Trong tổng quát, nếu a là hàm nhân tính bị chặn, thì chuỗi Dirichlet
bằng với
trong đó giá trị tích được lấy trên các số nguyên tố p, và P(p, s) là tổng
Thậm chí, nếu ta coi các hàm này là hàm sinh hình thức, thì sự tồn tại của tích Euler có hình thức là điều kiện cần và đủ sao cho a(n) nhân tính: tức là a(n) là tích của các a(pk) mỗi khi n phân tích thành tích của các lũy thừa nguyên tố pk với các số nguyên tố p phân biệt.
Thực tế, tất cả trường hợp quan trọng đều là khi khai triển chuỗi vô hạn và tích vô hạn đều hội tụ tuyệt đối trong một số miền
tức là, miền đó là một trong trong một số bán mặt phẳng phải nằm trong mặt số phức. Tính chất này cho thêm một số thông tin bởi, để tích vô hạn có thể hội tụ thì phải có giá trị của nó phải khác không, do đó hàm cho bởi chuỗi vô hạn sẽ khác không tại bán mặt phẳng đó.
Trong lý thuyết của các dạng modula, thường thì sẽ có tích Euler có các đa thức bậc hai ở mẫu số. Tổng quát hơn, chương trình Langlands bao gồm giải thích đầy đủ cho mối liên hệ giữa các đa thức bậc m với lý thuyết biểu diễn cho GLm.
Các ví dụ
Các ví dụ sau sử dụng ký hiệu cho tập các số nguyên tố, nghĩa là:
Tích Euler gắn liền với hàm zeta Riemannζ(s), và cũng sử dụng tổng của chuỗi hình học, tức là
trong khi đối với hàm Liouvilleλ(n) = (−1)ω(n), khai triển của nó là
Sử dụng phần nghịch đảo, hai tích Euler cho hàm Möbiusμ(n) là
và
Chia cái dưới cho cái trên ta được
Bởi khi lấy các giá trị chẵn của s, hàm zeta Riemann ζ(s) có giá trị là biểu thức giải tích dưới dạng bội hữu tỉ của πs, thì đối với các số mũ chẵn, giá trị của tích vô hạn là một số hữu tỉ. Ví dụ chẳng hạn, bởi ζ(2) = π2/6, ζ(4) = π4/90, và ζ(8) = π8/9450, nên
và tiếp tục như vậy, kết quả đầu tiên được tính và biết bởi Ramanujan. Họ các tích vô hạn này đồng thời tương đương với
trong đó ω(n) đến các ước số nguyên tố phân biệt của n, và 2ω(n) là số các ước thiếu chính phương.
Nếu χ(n) là ký tự Dirichlet của giá trị dẫn N sao cho χ nhân tính toàn phần và χ(n) chỉ phụ thuộc trên n mod N, và χ(n) = 0 nếu n không nguyên tố cùng nhau với N, thì
Ở đây để tiện, ta bỏ khỏi tích các ước nguyên tố p của N. Trong sách của ông, Ramanujan tổng quát hóa tích Euler cho hàm zeta thành
với s > 1, Lis(x) trong công thức là hàm polylôgarit. Khi x = 1 , tích trên bằng với 1/ζ(s).
có thể coi là một chuỗi Dirichlet sử dụng ký tự Dirichlet (duy nhất) modulo 4, được đổi thành tích Euler của các phân số siêu riêng biệt (là các phân số trong đó tử số và mẫu số chỉ cách nhau 1 đơn vị):
trong đó mỗi tử số là ước số nguyên tố và mỗi mẫu số là số gần nhất với bội của 4.[1]
G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
Bản mẫu:Apostol IANT(Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)