小反屈扭稜二十面截半二十面體 類別 均勻星形多面體 對偶多面體 小六角星六十面體 名稱 小反屈扭稜二十面截半二十面體 參考索引 U 72 , C 91 , W 118 鮑爾斯縮寫 sirsid 考克斯特符號 施萊夫利符號 ß{3 ⁄2 威佐夫符號 | 3/2 3/2 5/2 面 112 邊 180 頂點 60 歐拉特徵數 F=112, E=180, V=60 （χ=-8） 面的種類 (40+60)個正三角形 五角星 頂點圖 (35 .5/3)/2 對稱群 Ih , [5,3], *532
小反屈扭稜二十面截半二十面體 （small retrosnub icosicosidodecahedron ）又稱為小逆反屈扭稜二十面截半二十面體 （small inverted retrosnub icosicosidodecahedron ）[ 1] [ 2] [ 3] 星形均勻多面體 ，由100個正三角形 和12個正五角星 組成[ 4] 72 ，對偶多面體 為小六角星六十面體 [ 5] 二十面體群對稱性 [ 6] [ 4] [ 7] 完全扭稜二十面體 拓樸同構[ 2]
乔治·奥利舍夫斯基将其赋予了“犹格·索托斯 ”的呢称。 (来自克苏鲁神话中的神灵名称 [ 8] [ 9]
小反屈扭稜二十面截半二十面體共由112個面 、180條邊 和60個頂點 組成[ 6] 歐拉示性數 為-8。[ 10] 正三角形 面和12個正五角星 面[ 11] 施萊夫利符號 ：{3/2}）[ 11] [ 12] [ 2] [ 12] 簡單多面體 ，也就是將自相交的部分分離開來，則這個立體會有3060個外部面[ 3]
在小反屈扭稜二十面截半二十面體的60個頂點中，每個頂點都是5個正三角形面和1個正五角星面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以正五角星、正三角形、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖 中可以用(5/3,3,3,3,3,3)/2 [ 13] 逆 反屈扭稜二十面截半二十面體則為 (5/2.3.3.3.3.3)/2 [ 14] [5/3,35 ] [ 2] /2 」來表示整個頂角的周邊面繞了頂點兩圈。
另一種表示方式則是將反向相接的正三角形也考慮進來，此時三角形在頂點周圍的分布方式則為三角形與反向相接的正三角形交錯出現，即面在頂點周圍排列的順序是依照：正三角形、反向相接的正三角形、三角形、反向相接的正三角形、三角形和五角星來排列，這種頂角的結構在頂點圖中可以用(3.3/2.3.3/2.3.5/2) [ 11] [ 6] [ 3] [(3/2,3)2 ,5/2,3] [ 15]
小反屈扭稜二十面截半二十面體在考克斯特—迪肯符号 [ 16] [ 15] [ 16] 施萊夫利符號 中可以表示為ß{3 ⁄2 | 3/2 3/2 5/2 [ 11] [ 17] [ 6]
若小反屈扭稜二十面截半二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：[ 5]
R
=
13
+
3
5
− − -->
102
+
46
5
4
≈ ≈ -->
0.58069480013
{\displaystyle R={\frac {\sqrt {13+3{\sqrt {5}}-{\sqrt {102+46{\sqrt {5}}}}}}{4}}\approx 0.58069480013}
邊長為單位長的小反屈扭稜二十面截半二十面體，中分球 半徑為：[ 4]
R
M
=
9
+
3
5
− − -->
2
(
51
+
23
5
)
4
≈ ≈ -->
0.29530738375898
{\displaystyle R_{M}={\frac {\sqrt {9+3{\sqrt {5}}-{\sqrt {2\left(51+23{\sqrt {5}}\right)}}}}{4}}\approx 0.29530738375898}
小反屈扭稜二十面截半二十面體的凸包是一個非均勻的截角十二面体 ，其十邊形面由等角但不等邊的十邊形組成。[ 18]
小反屈扭稜二十面截半二十面體共有兩種二面角 ，分別為三角形面和三角形面的二面角，以及五角星面和三角形面的二面角。[ 4]
其中，三角形面和三角形面的二面角角度約為24.33度：
∠ ∠ -->
{\displaystyle \angle }
,
{\displaystyle ,}
=
arccos
-->
(
3
+
2
5
3
)
≈ ≈ -->
0.42467279
≈ ≈ -->
24.331958571
∘ ∘ -->
{\displaystyle \,=\arccos \left({\frac {\sqrt {3+2{\sqrt {5}}}}{3}}\right)\approx 0.42467279\approx 24.331958571^{\circ }}
而五角星面和三角形面的二面角角度約為44.4575度：
∠ ∠ -->
{\displaystyle \angle }
,
{\displaystyle ,}
=
arccos
-->
(
15
(
15
− − -->
2
5
− − -->
2
5
(
6
5
− − -->
13
)
)
15
)
≈ ≈ -->
0.775930307
≈ ≈ -->
44.457531808
∘ ∘ -->
{\displaystyle \,=\arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(15-2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {5\left(6{\sqrt {5}}-13\right)}}\right)}}{15}}\right)\approx 0.775930307\approx 44.457531808^{\circ }}
小反屈扭稜二十面截半二十面體的頂點座標為下列座標的偶置換 ：[ 4]
(
± ± -->
(
1
− − -->
φ φ -->
− − -->
α α -->
)
,
0
,
± ± -->
(
3
− − -->
φ φ -->
α α -->
)
)
{\displaystyle \left(\pm \left(1-\varphi -\alpha \right),0,\pm \left(3-\varphi \alpha \right)\right)}
(
± ± -->
(
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
α α -->
)
,
± ± -->
2
,
± ± -->
(
2
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
φ φ -->
α α -->
)
)
{\displaystyle \left(\pm \left(\varphi -1-\alpha \right),\pm 2,\pm \left(2\varphi -1-\varphi \alpha \right)\right)}
(
± ± -->
(
φ φ -->
+
1
− − -->
α α -->
)
,
± ± -->
2
(
φ φ -->
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
1
− − -->
φ φ -->
α α -->
)
)
{\displaystyle \left(\pm \left(\varphi +1-\alpha \right),\pm 2\left(\varphi -1\right),\pm \left(1-\varphi \alpha \right)\right)}
其中
φ φ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
黃金比例 ，
且
α α -->
=
3
φ φ -->
− − -->
2
{\displaystyle \alpha ={\sqrt {3\varphi -2}}}
^ Eric W. Weisstein. Small Inverted Retrosnub Icosicosidodecahedron . archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-08-23 ] . （原始内容存档 于2021-12-01）. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Richard Klitzing. small (inverted) retrosnub icosicosidodecahedron, retrosnub disicosidodecahedron, yog sothoth, sirsid . bendwavy.org. [2022-08-23 ] . （原始内容存档 于2022-04-08）. ^ 3.0 3.1 3.2 Robert Webb. Small Inverted Retrosnub Icosicosidodecahedron ("Yog Sothoth") . software3d.com. [2022-08-23 ] . （原始内容存档 于2021-10-29）. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 David I. McCooey. Small Retrosnub Icosicosidodecahedron . [2022-08-23 ] . （原始内容存档 于2022-02-14）. ^ 5.0 5.1 Weisstein, Eric W. (编). Small Retrosnub Icosicosidodecahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Maeder, Roman. 72: small retrosnub icosicosidodecahedron . MathConsult. ^ Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80) . Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27 ] . （原始内容存档 于2013-09-02）. ^ Birrell, Robert J. The Yog-sothoth: analysis and construction of the small inverted retrosnub icosicosidodecahedron (学位论文). California State University. May 1992. ^ Bowers, Jonathan. Uniform Polychora (PDF) . Reza Sarhagi (编). Bridges 2000. Bridges Conference: 239–246. 2000 [2023-01-01 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2022-10-21）. ^ Zvi Har'El and Roman E Mäder. small retrosnub icosicosidodecahedron . gratrix.net. [2022-08-23 ] . （原始内容存档 于2021-04-01）. ^ 11.0 11.1 11.2 11.3 Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #77, small retrosnub icosicosidodecahedron . harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14 ] . （原始内容存档 于2022-08-23）. ^ 12.0 12.1 Jonathan Bowers. Polyhedron Category 6: Snubs . polytope.net. （原始内容 存档于2021-10-19）. ^ Jim McNeill. Augmenting the small retrosnub icosidodecahedron . orchidpalms.com. [2022-08-23 ] . （原始内容存档 于2012-06-10）. ^ Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF) . Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-23 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2022-08-14）. ^ 15.0 15.1 Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF) . tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-23 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2022-08-14）. ^ 16.0 16.1 Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices . bendwavy.org. [2022-08-07 ] . （原始内容存档 于2018-07-07）. ^ Eric W. Weisstein. Small Retrosnub Icosicosidodecahedron . archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-08-23 ] . （原始内容存档 于2021-12-09）. ^ Robert J Birrell. The Yog-sothoth : analysis and construction of the small inverted retrosnub icosicosidodecahedron (M.Sc.论文). California State University, Northridge. 1992.
