Tích Euler

Trong lý thuyết số, tích Euler là dạng khai triển chuỗi Dirichlet thành tích vô hạn được đánh chỉ số bởi các số nguyên tố. Tích gốc xuất hiện trong bài chứng minh công thức cho tổng các số nguyên dương được mũ lên một giá trị nào đó của Leonhard Euler. Chuỗi này cùng với thác triển của nó trong mặt phẳng phức sau được biết đến là hàm zeta Riemann.

Định nghĩa

Trong tổng quát, nếu ahàm nhân tính bị chặn, thì chuỗi Dirichlet

bằng với

trong đó giá trị tích được lấy trên các số nguyên tố p, và P(p, s) là tổng

Thậm chí, nếu ta coi các hàm này là hàm sinh hình thức, thì sự tồn tại của tích Euler có hình thức là điều kiện cần và đủ sao cho a(n) nhân tính: tức là a(n) là tích của các a(pk) mỗi khi n phân tích thành tích của các lũy thừa nguyên tố pk với các số nguyên tố p phân biệt.

Một trường hợp đặc biệt quan trọng là khi a(n) nhân tính toàn phần, khi đó P(p, s)chuỗi hình học và do vậy

và là trường hợp đặc biệt của hàm zeta Riemann khi a(n) = 1, và tổng quát hơn cho các ký tự Dirichlet.

Hội tụ

Thực tế, tất cả trường hợp quan trọng đều là khi khai triển chuỗi vô hạn và tích vô hạn đều hội tụ tuyệt đối trong một số miền

tức là, miền đó là một trong trong một số bán mặt phẳng phải nằm trong mặt số phức. Tính chất này cho thêm một số thông tin bởi, để tích vô hạn có thể hội tụ thì phải có giá trị của nó phải khác không, do đó hàm cho bởi chuỗi vô hạn sẽ khác không tại bán mặt phẳng đó.

Trong lý thuyết của các dạng modula, thường thì sẽ có tích Euler có các đa thức bậc hai ở mẫu số. Tổng quát hơn, chương trình Langlands bao gồm giải thích đầy đủ cho mối liên hệ giữa các đa thức bậc m với lý thuyết biểu diễn cho GLm.

Các ví dụ

Các ví dụ sau sử dụng ký hiệu cho tập các số nguyên tố, nghĩa là:

Tích Euler gắn liền với hàm zeta Riemann ζ(s), và cũng sử dụng tổng của chuỗi hình học, tức là

trong khi đối với hàm Liouville λ(n) = (−1)ω(n), khai triển của nó là

Sử dụng phần nghịch đảo, hai tích Euler cho hàm Möbius μ(n)

Chia cái dưới cho cái trên ta được

Bởi khi lấy các giá trị chẵn của s, hàm zeta Riemann ζ(s) có giá trị là biểu thức giải tích dưới dạng bội hữu tỉ của πs, thì đối với các số mũ chẵn, giá trị của tích vô hạn là một số hữu tỉ. Ví dụ chẳng hạn, bởi ζ(2) = π2/6, ζ(4) = π4/90, và ζ(8) = π8/9450, nên

và tiếp tục như vậy, kết quả đầu tiên được tính và biết bởi Ramanujan. Họ các tích vô hạn này đồng thời tương đương với

trong đó ω(n) đến các ước số nguyên tố phân biệt của n, và 2ω(n) là số các ước thiếu chính phương.

Nếu χ(n) là ký tự Dirichlet của giá trị dẫn N sao cho χ nhân tính toàn phần và χ(n) chỉ phụ thuộc trên n mod N, và χ(n) = 0 nếu n không nguyên tố cùng nhau với N, thì

Ở đây để tiện, ta bỏ khỏi tích các ước nguyên tố p của N. Trong sách của ông, Ramanujan tổng quát hóa tích Euler cho hàm zeta thành

với s > 1, Lis(x) trong công thức là hàm polylôgarit. Khi x = 1 , tích trên bằng với 1/ζ(s).

Hằng số toán học

Một số hằng số có dạng khai triển tích Euler.

Công thức Leibniz cho π

có thể coi là một chuỗi Dirichlet sử dụng ký tự Dirichlet (duy nhất) modulo 4, được đổi thành tích Euler của các phân số siêu riêng biệt (là các phân số trong đó tử số và mẫu số chỉ cách nhau 1 đơn vị):

trong đó mỗi tử số là ước số nguyên tố và mỗi mẫu số là số gần nhất với bội của 4.[1]

Các khai triển tích Euler cho một hằng số khác:

và nghịch đảo của nó A065489:

Chú thích

  1. ^ Debnath, Lokenath (2010), The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific, tr. 214, ISBN 9781848165267.

Tham khảo

  • G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
  • Bản mẫu:Apostol IANT (Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
  • G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Chapter 17 gives further examples.)
  • George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
  • G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"

Liên kết ngoài

Read other articles:

German Classics encyclopedia (1894–1980) You can help expand this article with text translated from the corresponding article in German. (January 2024) Click [show] for important translation instructions. View a machine-translated version of the German article. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting mach...

 

Between 1&2Sampul digitalAlbum mini karya TwiceDirilis26 Agustus 2022 (2022-08-26)StudioJYPE Studios (Seoul)GenreK-popDurasi22:07BahasaBahasa KoreaBahasa InggrisLabel JYP Republic Kronologi Twice Celebrate(2022) Between 1&2(2022) Ready to Be(2023) Singel dalam album Between 1&2 Talk That TalkDirilis: 26 Agustus 2022 Between 1&2 (ditulis sebagai BETW9EN 1&2) adalah album mini (EP) kesebelas dari girl grup Korea Selatan Twice. Album ini dirilis pada 26 Agustus 2022,...

 

Overview of the events of 1929 in paleontology List of years in paleontology (table) … 1919 1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929 1930 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 … In science 1926 1927 1928 1929 1930 1931 1932 Art Archaeology Architecture Literature Music Philosophy Science +... Paleontology or palaeontology is the study of prehistoric life forms on Earth through the examination of plant and animal fossils.[1] This includes the study of body fossils, ...

American legal television drama This article is about the TNT legal drama series. For the Hulu barmaking series, see Raising the Bar (2013 TV series). For the Hong Kong television series, see Raising the Bar (2015 TV series). Raising the BarGenreLegal dramaCreated bySteven BochcoDavid FeigeStarringMark-Paul GosselaarGloria ReubenTeddy SearsJ. August RichardsMelissa SagemillerJane KaczmarekCurrie GrahamNatalia CigliutiTheme music composerRichard StonePhilip de SouzaComposerAlec PuroCountry of ...

 

Self-portrait (c.1860) Sappho kissing her lyre, oil on canvas Jules-Élie Delaunay (bahasa Prancis: [dəlonɛ]; 13 Juni 1828 – 5 September 1891)adalah seorang akademik serta pelukis Prancis. Biografi Ia lahir di Nantes di Loire-Atlantique département Prancis. Delaunay belajar di bawah Flandrin, dan di École des Beaux Arts di Paris di bawah Lamothe. Dia bekerja dengan cara classicist dari Ingres sampai, setelah memenangkan Prix de Rome, dia pergi ke Italia; pada tahun 18...

 

2007 video by RamonesIt's Alive 1974-1996Video by RamonesReleasedOctober 2, 2007Recorded1974 – 1996GenrePunk rockLength262 min. LabelRhino Records Professional ratingsReview scoresSourceRatingAbsolutePunk.net(92%) link It's Alive 1974–1996 is a live DVD by the Ramones. It was released on October 2, 2007 by Rhino Records. It's a two-disc set and includes 118 tracks from 33 performances in eight countries, which span the group's career, from 1974 and 1996.[1] Most of the per...

Hindro Martono Kepala Dinas Pembinaan Mental Angkatan DaratMasa jabatan21 Januari 2022 – 29 Juli 2022 PendahuluEdisonPenggantiNur Salam Informasi pribadiLahir0 Agustus 1964 (umur 59)KebangsaanIndonesiaAlma materAkademi Militer (1988)Karier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan DaratMasa dinas1988—2022Pangkat Brigadir Jenderal TNISatuanArtileri Pertahanan UdaraSunting kotak info • L • B Brigadir Jenderal TNI (Purn.) Hindro Martono (lahir Agus...

 

تغرايተጋሩ (تغرينية)زواج تقليدي في أسمرةالتعداد الكليالتعداد 7٬000٬000 مناطق الوجود المميزةالبلد  القائمة ... إثيوبياإريترياإيطالياالسودانإسرائيلاليمنجيبوتي  إثيوبيا 4,500,000 إريتريا 3,255,405[1] ألمانيا ق. 33,000[2][Note 1] السويد ق. 20,000[3] النرويج ق. 13,500...

 

NBC/Telemundo affiliate in Wichita, Kansas KSNWWichita–Hutchinson, KansasUnited StatesCityWichita, KansasChannelsDigital: 15 (UHF)Virtual: 3BrandingKSN; KSN News 3Telemundo Kansas (on DT2)ProgrammingNetworkKansas State NetworkAffiliations3.1: NBC3.2: Telemundofor others, see § SubchannelsOwnershipOwnerNexstar Media Group(Nexstar Media Inc.)Sister stationsKSNC, KSNK, KSNG, KSNL-LDHistoryFirst air dateSeptember 1, 1955 (68 years ago) (1955-09-01)Former call signsKTVR (CP, ...

Municipality in Quebec, CanadaLysterMunicipalityLocation within L'Érable RCMLysterLocation in southern QuebecCoordinates: 46°22′N 71°37′W / 46.367°N 71.617°W / 46.367; -71.617[1]CountryCanadaProvinceQuebecRegionCentre-du-QuébecRCML'ÉrableConstitutedSeptember 18, 1976Named forLeicester[1]Government[2] • MayorSylvain Labrecque • Federal ridingMégantic—L'Érable • Prov. ridingArthabaskaArea[2&#...

 

South Korean model and actress (born 1994) The native form of this personal name is Jung Ho-yeon. This article uses Western name order when mentioning individuals. In this Korean name, the family name is Jung. Hoyeon JungJung in November 2021BornJung Ho-yeon (1994-06-23) June 23, 1994 (age 29)Myeonmok-dong, Seoul, South KoreaEducationDongduk Women's UniversityOccupationsModelactressYears active2010–presentAgentsSaram EntertainmentCreative Artists AgencyModeling informationHeig...

 

Leader of militant Tamil organisation in Sri Lanka (1954–2009) Prabhakaran redirects here. For the 2008 film, see Prabhakaran (film). This article is about a person whose name includes a patronymic. The article properly refers to the person by his given name, Prabhakaran, and not as Velupillai. Velupillai Prabhakaranவேலுப்பிள்ளை பிரபாகரன்Prabhakaran in 2006Born(1954-11-26)26 November 1954Valvettithurai, Dominion of Ceylon[1][2][3...

بيل باولي   معلومات شخصية اسم الولادة (بالإنجليزية: Isobel Dorothy Powley)‏  الميلاد 7 مارس 1992 (32 سنة)  لندن  مواطنة المملكة المتحدة  الحياة العملية المدرسة الأم مدرسة هولاند بارك  المهنة ممثلة مسرحية،  وممثلة أفلام  اللغات الإنجليزية  المواقع IMDB صفحتها على IMDB...

 

Клавдия Фелицита Австрийскаянем. Claudia Felizitas Österreich Портрет кисти Дольчи (1672). Музей истории искусств, Вена 31-я императрица Священной Римской империиКоролева Германии, Венгрии и Чехии 15 октября 1673 — 8 апреля 1676 Предшественник Маргарита Тереза Испанская Преемник Элеон...

 

Numeral system developed by Cistercian monks Numbers written with Cistercian numerals. From left to right: 1 in units place, 2 in tens place (20), 3 in hundreds place (300), 4 in thousands place (4,000), then compound numbers 5,555, 6,789, 9,394. Part of a series onNumeral systems Place-value notation Hindu–Arabic numerals Western Arabic Eastern Arabic Bengali Devanagari Gujarati Gurmukhi Odia Sinhala Tamil Malayalam Telugu Kannada Dzongkha Tibetan Balinese Burmese Javanese Khmer Lao Mongo...

British rugby league season Rugby league season Super League XXILeagueSuper LeagueDuration30 RoundsTeams12Highest attendance20,049 Wigan Warriors vs St Helens (22 July)Lowest attendance1,958 Salford Red Devils vs Huddersfield Giants (18 June)Average attendance9,134Attendance1,260,474 (as of round 23)Broadcast partnersSky SportsBBC Sport Fox Sports beIN SportsFox Soccer PlusSport Klub2016 seasonChampionsWigan Warriors 4th Super League21st British titleLeague LeadersWarrington WolvesRunners-upW...

 

Woodwind instrument This article is about the whole family of instruments. For the flute commonly used in orchestras and bands, see Western concert flute. For other uses, see Flute (disambiguation). Shinobue and other flutes Part of a series onMusical instruments Woodwinds Bagpipes Bassoon Contrabassoon Cor anglais Clarinet Flute Nadaswaram Oboe Piccolo Saxophone Tharai Brass instruments Baritone horn Cornet Euphonium Flugelhorn French horn Mellophone Tenor horn Trombone Trumpet Tuba String i...

 

1909–10 safari by former U.S. President Theodore Roosevelt Smithsonian–Roosevelt African ExpeditionParticipants in the expedition. Smithsonian Institution ArchivesDate1909–11ParticipantsTheodore Roosevelt;R. J. Cunninghame; Frederick Selous; Kermit Roosevelt; Edgar Alexander Mearns; Edmund Heller;John Alden Loring. The Smithsonian–Roosevelt African Expedition was an expedition to tropical Africa in 1909–1911 led by former US President Theodore Roosevelt. It was funded by Andrew Carn...

Waterbom Park atau sekarang Waterbom Bali adalah sebuah taman rekreasi air yang berada di Pulau Dewata, Bali. Berdiri sejak 1993, Waterbom Bali telah banyak memperoleh penghargaan, salah satunya adalah PATA Gold Awards 2019. Waterbom Bali memiliki lahan sebesar 3.9 hektar dengan lebih dari 10 seluncuran dan atraksi yang tentu menyenangkan dan aman. Semua seluncuran dan atraksi dalam Waterbom Bali dibuat oleh WhiteWater West, salah satu perusahaan pembuat rekreasi air yang telah berdiri sejak ...

 

Halo, Kayau, Selamat Datang di Wikipedia Bahasa Indonesia! Memulai Memulai Anda sebagai pengguna baru dapat melihat Pengantar terlebih dahulu. Untuk mencoba-coba menyunting, silakan gunakan bak pasir. Tuliskan juga sedikit profil Anda di Pengguna:Kayau, halaman profil dan ruang pribadi Anda, agar kami dapat lebih mengenal Anda. Baca juga Pancapilar sebelum melanjutkan. Ini adalah lima hal penting yang mendasari hari-hari Anda bersama Wikipedia di seluruh dunia. Bantuan Bantuan Bantuan:Isi - ...