拉格朗日定理 (群論)

拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。

定理陳述

拉格朗日定理^[1] — 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群^{[註 1]}，那麼 $|G|=|H|[G:H]$ 而如果 $G$ 是有限群，那麼這個定理可以簡化成—— $|H|$ 是 $|G|$ 的因數。

證明思路

定理的證明利用了陪集的以下性質：

一個子群的所有陪集在集合意義下有相同的大小^{[註 2]}（ Cardinality ）^[2]。
一個子群的所有陪集分割^{[註 3]}了整個群^[3]。
根據集合的特性， $G$ 的大小可以寫成是陪集的大小（ $|H|$ ）乘上^{[註 4]}陪集的數量（ $[G:H]$ ）。

推論

由拉格朗日定理可立即得到——有限群 $G$ 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 $G$ 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。
如果 $|G|$ 是質數，那麽 $G$ 同構於質數階的循環群 $C_{|G|}$ （因為質數沒有 $1$ 和自身以外的因數）^[4]。
費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論^[5]。

逆命題

拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 $|G|$ 的因數可能不是任何子群的階。例如交錯群 $A_{4}$ 的階是 $12$ ，但它沒有任何階是 $6$ 子群^[6]。然而柯西定理以及它的推廣——西羅定理——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階；而如果 $G$ 是可解群的話，則西羅定理還可以進一步推廣成霍爾定理（英语：Hall subgroup#Hall's theorem）。

參見

註解

^ 沒有假設是有限群
^ 或稱——勢
^ 意思是每個群元素都位在剛好一個（ exactly one ）陪集之中
^ cardinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法

引用

^ Hungerford 1974，第39頁，Corollary 4.6.
^ Hungerford 1974，第38頁，Theorem 4.2.
^ Hungerford 1974，第38頁，Corollary 4.3.
^ Gallian 2012，第149頁，Corollary 3.
^ Gallian 2012，第149頁，Corollary 5.
^ Gallian 2012，第149頁，Example 5.

參考文獻

Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra 第八版. Cengage Learning. 2012. ISBN 978-1133599708 （英语）.
Hungerford, Thomas William. Algebra 第一版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 （英语）.

查论编约瑟夫·拉格朗日
拉格朗日乘数拉格朗日插值法拉格朗日四平方和定理拉格朗日定理 (群論) 拉格朗日定理 (數論)（英语：Lagrange's theorem (number theory)）拉格朗日恒等式拉格朗日恒等式 (邊值問題)（英语：Lagrange's identity (boundary value problem)）拉格朗日三角恆等式拉格朗日力学拉格朗日中值定理拉格朗日穩定性（英语：Lagrange stability）拉格朗日方程拉格朗日量拉格朗日分析（英语：Lagrangian analysis）拉格朗日和欧拉流场规范（英语：Lagrangian and Eulerian specification of the flow field）拉格朗日拟序结构拉格朗日点拉格朗日格拉斯曼流形（英语：Lagrangian Grassmannian）拉格朗日括号拉格朗日鬆弛（英语：Lagrangian relaxation）拉格朗日對偶拉格朗日密度拉格朗日不變量拉格朗日子流形拉格朗日系统（英语：Lagrangian system）欧拉-拉格朗日方程

抽象代数相关主题

代数结构 · 群 · 环 · 域 · 有限域 · 本原元 · 格 · 逆元 · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构（商系统） · 同构基本定理 · 自由對象

群论

群	幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 · 单群 · 半单群 · 典型群 · 自由群 · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 · 商群 · 置换群 · 有限生成阿貝爾群
子群	陪集 · 交换子群（交換子） · 双陪集 · 共轭类 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群
群同態	群同構 · 群同態
相關定理	拉格朗日定理 · 西羅定理 · 波利亞計數定理
其他	阶 · 群擴張 · 群表示 · 群作用 · 合成列

環論

环	子環 · 整环 · 除环 · 多项式环 · 素环 · 商环 · 諾特環 · 局部環 · 賦值環 · 環代數 · 理想 · 主理想环 · 唯一分解整環 · 群環
模	深度 · 單模 · 自由模 · 平坦模 · 阿廷模 · 諾特模
其他	幂零元 · 特征 · 完備化 · 環的局部化

域論

域	有限域 · 原根 · 代数闭域 · 局部域 · 分裂域 · 分式環
域扩张	单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张 · 伽罗瓦理论基本定理

Read other articles:

Komuz

Komuz Komuz atau qomuz (bahasa Kirgiz: комуз, bahasa Azerbaijan: Qopuz, Turkish: Kopuzcode: tr is deprecated ) adalah sebuah instrumen gesek tanpa fret kuno yang digunakan dalam musik Asia Tengah, terkait dengan instrumen string Turki lainnya dan kecapi.[1] Ini adalah instrumen nasional paling terkenal dan salah satu simbol nasional Kirgizstan yang lebih terkenal. Komuz umumnya terbuat dari sepotong kayu (biasanya aprikot atau juniper) dan memiliki tiga senar yang secara ...

Gaimersheim

Agus Alfauzi

Agus Alfauzi Komandan Kodim 0104/Aceh TimurPetahanaMulai menjabat 13 Januari 2022 PendahuluHasanul Arifin SiregarPenggantiPetahana Informasi pribadiLahir21 Desember 1979 (umur 44)JemberIndonesiaAlma materAkademi Militer (2002)PekerjaanTentaraKarier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan DaratMasa dinas2002—sekarangPangkat Letnan KolonelNRP11020034211279SatuanInfanteriSunting kotak info • L • B Letnan Kolonel Inf. Agus Alfauzi, S.IP., M.I.Pol. (lahir...

نابليون جوزيف شارل بول بونابارت

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يوليو 2023) نابليون جوزيف شارل بول بونابارت (بالفرنسية: Napoléon Joseph Charles Paul Bonaparte)‏، و(بالفرنسية: Napoléon-Jérôme Bonaparte)‏ مع�...

Pontiac Grand Prix

Pontiac Grand Prix2004-2008 Pontiac Grand PrixInformasiProdusenGeneral MotorsMasa produksi1962–2008Bodi & rangkaKelasPersonal luxury car (1962–1987)Full-size car (1996–2008 sedan)Mid-size car (1988–1996, 1996–2002 coupe)KronologiPenerusPontiac G8Pontiac GTO (for the coupe version) Pontiac Grand Prix adalah jajaran mobil yang diproduksi oleh Divisi Pontiac dari General Motors dari tahun 1962 sampai 2002 untuk coupe dan 1988-2008 untuk sedan. Pertama kali diperkenalkan sebagai bag...

Selat Ombai

Selat Ombai adalah selat yang memisahkan antara Pulau Timor (di sebelah tenggara) dengan gugusan pulau-pulau di sebelah barat laut seperti Pulau Alor dan Pulau Pantar yang merupakan bagian dari provinsi Nusa Tenggara Timur, Pulau Atauro (Pulau Kambing) yang merupakan bagian dari negara Timor Leste, serta Pulau Wetar yang merupakan bagian dari Provinsi Maluku. Selat ini menghubungkan Laut Banda di belahan utara ke Laut Sawu ke arah baratdaya. Daftar pustaka Molcard, R., Fieux, Shrek. and Syams...

Humayun Saeed

Pakistani actor This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Humayun Saeed – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2024) (Learn how and when to remove this template message) Hu...

QJX

En hydrologie, le QJX est une valeur du débit journalier maximal d'un cours d'eau sur une période donnée[1]. Calculé pour différentes durées : 2 ans, 5 ans, etc., il permet d'apprécier statistiquement les risques rattachés à l'écoulement de l'eau en surface. Le sigle est créé à partir de l'expression « quantité journalière maximale », soit « débit journalier maximal ». Le QJX est estimé en ayant recours à une loi statistique de Gumbel modulée pa...

Vejen

You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Danish. (January 2023) Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedia. Do not translate text that appears unreliable or lo...

WPLV

For the West Point, Georgia radio station that held the call sign WPLV at 1310 AM from 1988 to 1994 and 1996 to 2015, see WPCH (AM). Radio station in Navarre, FloridaWPLVNavarre, FloridaBroadcast areaPensacola, FloridaFrequency95.7 MHzBrandingK-LOVEProgrammingFormatContemporary ChristianAffiliationsK-LOVEOwnershipOwnerEMF BroadcastingHistoryFirst air date1998Former call signsWAFN (1993–1994)WZEW (1994–1997)WGCX-FM (1997)WGCX (1997–2009)WKFP (2009–2015)Call sign meaningW PensacoLa VTec...

Diencefalo

DiencefaloRappresentazione tridimensionale del diencefalo (in rosso) nel cervello umanoAnatomia del Gray(EN) Pagina 807 Nome latinoDiencephalon SistemaSistema nervoso centrale IdentificatoriMeSHA08.186.211.730.385 TAA14.1.03.007 e A14.1.08.001 FMA62001 TIH3.11.03.5.00001 ID NeuroLexbirnlex_1503 Modifica dati su Wikidata · Manuale Questa voce o sezione sull'argomento anatomia non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo c...

Tepi depan sayap

Tepi depan sayap (berwarna merah) Tepi depan sayap (bahasa Inggris: leading edge) adalah sebuah garis yang menghubungkan titik terdepan dari sebuah sayap. Ketika pesawat terbang melaju ke depan, tepi depan sayap adalah bagian sayap yang pertama kali terkena udara yang bergerak.[1] Sayap dengan tepi depan sayap yang tegak lurus dengan aliran udara disebut sayap lurus (straight wing) jika membentuk sudut maka disebut dengan sayap sayung. Beberapa pesawat terbang seperti MiG-23[2...

Новотитаровское сельское поселение

Сельское поселение России (МО 2-го уровня)Новотитаровское сельское поселение Флаг[d] Герб 45°14′09″ с. ш. 38°58′16″ в. д.HGЯO Страна Россия Субъект РФ Краснодарский край Район Динской Включает 4 населённых пункта Адм. центр Новотитаровская Глава сельского пос�...

Only After Dark

For the Nick Rhodes and John Taylor album, see Only After Dark (album). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Only After Dark – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2016) (Learn how and when to remove this message) 1980 single by The Human LeagueOnly After DarkSingle by The Human Le...

مارغريت أورتيغا

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2019) مارغريت أورتيغا معلومات شخصية الميلاد 26 نوفمبر 1993 (31 سنة) مانيلا مواطنة الصين الحياة العملية المهنة مغنية تعديل مصدري - تعديل مارغريت أورتيغ...

Pontic Greek

Variety of modern Greek This article is about the language. For the ethnic group, see Pontic Greeks. Pontic Greekποντιακά, pontiaká, понтиакá, RoméikaRegionoriginally the Pontus on the Black Sea coast; Greece, Russia, Georgia, and TurkeyEthnicityPontic GreeksNative speakers778,000 (2009–2015)[1]Language familyIndo-European HellenicAttic–IonicPontic GreekDialects Mariupol Greek(?), Ophitic dialect (Oflídika)[2] Writing systemGreek, Latin, CyrillicLan...

Lynda Sutfin

American javelin thrower Lynda SutfinPersonal informationNationalityAmericanBorn (1962-10-06) October 6, 1962 (age 61)SportSportAthleticsEventJavelin throw Lynda Sutfin (born October 6, 1962) is an American athlete. She competed in the women's javelin throw at the 1984 Summer Olympics and the 1988 Summer Olympics.[1] References ^ Evans, Hilary; Gjerde, Arild; Heijmans, Jeroen; Mallon, Bill; et al. Lynda Sutfin Olympic Results. Olympics at Sports-Reference.com. Sports Referen...

Einsteinium

Chemical element, symbol Es and atomic number 99Einsteinium, 99EsEinsteiniumPronunciation/aɪnˈstaɪniəm/ (eyen-STY-nee-əm)Appearancesilvery; glows blue in the darkMass number[252]Einsteinium in the periodic table Hydrogen Helium Lithium Beryllium Boron Carbon Nitrogen Oxygen Fluorine Neon Sodium Magnesium Aluminium Silicon Phosphorus Sulfur Chlorine Argon Potassium Calcium Scandium Titanium Vanadium Chromium Manganese Iron Cobalt Nickel Copper Zinc Gallium Germanium Arse...

Classificazione climatica dei comuni italiani

Voce principale: Grado giorno. Mappa delle 6 zone climatiche introdotte dal decreto: in rosso la zona A, in arancione la B, in giallo la C, in azzurro la D, in blu la E e in blu scuro la F La classificazione climatica dei comuni italiani è stata introdotta dal Decreto del presidente della Repubblica n. 412 del 26 agosto 1993. Il decreto, disponibile sul sito della gazzetta ufficiale, regolamenta la progettazione, l'installazione, l'esercizio e la manutenzione degli impianti termici degli ed...

Ravshan Kulob

Association football club in Tajikistan Football clubRavshan KulobРавшан КӯлобFull nameRavshan Kulob Равшан КӯлобFounded1965; 59 years ago (1965)GroundKulob Markazii StadiumCapacity20,000ChairmanZaynulla Sohibov[1]ManagerMasoud Nazarzadeh[2]LeagueLigai Olii Tojikiston2023THL, 2nd Home colours Away colours Ravshan Kulob (Tajik: Равшан Кӯлоб, Persian: باشگاه فوتبال روشن کولاب) is a professional football club...