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倒單擺是質心在其樞紐點以上的擺。倒單擺在力學上無法穩定平衡，在沒有額外控制時，倒單擺會倒下。若利用控制系統控制桿的角度，在桿開始要倒下時調整質心位置，讓桿子不會倒下，可以維持倒單擺的平衡。倒單擺是動力學及控制理論中的經典問題，常用來測試不同的控制策略。倒單擺常以樞紐點在台車上的方式來呈現，如圖所示。這稱為「台車和桿子」^[1]。大部份的應用會限制單擺只有一個自由度，固定擺的旋轉軸。一般的單擺在重物在樞紐點下方時會平衡，倒單擺在其本質上就無法自行平衡，需要透過外在控制才能平衡。外在控制平衡的作法可以在樞紐點加力矩，或是讓樞紐點水平移動，再透過回授系統來使倒單擺平衡，改變質量相對樞紐點轉動的速度，或是讓樞紐點在垂直方向晃動。像人用手設法平衡倒立的掃帚，就是人工平衡倒單擺的例子。

單擺的重物在樞紐點下方時，即為系統的穩定平衡點。單擺不受外在力矩時可以維持不動，若讓單擺重物偏離平衡位置，放開後重力會產生力矩使單擺回到平衡點。倒單擺旳重物在樞紐點上方，會用剛體的桿子支持重物，位置恰好和穩定平衡點相差180度，是不穩定平衡點：倒單擺在不受外在力矩時可以維持不動，但若只要有一點偏差，重物就會偏離平衡，而重力產生的力矩會使單擺偏離平衡點，因此最後倒單擺會倒下。

為了要使單擺在倒單擺的位置下可以維持平衡，可以使用控制系統，監控倒單擺的角度，在倒單擺開始要倒下時加以施加力或是力矩，使它往反方面移動，設法讓它平衡。倒單擺是動力學及控制理論中的經典問題，常用來測試不同的控制演算法（例如PID控制器、状态空间、類神經網路、模糊控制、遗传算法等）。此問題的一些變化包括有多個桿、由倒單擺改為台車及倒單擺系統（台車和桿子），在蹺蹺板上平衡台車及倒單擺系統。倒單擺和火箭或是飛彈導引系統有關，其重心位在阻力中心的後方，因此在空氣力學上會不穩定^[2]。用伺服機構平衡台車及倒單擺系統就可以對此問題有一些理解，或是徒手設法平衡倒立的掃帚也可以。利用自平衡的個人運輸工具（英语：personal transporter）即可解決此問題，例如賽格威、自平衡滑行车及自平衡單輪車（英语：self-balancing unicycle）。

另外有一種可以使倒單擺穩定，而且不需回授或是控制系統的方式，是將倒單擺的樞紐快速上下震盪，這稱為是卡皮察擺。若振荡的加速度及振幅夠大，倒單擺會以一種反直覺的方式從擾動中恢復平衡。若樞鈕是以簡諧運動的方式運動，則倒單擺的運動可以用马丢函数來描述^[3]。

倒單擺的运动方程和單擺運動的限制條件有關。倒單擺會依照其運動組態的不同，有不同的运动方程。

若倒單擺的樞紐點固定無法移動，其運動方程會類似一般的單擺，但符號會有些不同。以下的運動方程假設沒有摩擦力，在運動時也沒有阻力，桿為剛體，沒有質量，而且運動限制在二维空间內。

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0}$

其中${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$是擺的角加速度，${\displaystyle g}$是地球表面的標準重力，${\displaystyle \ell }$是擺的長度，而${\displaystyle \theta }$是擺相對平衡位置的角度。

也可以計算角加速度如下：

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

倒單擺的角加速度會使擺遠離不穩定平衡的垂直位置，角加速度和長度成反比。長的倒單擺倒下的速度會比較慢。

假設倒單擺的擺由質量為${\displaystyle m}$的質點，接在長度為${\displaystyle \ell }$的剛體無質量桿上，擺的另一端是固定的樞紐點。

系統的淨力矩會等於轉動慣量和角加速度的乘積：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}}$

淨力矩是由重力產生的力矩：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!}$

其中${\displaystyle \theta \ }$是擺相對平衡位置的角度。

所得的方程式為：

${\displaystyle I{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

點質點的轉動慣量公式為：

${\displaystyle I=mR^{2}}$

在倒單擺的例子中，半徑為擺的長度${\displaystyle \ell }$。

將轉動慣量用${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$來表示

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

等號兩邊同除${\displaystyle \ell ^{2}}$，可得：

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

台車上的倒單擺包括質量為${\displaystyle M}$的台車,上面有可以轉動的桿，頂端有質量為${\displaystyle m}$的重物，台車的運動方向受到限制，只能在一個方向進行線性運動。

可以用拉格朗日力学推導運動方程。以右側的圖為準，其中的${\displaystyle \theta (t)}$是長度為${\displaystyle l}$的擺相對於垂直線的角度，而作用力是重力以及x方向的外力F。定義${\displaystyle x(t)}$是台車的位置，系統的拉格朗日量${\displaystyle L=T-V}$為：

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }$

其中${\displaystyle v_{1}}$是台車速度，${\displaystyle v_{2}}$是點狀質量${\displaystyle m}$的速度。 ${\displaystyle v_{1}}$及${\displaystyle v_{2}}$可以用x和${\displaystyle \theta }$來表示，其作法是將速度寫成位置的一階導數：

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}}$

簡化${\displaystyle v_{2}}$的式子可得：

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}$

拉格朗日量為：

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta }$

運動方程為：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \partial x}=F}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

替代式子中的${\displaystyle L}$，並且簡化，可以得到倒單擺的運動方程：

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

上述式子是非線性的，不過因為目標是維持倒單擺直立，方程式可以在${\displaystyle \theta \approx 0}$附近線性化。

若用牛頓第二運動定律求解此問題，可以得到單擺和台車各部份的作用力，每一個物體都有二個方程式，分別是x方向及y方向。台車的運動方程如下，等號左邊是合力，等號右邊是質量及加速度。

${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$

${\displaystyle F_{N}-R_{y}-Mg=0}$

上式中${\displaystyle R_{x}}$和${\displaystyle R_{y}}$是樞紐點上的作用力，${\displaystyle F_{N}}$是台車受到的正向力。第二個式子只和垂直的作用力有關，因此可以用來求解正向力。第一個式子可以用求解水平的作用力。為了完成以上的方程，需要計算擺的加速度，若在慣性坐標下，點質量的位置是

${\displaystyle {\vec {r}}_{P}=(x-\ell \sin \theta ){\hat {x}}_{I}+\ell \cos \theta {\hat {y}}_{I}}$

在慣性坐標下，對時間取二階微分，即可得到加速度。

${\displaystyle {\vec {a}}_{P/I}=({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta ){\hat {x}}_{I}+(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta ){\hat {y}}_{I}}$

因此，用牛頓第二運動定律求解時，可以列出x方向及y方向的式子。注意給擺的反作用力是正的，給台車的是負的。這是因為牛頓第三運動定律的結果。

${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$

${\displaystyle R_{y}-mg=m(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta )}$

第一個方程式提供了一個在未知外力${\displaystyle F}$時，可以計算水平反作用力的方式。可以用第二式求解垂直作用力，再將第一式的${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$用${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$取代，可得

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

可以觀察到這個式子和拉格朗日方程的結果完全一樣。為了得到第二式，需要將擺的運動方程和始終和擺垂直的單位向量進行點積，結果會列為物體座標（B）下的X軸。在慣性座標（I）下，向量可以用以下簡單的二維坐標轉換來表示

${\displaystyle {\hat {x}}_{B}=\cos \theta {\hat {x}}_{I}+\sin \theta {\hat {y}}_{I}}$

擺的運動方程可以寫作向量的形式，為${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{P/I}}$。在兩側和${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$作點積，可得以下等式的左邊（注意轉置後點積的結果相同）

${\displaystyle ({\hat {x}}_{B})^{T}\sum {\vec {F}}=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{x}{\hat {x}}_{I}+R_{y}{\hat {y}}_{I}-mg{\hat {y}}_{I})=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{p}{\hat {y}}_{B}-mg{\hat {y}}_{I})=-mg\sin \theta }$

上式中用到了在物體移動方向為準的反作用力分量，以及慣性座標下反作用力分量之間的關係。假設中有假設桿無質量，因此桿無法給予垂直桿子的力。慣性座標下的反作用力可以寫成${\displaystyle R_{p}{\hat {y}}_{B}}$，強調桿只能提供和桿平行的力。因此會產生另外一個方程，可以求解桿上的張力

${\displaystyle R_{p}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}}$

等式的右邊也可以用將擺的力加速度和${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$點積的方式計算，結果（經過一些簡化）如下

${\displaystyle m({\hat {x}}_{B})^{T}({\vec {a}}_{P/I})=m({\ddot {x}}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }})}$

合併左式及右式，並且除以m可得

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

此結果也和拉格朗日方程的結果相同，使用牛頓運動定律的好處是知道所有的反作用力，可以確定擺和台車不會因為受力過大而損毀。

穩定台車倒單擺的方式，可以簡述為下三點。

1. 若直桿往右傾斜，台車需要往右加速，反之亦然。
2. 台車相對軌道中心的位置${\displaystyle x}$穩定的方式是是將null angle由台車的位置來進行調整，也就是null angle ${\displaystyle =\theta +kx}$，其中${\displaystyle k}$是小的數值。因此桿會輕微的向軌道中心傾斜，若其角度恰好垂直的話，就會穩定在軌道中心。傾斜感測器或是軌道斜率的誤差（本來會造成不穩定的效應）都會變成穩定的位置偏移量，另外增加的偏移量則是為了位置控制。
3. 正常的擺單擺在角頻率為${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {g/\ell }}}$時會共振。為了避免不受控的晃動，樞紐點需要抑制在共振頻率${\displaystyle \omega _{p}}$附近的頻率響應。倒單擺也需要類似的帶拒濾波器才能達到穩定。

由於null angle調整策略的結果，正回授的結果為正，若擺突然往右移動，會讓平台的初始速度往左，但之後會往右，以讓倒單擺重新平衡。擺的不穩定性以及正位置回授的不穩定性交互作用，以產生一個穩定的系統，這是倒單擺穩定問題的特徵，也是在數學分炘上有趣而有挑戰性的地方。

倒單擺若在上下振動的平台上，有可能可以在不受控的情形下穩定，最早研究這種倒單擺的是俄國科學家彼得·列昂尼多维奇·卡皮察，因此這種擺也稱為卡皮察擺。在無質量垂直振盪平台上的擺，其運動方程推導方式類似台車上的單擺，點質點的位置為：

${\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}$

一次微分後可以得到速度：

${\displaystyle v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

系統的拉格朗日量如下：

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}$

運動方程為：

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

結果是：

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .}$

若y的運動是簡諧運動${\displaystyle y=A\sin \omega t}$，則其微分方程為：

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .}$

此一方程沒有解析解，不過可以用不同方式來求解。若振幅很小時，可以用马丢函数來近似。分析結果是卡皮察擺在快速振盪時可以穩定。左圖是慢速振盪的圖，在慢速振盪下，單擺很快就倒下，其角度${\displaystyle \theta }$很快就超過90°，表示單擺已倒下。右圖是快速振盪的圖，若${\displaystyle y}$是快速振盪，擺可以穩定在直立狀態下。啟始時倒單擺是在直立狀態（${\displaystyle \theta =0}$），但擺的角度始終不大，而且擺有倒下。

平衡倒單擺是研究者常見的工程挑戰^[4]，有許多不同的變形，從台車上的倒單擺到台車上的多段倒擺（倒複擺）。另外一種變體是將倒單擺或是倒複擺放在旋轉元件的末端。若沒有外力平衡，這些倒擺都會倒下。計劃中的倒單擺可能是在找到平衡位置後要可以維持平衡，或是要可以自行達到平衡狀態。另外一個平台是兩輪平衡的倒單擺。兩輪的倒單擺可以旋轉，可以提供相當的操控性^[5]。另外一個變體是在單點上的平衡。陀螺、單輪腳踏車或是球上的倒單擺都是單點上平衡的例子。如上所述，若在垂直振盪的平面上，倒單擺也可以維持平衡。

人就是平衡倒單擺的例子之一。站著的人就是倒單擺，其腳即為樞紐，若站著的人沒有肌肉持續的微幅施力調整，最後會跌倒。人的神經系統中有無意識的反馈控制系統、平衡感或正位反射（英语：righting reflex），用眼睛、肌肉及關節的本體感覺，以及由內耳中三個半规管組成前庭系统所得的方向輸入、或是利用耳石的輸入，持續的對骨骼肌小幅調整施力，以維持直立。走路、跑步或是單腳站立都需要此系統的調節。有些疾病、酒精或是藥物中毒會影響此一反射，造成頭暈或無法自行站立平衡。警察在測試駕駛者是否有受到酒精或是藥物影響的現場清醒測試（英语：field sobriety test）就是確認此反射是否有問題。

像用手平衡直立在手上的掃把或是直尺，也是倒單擺的例子。

有許多的設備中有用到倒單擺，倒單擺的平衡也是研究者探討的工程問題之一^[5]。倒單擺本身不穩定的特性，略有一些擾動，就會有明顯的響應，因此也是早期地震儀中的關鍵元件之一^[6]。

很多現代的個人運輸工具（英语：personal transporter）中也有用到倒單擺的概念，例如二輪的自平衡滑行车以及單輪的電子單輪車（英语：electric unicycle）。這些設備有動力學不穩定的特性，需要透過電子回授配合伺服機構使其直立。

讓台車上的單擺由單擺往下的穩定狀態，擺動到倒單擺的狀態，是最佳控制的典型玩具問題之一^[7][8]

• 倒雙擺
• 慣性輪單擺（英语：Inertia wheel pendulum）
• Furuta摆（英语：Furuta pendulum）
• iBOT（英语：iBOT）
• 類人型機器人
• Ballbot（英语：Ballbot）

• D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89ff

• Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

• YouTube - Inverted Pendulum - Demo #3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• YouTube - inverted pendulum （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• YouTube - Double Pendulum on a Cart （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• YouTube - Triple Pendulum on a Cart （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• A dynamical simulation of an inverse pendulum on an oscillatory base （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Inverted Pendulum: Analysis, Design, and Implementation
• Non-Linear Swing-Up and Stabilizing Control of an Inverted Pendulum System （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Stabilization fuzzy control of inverted pendulum systems^{[永久失效連結]}
• Blog post on inverted pendulum, with Python code （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Equations of Motion for the Cart and Pole Control Task （页面存档备份，存于互联网档案馆）