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动力系统理论（英語：Dynamical Systems Theory），是數學領域中的一部份．主要在描述复杂的动力系统，一般會用微分方程或差分方程來表示。若用微分方程來表示，會稱為「連續動態系統」，若用差分方程來表示，則稱為「離散動態系統」。若其時間只在一些特定區域連續，在其餘區域離散，或時間是任意的時間集合（像康托尔集），需要用時標微積分來處理。有時也會需要用混合的算子來處理，像微分差分方程。

動態系統理论處理動態系統長期的量化特性．及研究一些自然界基本的運動方程系統的解，包括衛星的運動方程，電路的特性．以及生物學中出現偏微分方程的解。許多當代的研究集中在混沌理论的研究。

此領域有時也稱為动力系统、系统理論、數學動態系統理論或是動態系統的數學理論等。

簡介

动力系统理论處理动力系统長期的量化特性，因此其重點一般不是找出描述動態系統方程式的精確解（多半也很難找到精確解），而是希望可以回答類似以下的問題：「系統會收斂到一個穩定狀態嗎？若會的話，其穩定狀態是什麼？」或是「其長期特性和系統的初始值有關嗎？」

動態系統理論的重要目的是要找到動態系統的不動點或是穩態，也就是一些使系統狀態可以維持定值，不隨時間改變的數值。有些不動點稱為吸引子，是指若系統的初始值在這些點附近，系統會慢慢趨近吸引子。

另一個常見的是周期点，是指系統狀態在若干時間之後會重複先前的狀態。週期點也可能是吸引子。沙可夫斯基定理（英语：Sharkovskii's theorem）是一個有趣的定理．和一維離散動態系統的週期點個數有關。

即使是簡單的非線性動態系統，也會出現看似隨機的，完全無法預測的情形，此情形稱為混沌。动力系统理论中的混沌理論會為混沌有清楚定義及分析其特性。

歷史

動態系統理論的概念起源自牛頓力學，如同其他自然科學及工程法則一様，動態系統是找出系統此一時刻的狀態和未來狀態之間的關係。

在電腦發明之前，求解動態系統需要複雜的數學技巧，而且可能只能求解某些特定的動態系統。

概念

動態系統

動態系統的概念是一個固定規則的數學形式系統，而此規則可用來描述一個點的位置和其环绕空间的時間相依性。例如描述單擺擺動的數學模型、描述管子中水流的數學模型、以及描述每年春天湖中魚類數量的數學模型。

動態系統有由一組實數組成的狀態，或更普遍的是在適當狀態空間中点的集合。系統狀態的微小變化對應這些數值的微小變動。這些數也是一個幾何空間（流形）的座標。動態系統的演化定律是一個描述如何由現在狀態轉變為未來狀態的函數。此函數是确定性的，若目前狀態不變，在特定未來時間下只會有一種狀態。

動態性

動態性（英语：Dynamicism）也稱為「動態假說」、「認知科學的動態假說」或「動態認知」，是由哲學家馮·蓋爾德（英语：Tim van Gelder）提出的的認知科學新領域。動態假說認為微分方程比傳統的電腦模型更適合為認知建模。

非線性系統

數學上的非線性系統是指不滿足叠加原理的系統。若動態系統為線性系統，則系统方程任意兩個解的線性疊加仍然是方程的一個解。但非線性系統沒有這項特性，因此在求解上會比較困難。

應用

生物學

在運動生物力學中，運動科學和動態系統理論結合，成為一個運動表現１建模的可行框架。以動態系統的觀點來看，人類的運動系統是一個高度複雜的系統，由許多彼此相關的子系統構成（如呼吸系統、循環系統、骨骼肌肉系統及知覺系統），而各子系統又是由大量彼此相關的組件（像血球、氧分子、肌肉組織、代謝酶，結締組織和骨）所構成。在動態系統理論中，運動模型融合了這些物理系統及生物系統中自組織的過程^[2]。

認知科學

動態系統理論已應用在神經動力學及认知科学中，尤其是在新皮亞傑學派（英语：the neo-Piagetian theories of cognitive development）。此學派認為认知科学最適合用物理理論來表示．而不是用以语法学及人工智慧為基礎的理論，此學派也認為微分方程是最適合為人類行為建模的數學工具，可以表示在狀態空間中的認知軌跡。換句話說．此學派認為心理學應該是描述人在特定環境及內在壓力下的認知及反應（並且是用微分方程來描述），其中也常用到混沌理論來描述^[3]。