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群论
	;
	群
基本概念
	子群 · 正规子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直积 · 直和; 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積
离散群
	有限單群分類 ; 循環群 Zn ; 交错群 An ; 李型群; 散在群; 马蒂厄群 M11..12,M22..24; 康威群 Co1..3 ; 扬科群 J1..4 ; 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24; 子魔群（英语：sub monster group） B; 魔群 M; 其他有限群; 对称群, Sn; 二面体群, Dn; 无限群; 整数, Z; 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z);
连续群
	李群; 一般线性群 GL(n); 特殊线性群 SL(n); 正交群 O(n); 特殊正交群 SO(n); 酉群 U(n); 特殊酉群 SU(n); 辛群 Sp(n); G2 F4 E6 E7 E8; 勞侖茲群; 庞加莱群;
无限维群
	共形群; 微分同胚群 ; 环路群 ; 量子群 ; O(∞) SU(∞) Sp(∞);
代数群
	椭圆曲线; 线性代数群（英语：Linear algebraic group）; 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
	查; 论; 编;

魔群（英語：Monster group）或怪獸群，或友善巨人（the Friendly Giant）或費雪─格里斯怪獸（Fischer-Griess Monster），是一個有限單群，是26個散在群的其中之一，一般常將之記作M或F₁。

怪獸群的階是26個散在群中最大的，其階為

	2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
=	808017424794512875886459904961710757005754368000000000
≈	8 · 10⁵³

有限單群的分類已完成(見有限單群分類一文)。每個有限單群都屬於當中有的18類可數無限族中，或不包含於那些可系統化模式的18類可數無限族中，那26個的「散單群」中。而怪獸群是那26個散單群中階數最大的群。而二十六個散單群除了六個，其餘的散單群均是怪獸群的子集合。羅伯特‧格里斯(Robert Griess)將那六個不為魔群子集的群稱為「低群」(pariahs)，並以「快樂大家族」(the happy family)一詞稱呼其他的散單群。

或許對怪獸群最好的定義方式，就是將之定義為同時包含康威群(Conway group)和費歇爾群（英语：Fischer group）的有限單群中階最小者（怪獸群雖為散在群中階最大的，但這不表示它是所有有限單群中階最大的，其他類的有限單群中有階比其更大者存在）。

存在性與唯一性

怪獸群的存在性最早在1973年為貝恩德‧費雪(Bernd Fischer，他未出版相關想法)與羅伯特‧格里斯所預測，他們當時認為存在一個單群，該單群包含子怪獸群中做為某個對合的中心化子的某個雙覆蓋。數月後，M的階被格里斯以湯普森階公式(Thompson order formula)計算出，而費雪(Fischer)、康威(Conway)、諾頓(Norton)與湯普森(Thompson)等人則發現此群包含了其他的群做為其子商，被包含的群包括了許多已知的散單群，此外他們還發現了兩個新的單群：湯普森群和原田-諾頓群。格里斯將怪獸群建構為格里斯代數(一個196884維的交換非結合代數)的自同構群。約翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)隨後簡化了其建構。

格里斯的建構證明了怪獸群的存在。約翰‧湯普森(John G. Thompson)則說明了其做為階為此數的單群的唯一性可由一個196883維忠實表示法的存在得出。該表示法的存在性在1982年為西蒙‧諾頓(Simon P. Norton)提出，然而他從未發表此證明的細節。第一個關於怪獸群唯一性的證明則由格里斯、麥爾法蘭肯菲爾德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)給出。

月光猜想

怪獸群是康威(Conway)和諾頓(Norton)所提出的怪兽月光理论的兩個主要成份之一。此猜想與離散和非離散數學相關，並在1992年為理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所證明。

在此設定下，怪獸群可由怪獸群模組的自同構群示現：亦即由一作用在怪獸李代數上，屬廣義Kac–Moody代數，且包含Griess代數的無窮維代數的頂點算子代數示現而出。

表示與維度

　　一個忠實的複數表示的最小度數是196,883，它是怪獸群階數可分得3個因子乘積的分割。當中怪獸群的最小忠實排列表示是 2⁴ · 3⁷ · 5³ · 7⁴ · 11 · 13² · 29 · 41 · 59 · 71 (約 10²⁰)點。他可被視為有理數上的一個伽罗瓦群(Thompson 1984，p. 443)而實現，並視為一個胡爾維茲群(Hurwitz group)(Wilson 2004)。

　　怪獸群在單群中並不平常，因並沒有已知的簡單規則或方法可表示他的元素，而這並非起因於他大小的表示因素。例如，單群"A"₁₀₀和SL₂₀（2）相對是大，但容易計算，因為它們是具已知的置換或線性表示；交錯群具有與之的大小相較下的置換表示，且所有有限單李型式群有線性表示。除了怪物群之外的所有散單群體也具有足夠小的線性表示，以至於它們易於在計算機上工作（而難度僅次於怪物群的，為可分割成維度4370的小怪獸群(baby Monster)表示）。

麥凱的E₈觀察

怪獸群和擴張登金圖(Dynkin diagram) ${\tilde {E}}_{8},$ 亦存在著關係，其關聯在圖結點與怪獸群同餘類之間表現得更明顯，此關聯又被稱作「麥凱的E₈觀察」(McKay's E₈ observation)^[1]^[2]

子群結構

Sporadic Finite Groups Showing (Sporadic) Subgroups

怪獸群包含了至少44個共軛類的極大子群。六十數種同構類型的非交換單群，亦包含在怪獸群中，做為怪獸群的子群或子群的商群。

怪獸群的子群包括了26個散在群中的多數，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之圖是基於馬克‧羅南(Mark Ronan)所撰的書《Symmetry and the Monster》的，表明這些散在單群是如何與彼此產生關係的。線段表示下方的群被其上的群所包含，並為其上的群的子商。圈起來的符號，表示該符號所代表的群不被包含於其他更大的散在單群中。為了清楚表明，多餘的包含關係在此圖中未表示。

2.B 對合(involution)的中心化子(Centralizer);包含一Sylow 47-子群的正規化子(normalizer) (47:23) × 2 。
2¹⁺²⁴.Co₁ 對合的中心化子。
3.Fi₂₄ 階數3子群的正規化子;包含一Sylow 29-子群的正規化子((29:14) × 3).2。
2².²E₆(2²):S₃ 一Klein 4-群的正規化子。
2¹⁰⁺¹⁶.O₁₀⁺(2)
2^2+11+22.(M₂₄ × S₃) 一Klein 4-群的正規化子; 含一Sylow 23-子群的正規化子(23:11) × S₄。
3¹⁺¹².2Suz.2 階數3子群的正規化子。
2^5+10+20.(S₃ × L₅(2))
S₃ × Th 階數3子群的正規化子;含一Sylow 31-子群的正規化子(31:15) × S₃ 。
2^3+6+12+18.(L₃(2) × 3S₆)
3⁸.O₈⁻(3).2₃
(D₁₀ × HN).2 階數5子群的正規化子。
(3²:2 × O₈⁺(3)).S₄
3²⁺⁵⁺¹⁰.(M₁₁ × 2S₄)
3^3+2+6+6:(L₃(3) × SD₁₆)
5¹⁺⁶:2J₂:4 階數5子群的正規化子。
(7:3 × He):2 階數7子群的正規化子。
(A₅ × A₁₂):2
5³⁺³.(2 × L₃(5))
(A₆ × A₆ × A₆).(2 × S₄)
(A₅ × U₃(8):3₁):2 含一Sylow 19-子群的正規化子((19:9) × A₅):2 。
5²⁺²⁺⁴:(S₃ × GL₂(5))
(L₃(2) × S₄(4):2).2 含一Sylow 17-子群的正規化子 ((17:8) × L₃(2)).2 。
7¹⁺⁴:(3 × 2S₇) 階數7子群的正規化子。
(5²:4.2² × U₃(5)).S₃
(L₂(11) × M₁₂):2 包含階數11子群的正規化子(11:5 × M₁₂):2 。
(A₇ × (A₅ × A₅):2²):2
5⁴:(3 × 2L₂(25)):2₂
7²⁺¹⁺²:GL₂(7)
M₁₁ × A₆.2²
(S₅ × S₅ × S₅):S₃
(L₂(11) × L₂(11)):4
13²:2L₂(13).4
(7²:(3 × 2A₄) × L₂(7)):2
(13:6 × L₃(3)).2 階數13子群的正規化子。
13¹⁺²:(3 × 4S₄) 階數13子群的正規化子; 一Sylow 13-子群的正規化子。
L₂(71) Holmes & Wilson (2008) 含一Sylow 71-子群的正規化子71:35。
L₂(59) Holmes & Wilson (2004) 含一Sylow 59-子群的正規化子59:29。
11²:(5 × 2A₅) Sylow 11-子群的正規化子。
L₂(41) Norton & Wilson (2013) 找到此形式的極大子群; 此是由於Zavarnitsine指出一些先前的沒有這樣的極大子群存在。
L₂(29):2 Holmes & Wilson (2002)
7²:SL₂(7) 一些過去7-局部子群的表中此被意外地忽略了。
L₂(19):2 Holmes & Wilson (2008)
41:40 一Sylow 41-子群的正規化子。

腳註

^ Arithmetic groups and the affine E₈ Dynkin diagram Archive.is的存檔，存档日期2012-07-13, by John F. Duncan, in Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay
^ le Bruyn, Lieven, the monster graph and McKay’s observation, 22 April 2009, （原始内容存档于2010-08-14）

參照

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Griess, Robert L., The structure of the monster simple group, Scott, W. Richard; Gross, Fletcher (编), Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press（英语：Academic Press）: 113–118, 1976, ISBN 978-0-12-633650-4, MR 0399248
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