Khi và chỉ khi

Trong logic học, hai mệnh đề P và Q gọi là tương đương logic hay tương đương với nhau nếu P và Q đồng thời có cùng một giá trị chân lý; nghĩa là P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Ta viết: P ⇔ Q

"⇔" gọi là dấu liên hệ tương đương.

Logic toán

Trong logic toán, bảng chân lý của một quan hệ tương đương như sau:

P	Q	P ⇔ Q
Đúng	Đúng	Đúng
Đúng	Sai	Sai
Sai	Đúng	Sai
Sai	Sai	Đúng

Dễ thấy, mối quan hệ tương đương P ⇔ Q chẳng qua là (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) ((P kéo theo Q) và (Q kéo theo P)).

Nói cách khác, hai mệnh đề P và Q tương đương nhau khi và chỉ khi mệnh đề này kéo theo mệnh đề kia và ngược lại.

Trong trường hợp này, hai phát biểu "P ⇒ Q" và "Q ⇒ P" gọi là đảo đề của nhau.

Để chứng minh mối quan hệ tương đương P ⇔ Q, ta phải chứng minh mối quan hệ kéo theo P ⇒ Q và chiều ngược lại.

Chú ý rằng (P ⇔ Q) ⇔ (Q ⇔ P)

Trong ngôn ngữ tự nhiên, để diễn đạt mối liên hệ tương đương giữa P và Q, người ta có nhiều cách nói:

P đúng khi và chỉ khi Q đúng.
Để cho P đúng, điều kiện cần và đủ là Q đúng.
Điều kiện cần và đủ để P đúng là Q đúng.
P đúng là một điều kiện cần và đủ để Q đúng.
P tương đương với Q.

Tính chất

P ⇔ P (tính phản xạ)
(P ⇔ Q) ⇒ (Q ⇔ P) (tính đối xứng)
((P ⇔ Q) ⇔ R) ⇔ (P ⇔ (Q ⇔ R)) (tính kết hợp)
¬¬P ⇔ P (tương đương với nguyên lý triệt tam)
(P ⇔ Q) ⇔ (¬P ⇔ ¬Q) (contraposition)

Ví dụ

Ta có

\forall n\in \mathbb {N} ,n\geq 2,\forall x\in \mathbb {R} -\{1\},(x+1)^{n}=(x-1)^{n}\Leftrightarrow {\frac {(x+1)^{n}}{(x-1)^{n}}}=1

Mối quan hệ "tương đương" ∀x, y∈ℝ (x=y ⇔ x²=y²) (bình phương lên) là sai vì thí dụ 2²=(-2)² không kéo theo được 2=-2
Mối quan hệ tương đương sau là đúng

\forall x\in [-1,+\infty ],x-1\geq {\sqrt {x+1}}\Leftrightarrow ((x-1)^{2}\geq x+1\quad \wedge \quad x-1\geq 0)

(bình phương lên)

Khi bình phương lên, ta mất thông tin "x-1 lớn hơn hoặc bằng một căn bậc hai" nên nó không âm, vậy để đạt được tương đương, ở mệnh đề sau ta phải bổ sung x-1>=0.

Nhận xét:

Chứng minh bằng các quan hệ tương đương không phải lúc nào cũng đơn giản, nhiều khi cần phải chứng minh riêng lẻ từng đảo đề tương ứng.

Phát biểu rằng "quan hệ tương đương P ⇔ Q là đúng" không có nghĩa là "P và Q đều đúng", mà là "khi một trong hai mệnh đề là đúng (hoặc sai), mệnh đề còn lại cũng đúng (hoặc sai) đồng thời".

Quan hệ tương đương giữa nhiều mệnh đề

Xem xét ba mệnh đề P, Q và R.

Để chứng minh các mối quan hệ tương đương P ⇔ Q ⇔ R, chỉ cần chứng minh các quan hệ kéo theo sau:

P ⇒ Q, Q ⇒ R và R ⇒ P.

Giả sử các quan hệ P ⇒ Q, Q ⇒ R và R ⇒ P đã được thiết lập.

Để chứng minh rằng Q ⇒ P, ta dùng hai quan hệ Q ⇒ R và R ⇒ P.

Tương tự, từ R ⇒ P và P ⇒ Q suy ra R ⇒ Q.

Cuối cùng P ⇒ R, do P ⇒ Q và Q ⇒ R.

Cách chứng minh như trên gọi là chứng minh vòng.

Ta có thể tổng quát hóa đối với n mệnh đề P₁, P₂… P_n.

Để chứng minh các mối quan hệ tương đương P₁ ⇔ P₂ ⇔… ⇔ P_n, chỉ cần chứng minh các quan hệ kéo theo:

P₁ ⇒ P₂, P₂ ⇒ P₃… P_n-1 ⇒ P_n và P_n ⇒ P₁.

Tham khảo

Read other articles:

Candice Michelle

Artikel ini perlu diterjemahkan dari bahasa Inggris ke bahasa Indonesia. Artikel ini ditulis atau diterjemahkan secara buruk dari Wikipedia bahasa Inggris. Jika halaman ini ditujukan untuk komunitas bahasa Inggris, halaman itu harus dikontribusikan ke Wikipedia bahasa Inggris. Lihat daftar bahasa Wikipedia. Artikel yang tidak diterjemahkan dapat dihapus secara cepat sesuai kriteria A2. Jika Anda ingin memeriksa artikel ini, Anda boleh menggunakan mesin penerjemah. Namun ingat, mohon tidak men...

Gempa bumi Fiji 2009

Gempa bumi Fiji 2009Waktu UTC??ISCUSGS-ANSSTanggal *9 November 2009 (2009-11-09)Tanggal setempatWaktu setempatKekuatan7.3 MwKedalaman585.1 kmEpisentrum17°12′43″S 178°24′47″E / 17.212°S 178.413°E / -17.212; 178.413Wilayah bencana FijiTsunamiTidakGempa susulan~32Korban0* Usang Lihat dokumentasi. Gempa bumi Fiji 2009 adalah gempa bumi yang terjadi pada 9 November 2009 pukul 22:44 waktu setempat (10:44 UTC) di Fiji. Pusat...

Piala Raja Spanyol 2015–2016

Piala Raja Spanyol 2015–2016Negara SpanyolJumlah peserta83Juara bertahanBarcelonaJuaraBarcelona(gelar ke-28)Tempat keduaSevillaJumlah pertandingan111Jumlah gol319 (2.87 per pertandingan)Pencetak gol terbanyak Lionel Messi(F.C. Barcelona) John Guidetti(Celta de Vigo) Luis Suárez(F.C. Barcelona) Munir El Haddadi(F.C. Barcelona) Álvaro Negredo(Valencia C.F.)(5 gol)← 2014–2015 2016–2017 → Piala Raja Spanyol 2015–2016 adalah edisi ke-112 dari penyelenggaraan Piala Raja Spanyol, ...

Andreas Bernard

Italian ice hockey player Ice hockey player Andreas Bernard Andreas BernardBorn (1990-06-09) 9 June 1990 (age 33)Neumarkt, ItalyHeight 6 ft 0 in (183 cm)Weight 200 lb (91 kg; 14 st 4 lb)Position GoaltenderCatches LeftICEHL teamFormer teams HC PustertalSaiPaÄssätVäsby IKEC VSVNational team ItalyPlaying career 2008–present Andreas Bernard (born 9 June 1990) is an Italian professional ice hockey goaltender who currently plays for HC Pusterta...

Spacecraft Tracking and Data Acquisition Network

1960s American spacecraft communications system Orroral Valley STADAN control panel, at the National Museum of Australia The Spacecraft Tracking and Data (Acquisition) Network (STADAN or STDN) was established by NASA in the early 1960s to satisfy the requirement for long-duration, highly available space-to-ground communications. The network was the “follow-on” to the earlier Minitrack, which tracked the flights of Sputnik, Vanguard, Explorer, and other early space efforts (1957–1962). R...

Figueiró dos Vinhos

Municipality in Centro, PortugalFigueiró dos VinhosMunicipality FlagCoat of armsCoordinates: 39°54′N 8°16′W / 39.900°N 8.267°W / 39.900; -8.267Country PortugalRegionCentroIntermunic. comm.Região de LeiriaDistrictLeiriaParishes4Government • PresidentJorge Abreu (PS)Area • Total173.44 km2 (66.97 sq mi)Population (2021) • Total5,281 • Density30/km2 (79/sq mi)Time zoneUTC±00:00 (WET)&#...

Maxwell Jacob Friedman

Maxwell Jacob FriedmanFriedman pada Mei 2019Nama lahirMaxwell T. FriedmanLahir15 Maret 1996 (umur 28)Plainview, New York, A.S.Situs webmaxwelljacobfriedman.comKarier gulat profesionalNama ringMaxwell Jacob Feinstein[1] Maxwell Jacob Friedman[1]MJF[1]Pete Lightning[1]Sandy Bunker[1]Tinggi5 ft 11 in (180 cm)[2]Berat229 pon (104 kg)Asal dariPlainview, New York[3]Dilatih olehBrian Myers[1]Pat Buck[1&...

Thelytoky

Type of parthenogenesis in which females are produced from unfertilized eggs Aphid giving birth by parthenogenesis, the live young growing from unfertilized eggs Thelytoky (from the Greek thēlys female and tokos birth) is a type of parthenogenesis and is the absence of mating and subsequent production of all female diploid offspring as for example in aphids. Thelytokous parthenogenesis is rare among animals and reported in about 1,500 species, about 1 in 1000 of described animal species, acc...

Vatican Library

Library of the Holy See in Vatican City Vatican Apostolic LibraryBibliotheca Apostolica VaticanaPope Sixtus IV Appoints Bartolomeo Platina Prefect of the Vatican Library, fresco by Melozzo da Forlì, 1477, now in the Vatican Museums41°54′17″N 12°27′16″E / 41.90472°N 12.45444°E / 41.90472; 12.45444Location Vatican CityTypeResearch libraryEstablished1475 (549 years ago) (1475)CollectionSize 75,000 codices 1.1 million printed books Other inf...

160-мм миномёт образца 1943 года

160-мм миномёт обр. 1943 г. (МТ-13) Калибр, мм 160 Экземпляры 1557 Скорострельность, выстр/мин 3-4 Дульная скорость, м/с 140—245 Эффективная дальность, м 5150 Скорость возки по шоссе, км/ч 50 Ствол Длина ствола, мм/клб 3030 Масса Масса в боевом положении, кг 1170 Углы обстрела Угол ВН, град +45°/+80° У...

Silverstream railway station

Railway station in New Zealand SilverstreamMetlink suburban railSilverstream station in 2021General informationLocationFergusson Drive and Kiln Street, Silverstream, Upper Hutt, New ZealandCoordinates41°08′50.42″S 175°00′38.63″E / 41.1473389°S 175.0107306°E / -41.1473389; 175.0107306Owned byGreater Wellington Regional CouncilLine(s)Wairarapa LineTracksMain line (2)ConstructionStructure typeIslandParkingYesBicycle facilitiesYesOther informationStation codeSI...

國際調查記者同盟

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2021年10月13日)若您熟悉来源语言和主题，请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译，也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议，译文需在编辑摘要注明来源，或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。国际调查记者同盟International Consortium of Investigative Journalists成立時間1997年總部华盛顿哥伦比亚特区地址�...

2016年美國總統選舉

2016年美國總統選舉 ← 2012 2016年11月8日 2020 → 538個選舉人團席位獲勝需270票民意調查投票率55.7%[1][2] ▲ 0.8 % 获提名人唐納·川普希拉莉·克林頓政党共和黨民主党家鄉州紐約州紐約州竞选搭档迈克·彭斯蒂姆·凱恩选举人票 304[3][4][註 1] 227[5] 胜出州/省 30 + 緬-2 20 + DC 民選得票 62,984,828[6] 65,853,514[6]...

Frank Stubblefield

American politician Frank StubblefieldMember of the U.S. House of Representativesfrom Kentucky's 1st districtIn officeJanuary 3, 1959 – December 31, 1974Preceded byNoble Jones GregorySucceeded byCarroll Hubbard Personal detailsBorn(1907-04-05)April 5, 1907Murray, Kentucky, U.S.DiedOctober 14, 1977(1977-10-14) (aged 70)Murray, Kentucky, U.S.Political partyDemocraticAlma materUniversity of KentuckyProfessionbusinessman Frank Albert Stubblefield (April 5, 1907 –...

Carlo Giuseppe Merlo

Carlo Giuseppe Merlo (Milano, 5 novembre 1690 – Milano, 13 febbraio 1760) è stato un architetto e ingegnere italiano.Chiesa di San Bernardino alle Ossa Indice 1 Biografia 1.1 I lavori nel milanese 1.2 Il Duomo di Milano 1.3 Gli ultimi anni 2 Note 3 Bibliografia 4 Altri progetti 5 Collegamenti esterni Biografia Scalone d'onore di Palazzo LittaCarlo Giuseppe Merlo nasce a Milano il 5 novembre 1690 da Carlo Antonio Merlo e da Clara Castelli. Allievo di Francesco Bianchi, fu ammesso nel 1708 a...

Orphan drug

Regulatory class of pharmaceutical drug An orphan drug is a pharmaceutical agent that is developed to treat certain rare medical conditions. An orphan drug would not be profitable to produce without government assistance, due to the small population of patients affected by the conditions. The conditions that orphan drugs are used to treat are referred to as orphan diseases. The assignment of orphan status to a disease and to drugs developed to treat it is a matter of public policy that depend...

List of earthquakes in 1932

Earthquakes in 1932class=notpageimage| Approximate epicenters of the earthquakes in 1932 4.0–5.9 magnitude 6.0–6.9 magnitude 7.0–7.9 magnitude 8.0+ magnitude Strongest magnitude Mexico, Jalisco (Magnitude 8.1) June 3Deadliest Iran, Mazandaran Province (Magnitude 5.4) May 20 1,070 deathsTotal fatalities2,206Number by magnitude9.0+0← 19311933 → This is a list of earthquakes in 1932. Only magnitude 6.0 or greater earthquakes appear on the list. Lower magni...

Sinode Elvira

Jika kota Romawi kuno Elvira terletak di distrik Albaicín, Granada, seperti yang diduga beberapa orang, sinode itu mungkin diselenggarakan di dalam Puerta de Elvira (abad ke-XI), yang terlihat pada gambar Sinode Elvira (bahasa Latin: Concilium Eliberritanum, bahasa Spanyol: Concilio de Elvira) adalah sebuah sinode gerejawi yang diselenggarakan di Elvira di provinsi Romawi Hispania Baetica, sekarang Granada di selatan Spanyol.[1] Tanggalnya belum ditentukan secara pasti tetapi...

Bauakademie

Former architecture and engineering school in Berlin You can help expand this article with text translated from the corresponding article in German. (December 2021) Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedi...

ビートたけしのTVタックル

この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2019年1月）独自研究が含まれているおそれがあります。（2019年1月）出典検索?: ビートたけしのTVタックル – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL �...