互联网档案馆） at slideshare
Animations for the Simulation of Buffon's Needle （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Yihui Xie using the R package animation
3D Physical Animation （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Jeffrey Ventrella
Padilla, Tony. Π Pi and Buffon's Needle. Numberphile. Brady Haran. [2013-04-09]. （原始内容存档于2013-05-17）.

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