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逆散射变换是求解某些非线性偏微分方程的一种方法，在某种意义上是傅里叶变换的非线性推广。这种方法的核心思想是，从散射数据的演变中恢复势的演变：逆散射指的是从散射矩阵中恢复势的问题。

逆散射变换可用于许多所谓“完全可解模型”，即完全可积的无限维系统。

概述

逆散射变换首先由Clifford S. Gardner, John M. Greene, and Martin D. Kruskal et al. （1967, 1974）提出，用于求解KdV方程，并很快扩展到非线性薛定谔方程、正弦-戈尔登方程及户田晶格方程。后来也用于求解KP方程、石森方程、迪姆方程等等。博格莫尼方程（对于给定的规范群与定向黎曼3流形）提供了一族例子，其 $L^{2}$ 解是磁单极子。用逆散射法得到的解有一个特点，就是存在孤波，是类似于粒子又类似于波的解，线性偏微分方程中没有这种解。“孤波”是非线性光学的概念。逆散射问题可以写作黎曼–希尔伯特分解问题，至少在一个空间维度的方程中是这样。这种表述可以推广到多阶微分算子和周期势。在更高的空间维度中，会遇到“非局部”黎曼–希尔伯特分解问题（用卷积代替乘法）或Dbar问题。

例子：KdV方程

KdV方程是非线性分散演化偏微分方程，涉及有两个实变量（空间变量x与时间变量t）的函数u：

u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0

其中 $u_{t}$ 、 $u_{x}$ 分别表示关于t和x的偏导数。

$u(x,0)$ 是x的已知函数，要解初值问题，可将薛定谔特征方程

\psi _{xx}-u\psi =\lambda \psi .

与这个方程联系起来，其中 $\psi$ 是t与x的未知函数，u是KdV方程的解，除了在 $t=0$ 时未知。常数 $\lambda$ 是一个特征值。

根据薛定谔方程，可得

u={\frac {1}{\psi }}\psi _{xx}-\lambda .

将其代入KdV方程并积分，得到

\psi _{t}+\psi _{xxx}-3(u-\lambda )\psi _{x}=C\psi +D\psi \int {\frac {1}{\psi ^{2}}}dx

其中C、D为常数。

解法

Step 1. 确定非线性偏微分方程。这通常是通过分析所研究的物理实现的。

Step 2. 应用正向散射。关键是找到Lax 对，Lax 对由两个线性算子 $L$ 、 $M$ 组成，即 $Lv=\lambda v$ 、 $v_{t}=Mv$ 。极为重要的是，特征值 $\lambda$ 与时间无关，即 $\lambda _{t}=0.$ 实现这一点的必要条件与充分条件如下：取 $Lv=\lambda v$ 的时间导数，得到

L_{t}v+Lv_{t}=\lambda _{t}v+\lambda v_{t}.

将 $Mv$ 插入 $v_{t}$ ，得到

L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+\lambda Mv.

重排最右侧的项，得到

L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+MLv.

因此，

L_{t}v+LMv-MLv=\lambda _{t}v.

由于 $v\not =0$ ，这意味着 $\lambda _{t}=0$ 当且仅当

L_{t}+LM-ML=0.\,

这是Lax方程，当中 $L_{t}$ 是 $L$ 的时间导数，明确地依赖于 $t$ 。之所以这样定义微分，是因为 $L$ 的最简单实例，即薛定谔算子（参薛定谔方程）：

L=\partial _{xx}+u,

其中u是“势”。比较表达式 $L_{t}v+Lv_{t}$ 与 $\partial _{t}\left(v_{xx}+uv\right)$ ，可以发现 $L_{t}=u_{t},$ 因此可以忽略第一项。

拟合出适当的Lax对后，Lax方程应可恢复原来的非线性PDE。

Step 3. 确定与每个特征值 $\lambda$ 相关的特征函数、规范常数与反射系数的时间演化，它们构成所谓散射数据。演化由线性常微分方程给出，可以求解。

Step 4. 通过求解马琴科方程^[1]^[2]这一线性积分方程，进行逆散射，从而获得原非线性PDE的最终解。为此，需要所有散射数据。若反射系数为零，过程会简单很多。若 $L$ 是一阶微分或二阶差分，这步就会起作用，但对高阶算子则不一定。不过，在所有情况下，逆散射问题都可以简化为黎曼–希尔伯特问分解问题。（两种方法见于Ablowitz-Clarkson (1991)。数学上的严格处理方法参Marchenko (1986)。）

可积方程的例子

另见

量子逆散射法

参考文献

^ Gel’fand, I. M. & Levitan, B. M., "On the determination of a differential equation from its spectral function". American Mathematical Society Translations, (2)1:253–304, 1955.
^ V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.