Một hệ phương trình tuyến tính với n ẩn có nghiệm khi và chỉ khihạng của ma trận hệ số A của nó bằng hạng của ma trận mở rộng [A|b].[1] Nếu tồn tại nghiệm thì chúng tạo thành một không gian afin convới số chiều bằng n−rank(A). Cụ thể hơn:
nếu n = rank(A), nghiệm là duy nhất,
nếu không thì có vô số nghiệm.
Ví dụ
Xét hệ phương trình
x + y + 2z = 3,
x + y + z = 1,
2x + 2y + 2z = 2.
Ma trận hệ số là
và ma trận mở rộng là
Vì cả hai ma trận trên đều có cùng hạng là 2 nên tồn tại ít nhất một nghiệm, và vì hạng của chúng nhỏ hơn số ẩn là 3 nên tồn tại vô số nghiệm.
Ngược lại, xét hệ sau
x + y + 2z = 3,
x + y + z = 1,
2x + 2y + 2z = 5.
Ma trận hệ số là
và ma trận mở rộng là
Trong ví dụ này ma trận hệ số có hạng 2, trong khi ma trận mở rộng có hạng 3; vì thế hệ phương trình này vô nghiệm. Thật vậy, việc tăng số cột độc lập tuyến tính đã làm cho hệ phương trình trở nên không nhất quán.
![{\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719fe63e6ea283f189df8363c1d418f0a73a5ebb)
![{\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d486765032f65d6f336123d4e956685ad6257d)