有限秩算子

此條目需要补充更多来源。 (2022年1月24日)
请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。
致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索："有限秩算子" — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。

泛函分析中，有限秩算子（英語：Finite-rank operator）是巴拿赫空间之间，像的维数有限的有界线性算子。^[1]

希爾伯特空間中

典範型

有限秩算子類似有限大小的矩陣，但是放在無窮維空間中。於是，可藉線性代數技巧刻畫其性質。

由線性代數知，複矩陣 $M\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ 之秩為1，當且僅當 $M$ 可以寫成：

M=\alpha \cdot uv^{*}

其中

\|u\|=\|v\|=1

且

\alpha \geq 0

同樣可證希氏空間 $H$ 上，算子 $T$ 之秩為1，當且僅當

Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad \forall h\in H,

其中 $\alpha ,u,v$ 與有限維情況滿足同等條件。由此，用數學歸納法，可證秩 $n$ 的算子 $T$ 必可寫成

Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad \forall h\in H,

其中 $\{u_{i}:i=1,2,\ldots ,n\}$ 和 $\{v_{i}:i=1,2,\ldots ,n}\$ 皆為标准正交基。前述表示法實質等同於奇异值分解，可以稱為有限秩算子的「典範型」（canonical form）。

略加推廣，若 $n$ 改為可數無窮，而正實數列 $\{\alpha _{i}\}$ 僅會聚於0，則 $T$ 為緊算子（英语：compact operator on Hilbert space），相應的和式稱為緊算子的典範型。

若級數 $\sum _{i}\alpha _{i}$ （跡）收斂，則 $T$ 是迹类算子。

代數性質

希氏空間 $H$ 上，全體有限秩算子之族 $F(H)$ 是有界算子代數 $L(H)$ 的雙邊*理想。此外，其為此類（非零）理想中最小者，即 $L(H)$ 的任何雙邊*理想 $I$ 必包含全體有限秩算子。簡證如下：取非零算子 $T\in I$ ，則有非零的 $f,g$ 使 $Tf=g$ 。衹需證對任意 $h,k\in H$ ，將 $h$ 映至 $k$ 的秩1算子 $S_{h,k}$ 屬於 $I$ 。同樣定義 $S_{h,f}$ 和 $S_{g,k}$ ，則有

S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,

從而 $S_{h,k}$ 在 $I$ 中，證畢。

$L(H)$ 的雙邊*理想舉例有跡類、希尔伯特-施密特算子類、紧算子類。三類各自配備範數，而 $F(H)$ 在此三個賦範空間中稠密。

由於 $L(H)$ 的每個雙邊理想都包含 $F(H)$ ， $L(H)$ 為單代數當且僅當有限維。

巴拿赫空間中

巴拿赫空间 $U,V$ 之間的有限秩算子 $T:U\to V$ 是值域僅得有限維的有界算子。與希氏空間的情況一樣，可以寫成

Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad \forall h\in U,

其中 $v_{i}\in V$ ，但由於 $U$ 中沒有定義內積， $u_{i}\in U'$ 換成 $U$ 上的有界線性泛函。

有界線性泛函是有限秩算子的特例，其秩為1。

參考文獻

^ Finite Rank Operator - an overview. 2004 [2022-01-24]. （原始内容存档于2022-03-19）.

查论编泛函分析
集合 / 子集	绝对凸集吸收集平衡集有界集 (拓扑向量空间)（英语：Bounded set (topological vector space)）凸集径向集星形域对称集凸锥
拓撲向量空間	巴拿赫空间欧几里得空间希尔伯特空间索伯列夫空間局部凸（英语：Locally convex topological vector space）賦範向量空間（范数）拟赋范空间自反空间拓扑张量积（英语：Topological tensor product） (希尔伯特空间中) 速降函数空间
映射拓扑	对偶空间算子拓扑弱拓扑（英语：Weak topology）强拓扑（英语：Strong topology）拓扑的一致收敛（英语：Topology of uniform convergence）
线性算子	伴随双线性形式有界 / 无界连续线性紧 Fredholm（英语：Fredholm operator）希尔伯特-施密特泛函正规核型（英语：Nuclear operator）自伴严格奇异算子（英语：Strictly singular operator）迹类有限秩转置（英语：Transpose of a linear map）酉 / 幺正
集合运算	代数内部内部閔可夫斯基和极性集
算子理论	巴拿赫代数 C*-代数谱 (泛函分析) （谱半径）谱理论（谱定理投影值测度）极分解奇异值分解
定理	阿尔泽拉-阿斯科利定理巴拿赫-阿勞格魯定理巴拿赫-马祖尔定理（英语：Banach–Mazur theorem）贝尔纲定理贝塞尔不等式柯西-施瓦茨不等式闭值域定理閉圖像定理哈恩-巴拿赫定理角谷不动点定理不变子空间问题 Riesz延拓定理（英语：M. Riesz extension theorem）开映射定理拉克斯-米尔格拉姆定理帕塞瓦尔恒等式肖德尔不动点定理（英语：Schauder fixed point theorem）
分析	导数 (弗雷歇导数加托导数泛函导数) 积分 (博赫纳积分佩蒂斯积分（英语：Pettis integral）) 函数演算 (全纯函数演算连续函数演算博雷尔函数演算) 反函数定理向量测度弱可测函数

Read other articles:

Alen Stanešić

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada April 2017. Alen StanešićInformasi pribadiTanggal lahir 25 Maret 1983 (umur 40)Tempat lahir KroasiaPosisi bermain GelandangKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2003 Cerezo Osaka * Penampilan dan gol di klub senior hanya dihitung dari liga domestik Alen Staneš...

روبرت بلاي

روبرت بلاي (بالإنجليزية: Robert Bly)‏ معلومات شخصية اسم الولادة (بالإنجليزية: Robert Elwood Bly)‏ الميلاد 23 ديسمبر 1926 [1][2] مقاطعة لاك كوي بارلي الوفاة 21 نوفمبر 2021 (94 سنة) [3] مينيابوليس مواطنة الولايات المتحدة عضو في الأكاديمية الأمريكية للفنون والآدا�...

Julie Bishop (pemeran)

Julie BishopBishop, 1944LahirJacqueline Wells(1914-08-30)30 Agustus 1914Denver, Colorado, Amerika SerikatMeninggal30 Agustus 2001(2001-08-30) (umur 87)Mendocino, California, Amerika SerikatNama lainDiane DuvalPekerjaanAktrisTahun aktif1923–1957Suami/istriWilliam F. Bergin (1968-2001) (ia meninggal)Clarence A. Shoop (1944-1968) (dia meninggal) 2 anakWalter Booth Brooks III (1936-1939) (bercerai)AnakPamela Susan Shoop (b. 1948)Steve Shoop Julie Bishop (30 Agustus 1914 ...

مسجد بيرون أبر قو

مسجد بيرون أبر قو معلومات عامة الموقع أبركوه[1] القرية أو المدينة أبر كوه، محافظة يزد الدولة إيران تعديل مصدري - تعديل مسجد بيرون أبر قو هو مسجد تاريخي يعود إلى عصر القرن الثاني الهجري، ويقع في أبر كوه.[2] مراجع ^ Wiki Loves Monuments monuments database، 2 نوفمبر 2017، QID:Q28563569 ^ En...

Andrzej Kubica

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada April 2017. Andrzej Kubica Informasi pribadiTanggal lahir 7 Juli 1972 (umur 51)Tempat lahir PolandiaPosisi bermain PenyerangKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2000 Urawa Reds 2001 Oita Trinita * Penampilan dan gol di klub senior hanya dihitung dari liga domest...

The Saturdays

British-Irish girl group This article is about the musical group. For the novel, see The Saturdays (novel). The SaturdaysThe Saturdays performing in December 2011 (L–R: Mollie King, Una Healy, Vanessa White, Frankie Bridge and Rochelle Humes)Background informationOriginLondon, EnglandGenres Pop electropop dance-pop Years active2007–2014[a]Labels Polydor Fascination Geffen Mercury Members Frankie Bridge Mollie King Rochelle Humes Una Healy Vanessa White Websitethesaturdays.co.uk Th...

Conferenza di Monaco

Conferenza di MonacoI firmatari dell'accordo: da sinistra, Chamberlain, Daladier, Hitler e Mussolini; a destra, Ciano. In secondo piano i diplomatici: tra Hitler e Mussolini si riconoscono Joachim von Ribbentrop (a sinistra) ed Ernst von Weizsäcker; tra Mussolini e Ciano si trova Alexis Léger e tra Chamberlain e Daladier è Henri Fromageot.Tipotrattato plurilaterale Contestoperiodo interbellico Firma30 settembre 1938 LuogoFührerbau, Monaco di Baviera Parti Germania Regno Unito...

Émile Combes

19th/20th-century French statesman (1835–1921) This article may be a rough translation from French. It may have been generated, in whole or in part, by a computer or by a translator without dual proficiency. Please help to enhance the translation. The original article is under français in the languages list. If you have just labeled this article as needing attention, please add{{subst:Needtrans|pg=Émile Combes |language=French |comments= }}...

Yaek Nonthaburi 1 MRT station

Monorail station Thailand แยกนนทบุรี 1PP09Yaek Nonthaburi 1 MRT General informationLocationBang Kraso, Mueang Nonthaburi, Nonthaburi, ThailandOwned byMass Rapid Transit Authority of Thailand (MRTA)Operated byBangkok Expressway and Metro Public Company Limited (BEM)Line(s)MRT Purple LinePlatforms1 island platformTracks2ConstructionStructure typeElevatedAccessibleYesOther informationStation codePP09HistoryOpened6 August 2016Passengers2021753,952 Services Preceding...

كوردوغلو مصلح الدين ريس

كوردوغلو مصلح الدين ريس معلومات شخصية تاريخ الميلاد 1487م الوفاة 1535مجزيرة رودس، الدولة العثمانية مواطنة الدولة العثمانية الأولاد كوردوغلو خضر ريس مناصب قبطان باشا في المنصب1525 – 1530 بيرم باشا (قبطان) دريا بك سليمان باشا الحياة العملية المهنة ضابط بحر�...

Горішок (плід)

Горішки гречки звичайної (Fagopyrum esculentum Moench) У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Горішок. Горі́шок (лат. nucula) — у ботаніці — односім'яний нерозкривний плодик апокарпного плоду, з дерев'янистим перикарпом (наприклад, у жовтця) й інші дрібні односім'яні п...

UPN

UPNUnited Paramount NetworkJenisJaringan televisi Amerika Serikat yang sudah berhentiNegara Amerika SerikatPendirioleh United Television & Paramount PicturesTanggal peluncuran16 Januari 1995PemilikChris-Craft Television/Viacom (1995-2000)Viacom (2000-2006)CBS Corporation (2006) United Paramount Network disingkat UPN (1995-2006) adalah jaringan televisi Amerika Serikat yang mengudara selama sebelas tahun. UPN dahulu dimiliki oleh Viacom, lalu oleh CBS Corporation. Masa pertama stasiun...

أوجهام

أوجهاممعلومات عامةالبداية القرن 4[1] الاسم Ogham (بالإنجليزية) [2]ogam (بالفرنسية) [2] الاسم الأصل ᚛ᚑᚌᚐᚋ᚜ (بالأيرلندية) لغة العمل أو لغة الاسم Primitive Irish (en) Old Irish (en) Pictish (en) تاريخ الانتهاء القرن 10 اتجاه الكتابة bottom-to-top (en) [3]من اليسار نحو اليمين[3] مستوى يونيكود U+1...

Eugene Sheehy (priest)

Irish land rights campaigner, nationalist and priest Father Eugene SheehyBornEugene Sheehy25 December 1841Broadford, County LimerickDiedJuly 1917DublinNationalityIrishEducationMungret CollegeAlma materIrish College in ParisOccupationPriestKnown forIrish National Land League Father Eugene Sheehy (25 December 1841 – July 1917) was a priest, president of the local branch of the Irish National Land League at Kilmallock, and founder member of the Gaelic Athletic Association. He was kno...

مقاهي بغداد

مقاهي بغداد واحده مقهى، اسم مكان مذكر،[1] ويسمّى بالعامية قهوة، والجمع قَهاوي، هو مكان ومحلات شعبية تُباع وتُسقى فيه الأشربة الحارّة كالچاي والحامض، ويقعد فيه كثيرُ من أهل بغداد للإستراحة وقضاء الوقت واللعب والمحادثة والمُدارسة، وكان اسمه القديم چايخانة ويُسمّى صاحب...

Kalisz

Balai kota Kalisz, Jr. Kalisch, kota di Provinsi Wielkopolska di Polandia tengah, terletak di sungai Prosna. Dalam sejarah perang Swedia kota ini terkenal karena Pertempuran Kalisch pada 19 Oktober 1706. Pranala luar Wikimedia Commons memiliki media mengenai Kalisz. Adipati Kalisz Artikel bertopik geografi atau tempat Polandia ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.lbs

Poland at the 2016 Summer Olympics

Sporting event delegationPoland at the2016 Summer OlympicsIOC codePOLNOCPolish Olympic CommitteeWebsitewww.pkol.pl (in Polish)in Rio de JaneiroCompetitors243 in 23 sportsFlag bearers Karol Bielecki (opening)Marta Walczykiewicz (closing)MedalsRanked 33rd Gold 2 Silver 3 Bronze 6 Total 11 Summer Olympics appearances (overview)192419281932193619481952195619601964196819721976198019841988199219962000200420082012201620202024Other related appearances Austria (1908–1912) Russia...

Omni wheel

Wheel that can move along multiple axes Triple Rotacaster commercial industrial omni wheel A simple omni wheel. The free rotating rollers (dark gray) allow the wheel to slide laterally A molded plastic omni wheel Omni wheels or poly wheels, similar to Mecanum wheels, are wheels with small discs (called rollers) around the circumference which are perpendicular to the turning direction. The effect is that the wheel can be driven with full force, but will also slide laterally with great ease. Th...

Pulau Bonerate

BonerateKoordinat7°21′25.721″LS,121°6′47.136″BTNegaraIndonesiaGugus kepulauanSelayarProvinsiSulawesi SelatanKabupatenKepulauan Selayar Pemandangan di Pulau Bonerate Pulau Bonerate adalah salah satu pulau yang berada di gugusan Kepulauan Selayar dan secara administratif masuk pada wilayah Desa Bonerate, Kecamatan Pasimarannu, Kabupaten Kepulauan Selayar, Sulawesi Selatan, Indonesia. Secara astronomis, pulau ini terletak di titik koordinat 7°21′25.721″LS,121°6′47.136″BT...

Kongkong

Kongkong yang digunakan dengan baik. Kongkong, adalah sepotong logam berbentuk U yang diikat dengan penyemat klevis atau baut pada bukaannya, atau lingkaran logam berengsel yang diamankan dengan mekanisme pin pengunci pelepas cepat. Istilah ini juga berlaku untuk borgol dan alat pengekang serupa lainnya yang berfungsi dengan cara serupa. Kongkong adalah penghubung utama dalam segala jenis sistem tali-temali, mulai dari kapal dan kapal hingga tali-temali derek industri, karena memungkinkan su...