Tích rỗng

Trong toán học, tích rỗng là kết quả của phép nhân không nhân tử. Theo quy ước tích rỗng bằng nhân tử đơn vị (nếu như phép nhân đang xét có đơn vị), cũng giống như tổng rỗng – tổng của không số hạng – theo quy ước bằng 0 hoặc bằng đơn vị cộng.[1][2][3][4]

Thuật ngữ "tích rỗng" thường được sử dụng theo nghĩa trên khi bàn luận về các phép toán số học. Tuy vậy, thuật ngữ này đôi khi được dùng trong những ngành khác như phép giao trong lý thuyết tập hợp, tích phạm trù và các tích trong lập trình máy tính.

Tích số học khả rỗng

Lập luận

Xét dãy số a1, a2, a3, … và đặt

là tích của m số hạng đầu tiên của dãy. Khi ấy

với mọi m = 1, 2, … nếu ta cho P1 = a1P0 = 1 (đây là số duy nhất thỏa mãn hệ thức trên). Nói cách khác, "tích" P1 với chỉ một nhân tử bằng nhân tử đó, còn "tích" P0 với không nhân tử thì bằng 1. Quy ước một "tích" của một hoặc không nhân tử làm đơn giản hóa nhiều công thức toán học. Những "tích" như thế thường làm điểm bắt đầu cho những chứng minh quy nạp, cũng như trong thuật toán. Do đó, tích rỗng bằng một là một quy ước thường được dùng trong toán học và khoa học máy tính.

Sử dụng

Khái niệm tích rỗng cũng hữu ích như số khôngtập rỗng: tuy có vẻ không quan trọng, chúng giúp đơn giản hóa nhiều biểu thức và chứng minh trong toán học và những ngành liên quan.

Ví dụ, các tích rỗng cho ta 0! = 1 (ký hiệu giai thừa) và x0 = 1, làm gọn ký hiệu chuỗi Taylor (xem không mũ không trong trường hợp x = 0). Tương tự, nếu M là một ma trận n × n thì M0ma trận đơn vị n × n, nghĩa là áp dụng một ánh xạ tuyến tính không lần thì tương đương với việc áp dụng một biến đổi đồng nhất.

Một ví dụ khác, định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích của các số nguyên tố. Tuy nhiên, nếu ta không cho phép tích của 0 hay 1 thừa số thì định lý và chứng minh sẽ trở nên dài và phức tạp hơn.[5][6]

Một số ví dụ khác của tích rỗng trong toán học có thể được thấy trong định lý nhị thức (coi x0 = 1 với mọi x), số Stirling, Định lý König, chuỗi nhị thứcký hiệu Pochhammer.

Logarit

Do logarit biến tích thành tổng

chúng biến tích rỗng thành tổng rỗng. Do đó nếu ta định nghĩa tích rỗng bằng 1 thì tổng rỗng phải bằng ln(1) = 0. Ngược lại, hàm lũy thừa biến tổng thành tích, do đó nếu ta định nghĩa tổng rỗng bằng 0 thì tích rỗng phải bằng e0 = 1.

Tích Descartes khả rỗng

Xét định nghĩa tổng quát của tích Descartes các tập Xi:

Nếu I là tập rỗng, g duy nhất thỏa điều kiện trên là hàm rỗng , tức là một tập rỗng

Do đó, lực lượng của tích Descartes rỗng là 1.

Trong logic

Logic cổ điển định nghĩa phép hội, được tổng quát thành định lượng với mọi trong logic bậc nhất, thường được coi là phép nhân logic vì ta thường coi đúng là 1 và sai là 0, khiến kết quả của phép hội giống với phép nhân. Trong trường hợp có 0 nhân tử, ta có một phép hội rỗng, và cho kết quả đúng.

Trong lập trình máy tính

Nhiều ngôn ngữ lập trình, ví dụ như Python hay Julia, có hàm tích có thể trả về tích của các số trong mảng. Ví dụ như trong Python (bản 3.8 trở lên):

math.prod([2, 3, 5]) # = 30
math.prod([2, 3])    # = 6
math.prod([2])       # = 2
math.prod([])        # = 1

Quy ước này giúp tránh phải xét trường hợp riêng biệt nếu độ dài mảng là 0 hay 1.

Do phép nhân là toán tử trung tố, tức chúng nằm giữa hai nhân tử, làm phức tạp hóa ký hiệu của tích rỗng. Một số ngôn ngữ lập trình có các hàm chấp nhận số ẩn số thay đổi. Ví dụ, ký hiệu tiền tố đóng ngoặc của Lisp cho ta biểu diễn tự nhiên sau

(* 2 3 4)  ; bằng 24
(* 2 3)    ; bằng 6
(* 2)      ; bằng 2
(*)        ; bằng 1

Xem thêm

Tham khảo

  1. ^ Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek (1998). Invitation to Discrete Mathematics. Oxford University Press. tr. 12. ISBN 0-19-850207-9.
  2. ^ A.E. Ingham and R C Vaughan (1990). The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. tr. 1. ISBN 0-521-39789-8.
  3. ^ Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ấn bản thứ 3), New York: Springer-Verlag, tr. 9, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
  4. ^ David M. Bloom (1979). Linear Algebra and Geometry. tr. 45. ISBN 0521293243.
  5. ^ Edsger Wybe Dijkstra (ngày 4 tháng 3 năm 1990). “How Computing Science created a new mathematical style”. EWD. Truy cập ngày 20 tháng 1 năm 2010. Hardy và Wright: 'Every positive integer, except 1, is a product of primes', Harold M. Stark: 'If n is an integer greater than 1, then either n is prime or n is a finite product of primes'. These examples — which I owe to A. J. M. van Gasteren — both reject the empty product, the last one also rejects the product with a single factor. no-break space character trong |quote= tại ký tự số 217 (trợ giúp)
  6. ^ Edsger Wybe Dijkstra (ngày 14 tháng 11 năm 1986). “The nature of my research and why I do it”. EWD. Bản gốc lưu trữ ngày 15 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 3 tháng 7 năm 2010. But also 0 is certainly finite and by defining the product of 0 factors — how else? — to be equal to 1 we can do away with the exception: 'If n is a positive integer, then n is a finite product of primes.' no-break space character trong |quote= tại ký tự số 72 (trợ giúp)

Liên kết ngoài

Read other articles:

Clarias Periode Lower Pliocene - recent Clarias batrachusTaksonomiKerajaanAnimaliaFilumChordataKelasActinopteriOrdoSiluriformesFamiliClariidaeGenusClarias Scopoli, 1777 Tata namaSinonim takson Chlarias Scopoli, 1777 Macropteronotus La Cepède, 1803 Clarias Cuvier, 1816 Cossyphus M’Clelland, 1844 Phagorus M’Clelland, 1844 Dinotopteroides Fowler, 1930 Prophagorus Smith, 1939 Anguilloclarias Teugels, 1982 Brevicephaloides Teugels, 1982 Clarioides Teugels, 1982 Platycephaloides Teugels, 1982 ...

 

Coppa SpensleySport Calcio Dedicato aJames Spensley Fondazione1905 Soppressione1908 Assegnato aSquadra vincitrice della Prima Categoria FrequenzaAnnuale Detentore Milan Ultimo vincitore Milan[N 1] Maggiori vittorie Milan (2)[N 2] Modifica dati su Wikidata · Manuale La Coppa Spensley fu il trofeo assegnato alla squadra Campione d'Italia di calcio nei campionati di Prima Categoria tra il 1905 e il 1907, nonché alla squadra Campione Federale d'Italia nel dis...

 

Penjara bawah tanah yang dihasilkan secara prosedural di permainan video 1980. Rogue, permainan yang dinamai genre roguelike Roguelike adalah subgenre permainan video permainan peran yang ditandai oleh dungeon crawl melalui level yang dihasilkan secara prosedural, gameplay berbasis giliran, grafis berbasis ubin, dan karakter pemain kematian permanen . Kebanyakan roguelikes didasarkan pada narasi fantasi tinggi, yang mencerminkan pengaruhnya dari permainan peran di meja seperti Dungeons & ...

United States ornithological artist (1874–1927) Louis Agassiz FuertesBornFebruary 7, 1874Ithaca, New York, USDiedAugust 22, 1927(1927-08-22) (aged 53)Railroad crossing near Unadilla, New York, USEducationCornell UniversityOccupation(s)Ornithologist, illustrator and artistKnown forPaintings of birdsSpouseMargaret F. SumnerChildren2ParentsEstevan Fuertes (father)Mary Stone Perry Fuertes (mother)RelativesElliott Coues (uncle), James Hillhouse Fuertes (brother) Louis Agassiz Fuertes (...

 

Pour les articles homonymes, voir Plaisance. Plaisance La place du 08 Mai 1945. Blason Administration Pays France Région Occitanie Département Gers Arrondissement Mirande Intercommunalité Communauté de communes Bastides et Vallons du Gers Maire Mandat Patrick Fitan 2020-2026 Code postal 32160 Code commune 32319 Démographie Gentilé Plaisantins, Plaisantines Populationmunicipale 1 421 hab. (2021 ) Densité 104 hab./km2 Géographie Coordonnées 43° 36′ 24″...

 

Ada usul agar Balap (saluran TV) digabungkan ke artikel ini. (Diskusikan) Diusulkan sejak April 2024. Ada usul agar Musik Indonesia (saluran televisi) digabungkan ke artikel ini. (Diskusikan) Diusulkan sejak April 2024. Ada usul agar Historical Sports digabungkan ke artikel ini. (Diskusikan) Diusulkan sejak April 2024. Ada usul agar Nusantara (saluran televisi) digabungkan ke artikel ini. (Diskusikan) Diusulkan sejak April 2024. Ada usul agar Seru! Channel digabungkan ke artikel ini. (Diskusi...

Questa voce o sezione sugli argomenti classifiche musicali e Regno Unito non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Commento: Solo una nota Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Official Charts CompanyOfficial Charts Company AbbreviazioneOCC Fondazione3 agosto 1969(come The Official UK Charts Company) FondatoreInghilterra, Regno Unito ScopoTo award trending top singles Sito web Modifica...

 

Нини Маршаллисп. Niní Marshall Имя при рождении исп. Marina Esther Traveso Дата рождения 1 июня 1903(1903-06-01) Место рождения Буэнос-Айрес, Аргентина Дата смерти 18 марта 1996(1996-03-18) (92 года) Место смерти Буэнос-Айрес, Аргентина Страна  Аргентина Род деятельности журналистка, кин...

 

This article's tone or style may not reflect the encyclopedic tone used on Wikipedia. See Wikipedia's guide to writing better articles for suggestions. (May 2024) (Learn how and when to remove this message) British TV series or programme The ValleysGenreRealityCreated byMTVStarringSee belowCountry of originUnited KingdomOriginal languagesEnglish, WelshNo. of series4No. of episodes22 (list of episodes)ProductionExecutive producerFiona O'SullivanRunning time42 minutes(excluding adverts)Product...

1953 film The Yellow BalloonDirected byJ. Lee Thompson(credited as J. Lee-Thompson)Written byAnne BurnabyJ. Lee ThompsonProduced byVictor SkutezkyStarringAndrew RayKenneth MoreKathleen RyanWilliam SylvesterCinematographyGilbert TaylorEdited byRichard BestMusic byPhilip GreenProductioncompanyMarble Arch ProductionsDistributed byAssociated British Picture Corporation Allied Artists (US)Release date 10 February 1953 (1953-02-10) Running time78 minutesCountryUnited KingdomLanguageE...

 

معرض الترفيه الإلكتروني 2017معلومات عامةالاسم الأصلي Electronic Entertainment Expo 2017النوع متعدد الاغراضتاريخ البداية 13 يونيو 2017تاريخ الانتهاء 15 يونيو 2017المبنى مركز مؤتمرات لوس أنجلوسالمكان لوس انجليسالبلد  الولايات المتحدةالقادم معرض الترفيه الإلكتروني 2018 السابق معرض الترفيه ال�...

 

  لمعانٍ أخرى، طالع أورلاند (توضيح). أورلان Ørland أورلاندشعار النبالة لبلدية أورلان موقع أورلان بالنسبة لسور تروندلاغ تقسيم إداري البلد النرويج[1][2] مقاطعة سور تروندلاغ المسؤولون خصائص جغرافية إحداثيات 63°42′32″N 9°36′38″E / 63.708888888889°N 9.6105555555556°E / 63.708888...

Tanagura 棚倉町KotaprajaBalai Kota Tanagura BenderaEmblemLokasi Tanagura di Prefektur FukushimaTanaguraLokasi di JepangKoordinat: 37°01′47″N 140°22′46″E / 37.02972°N 140.37944°E / 37.02972; 140.37944Negara JepangWilayahTōhokuPrefektur FukushimaDistrikHigashishirakawaPemerintahan • WalikotaIppei YuzaLuas • Total159,93 km2 (61,75 sq mi)Populasi (1 April 2020) • Total13,827 • Kep...

 

أيه بي سي     معلومات عامة المالك شركة والت ديزني  المؤسس إدوارد جاي نوبل  تاريخ التأسيس 12 أكتوبر 1943  البلد الولايات المتحدة  المقر الرسمي نيويورك  الموقع الرسمي الموقع الرسمي (الإنجليزية)  صفحة فيسبوك ABCNetwork  صفحة تويتر ABCNetwork  تعديل مصدري - تعديل  ...

 

South African astronomer Alan William James CousinsBorn(1903-08-08)8 August 1903Three Anchor Bay, Cape Town, South AfricaDied11 May 2001(2001-05-11) (aged 97)[1]Cape TownEducationPretoria Boys High SchoolUniversity of the WitwatersrandAlma materUniversity of Cape Town[2]SpouseAlison Mavis DonaldsonScientific careerFieldsPhotometryInstitutionsC.A. Parson Engineering worksElectricity Supply CommissionRoyal Observatory, Cape of Good HopeThesis Standard Magnitude Sequenc...

UFC Fight Night: Brunson vs. ShahbazyanProdotto daUltimate Fighting Championship Data1º agosto 2020 Città Las Vegas SedeUFC APEX Spettatori0[1] Cronologia pay-per-viewUFC on ESPN: Whittaker vs. TillUFC Fight Night: Brunson vs. ShahbazyanUFC Fight Night: Lewis vs. Oleinik Progetto Wrestling Manuale UFC Fight Night: Brunson vs. Shahbazyan (conosciuto anche come UFC Fight Night 173 oppure UFC on ESPN+ 31 o anche UFC Vegas 5) è stato un evento di arti marziali miste tenuto dalla Ultima...

 

Questa voce o sezione sull'argomento cantanti statunitensi non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Commento: La pagina è carente di fonti Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Ryan TedderUn primo piano di Ryan Tedder Nazionalità Stati Uniti GenereRock alternativoPop rockPopRhythm and blues Periodo di attività musicale...

 

Priestly hereditary dynasty St. George's Cathedral, Lviv: The cathedral also holds a predominant position in Ukrainian religious and cultural terms.[1] The Eastern Catholic clergy of the Ukrainian Greek Catholic Church were a hereditary tight-knit social caste that dominated Ukrainian society in Western Ukraine from the late eighteenth until the mid-twentieth centuries, following the reforms instituted by Joseph II, Emperor of Austria. Because, like their Eastern Orthodox brethren, ma...

Techniques claiming to improve the ability to read quickly Speed read redirects here. For a management summary, see speed read (summary). This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (October 2012) (Learn how and when to remove this message) A reading muse Part of a series onReading Learning to read Reading readiness Vocabulary development Vocabulary learni...

 

Voce principale: Sport Club Fortuna Köln. Sport Club Fortuna KölnStagione 2020-2021Sport calcio Squadra Fortuna Colonia Allenatore Alexander Ende All. in seconda Zlatko Muhović Regionalliga4º posto Maggiori presenzeCampionato: Owusu, Ubabuike, Ochojski (39)Totale: Owusu, Ubabuike, Ochojski (39) Miglior marcatoreCampionato: Prokoph (15)Totale: Prokoph (15) StadioSüdstadion Maggior numero di spettatori930 vs. Colonia II Minor numero di spettatori300 vs. Straelen, Rot Weiss Essen Medi...