Trong tổ hợp, một nhánh của toán học, nguyên lý bao hàm-loại trừ (hay nguyên lý bao hàm và loại trừ hoặc nguyên lý bù trừ) là kỹ thuật đếm tổng quát cho phương phát tìm số các phần tử của hợp của hai tập hữu hạn sau:

${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|}$

trong đó A và B là hai tập hữu hạn và |S | là số lực lượng của tập hợp S (có thể coi là số phần tử trong tập hợp nếu tập hợp đó hữu hạn). Công thức trên nói rằng khi cộng kích thước của hai tập hợp với nhau, giá trị cho có thể quá lớn bởi có thể sẽ có một số phần tử bị đếm hai lần. Các phần tử bị đếm hai lần nằm trong phần giao của hai tập hợp đó và do đó để tìm ra đúng giá trị, ta trừ đi kích thước của phần giao.

Nguyên lý bao hàm-loại trừ là dạng tổng quát của trường hợp chỉ xét hai tập hợp, nên để bắt đầu ví dụ, ta xét công thức cho ba tập hợp A, B và C:

${\displaystyle |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|}$

Ta có thể kiểm chứng công thức này bằng cách đếm số lần mỗi vùng trong biểu đồ Venn nằm trong vế phải của công thức.

Tổng quát hoá các ví dụ này sẽ dẫn tới nguyên lý bao hàm-loại trừ. Để tìm lực lượng của hợp của n tập hợp:

1. Thêm lực lượng của các tập hợp.
2. Trừ lực lượng của các phần giao của 2 tập hợp.
3. Thêm lực lượng của các phần giao của 3 tập hợp.
4. Trừ lực lượng của các phần giao của 4 tập hợp.
5. Thêm lực lượng của các phần giao của 5 tập hợp..
6. Tiếp tục cho đến khi xét hết phần giao của n tập hợp. Bước cuối sẽ là thêm vào nếu n lẻ và trừ đi nếu n chẵn}}.

Tên bao hàm-loại trừ lấy từ ý tưởng ta thêm các bao hàm, rồi sau đó loại trừ các phần thừa. Khái niệm này được gắn tên với Abraham de Moivre (1718),^[1] mặc dù nó ban đầu xuất hiện trong giấy của Daniel da Silva (1854)^[2] và sau đó trong bài viết của J. J. Sylvester (1883).^[3] Đôi khi, công thức này được gọi là công thức Da Silva hay công thức Sylvester, do quá trình xuất bản. Nguyên lý này cũng được coi là một ví dụ về một phương pháp sàng được dùng nhiều trong lý thuyết số và đôi khi cũng được gọi là công thức sàng trong bối cảnh đó.^[3]

Bởi các xác suất hữu hạn được đếm rồi tính tương ứng với lực lượng của không gian xác suất, công thức cho nguyên lý bao hàm-loại trừ vẫn hợp lệ khi ta thay lực lượng của các tập hữu hạn bằng các xác suất hữu hạn. Tổng quát hơn, cả hai phiên bản này đều có đặt nằm dưới lý thuyết độ đo.

Trong ngữ cảnh rất trừu tượng, nguyên lý bao hàm-loại trừ có thể biểu diễn bằng phép tính nghịch đảo của một ma trận nào đó.^[4] Nghịch đảo này có cấu trúc đặc biệt, nên nguyên lý này là một trong những kỹ thuật đếm cực kỳ hữu dụng trong tổ hợp và các nhánh toán học có liên quan. Theo lời của Gian-Carlo Rota:^[5]

"Một trong những nguyên lý hữu dụng nhất khi liệt kê trong xác suất rời rạc và lý thuyết tổ hợp là nguyên lý bao hàm-loại trừ trứ danh. Nếu áp dụng đúng cách, nguyên lý này có thể trả lời cho rất nhiều bài toán tổ hợp."

Trong công thức tổng quát của nó, nguyên lý bao hàm-loại trừ phát biểu rằng với n tập hợp hữu hạn A₁, …, A_n, ta có định thức sau:

${\displaystyle \left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{1\leqslant i<j<k\leqslant n}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\cdots +(-1)^{n+1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.}$

(1)

Công thức trên có thể viết gọn thành

${\displaystyle \left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}|A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}|\right)}$

hoặc

${\displaystyle \left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{\emptyset \neq J\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{|J|+1}\left|\bigcap _{j\in J}A_{j}\right|.}$

Nói bằng từ, để đếm số phần tử của hợp hữu hạn các tập hợp hữu hạn, trước hết lấy tổng các lực lượng của các tập hợp đó, rồi trừ đi lực lượng của tập các phần tử xuất hiện ít nhất trong hai tập hợp, sau đó thêm lại số phần tử xuất hiện trong ít nhất ba tập hợp và tiếp tục như thế. Quá trình luôn dừng là bởi không có phần tử nào xuất hiện nhiều hơn số tập hợp đang xét. (Ví dụ chẳng hạn, nếu ${\displaystyle n=4,}$ thì không có phần tử nào xuất hiện trong nhiều hơn ${\displaystyle 4}$ tập hợp)

Trong ứng dụng, ta thường dùng nguyên lý này dưới dạng sử dụng phần bù. Tức là, gọi S là tập phổ dụng hữu hạn chứa tất cả các tập A_i và ta gọi ${\displaystyle {\bar {A_{i}}}}$ là phần bù của A_i trong S, theo luật De Morgan, ta có

${\displaystyle \left|\bigcap _{i=1}^{n}{\bar {A_{i}}}\right|=\left|S-\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=|S|-\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|+\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}|A_{i}\cap A_{j}|-\cdots +(-1)^{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}|.}$

Một phiên bản khác của công thức trên được phát biểu như sau: gọi P₁, ..., P_n là danh sách các tính chất mà mỗi phần tử thuộc tập hợp S có thể có hoặc không có, khi đó nguyên lý bao hàm-loại hàm cho phép đếm số các phần tử thuộc S và không có tính chất nào trong các tính chất trên bằng cách đặt A_i là tập con của tập các phần tử thuộc S và có tính chất P_i và sử dụng nguyên lý trên trong dạng phần bù. Phiên bản này bắt nguồn từ J. J. Sylvester.^[1]

Đây là ví dụ đơn giản trong áp dụng nguyên lý bao hàm-loại trừ, xét câu hỏi sau:^[6]

Có bao nhiêu số nguyên trong tập {1, ..., 100} không chia hết cho 2, 3 hoặc 5?

Gọi S = {1,...,100} và P₁ là tính chất số nguyên chia hết cho 2, P₂ là tính chất số nguyên chia hết cho 3 và P₃ là tính chất số nguyên chia hết cho 5. Gọi A_i là tập con của S chứa các phần tử có tính chất P_i, ta đếm được rằng: |A₁| = 50, |A₂| = 33, và |A₃| = 20. Có 16 số nguyên chia hết cho 6, 10 số chia hết cho 10, và 6 số chia hết cho 15. Và cuối cùng, chỉ có 3 số chia hết cho 30, nên số các số nguyên không chia hết cho bất kỳ 2, 3 hoặc 5 được tính bằng:

100 − (50 + 33 + 20) + (16 + 10 + 6) − 3 = 26.

Một câu hỏi phức tạp hơn trên được phát biểu như sau.

Giả sử có bộ n lá bài được đánh số từ 1 đến n. Ta gọi lá số m nằm đúng vị trí nếu nó là lá thứ m trong bộ bài. Hỏi có bao nhiêu cách, (ký hiệu là W), để xáo bộ bài sao cho trong bộ có ít nhất 1 lá nằm đúng vị trí?

Ta bắt đầu bằng cách định nghĩa A_m, là số các thứ tự bài mà trong đó lá thứ m nằm đúng vị trí. Khi đó, số các thứ tự W, với ít nhất một lá nằm đúng vị trí được tính bởi

${\displaystyle W=\left|\bigcup _{m=1}^{n}A_{m}\right|.}$

Áp dụng nguyên lý bao hàm-loại trừ,

${\displaystyle W=\sum _{m_{1}=1}^{n}|A_{m_{1}}|-\sum _{1\leqslant m_{1}<m_{2}\leqslant n}|A_{m_{1}}\cap A_{m_{2}}|+\cdots +(-1)^{p-1}\sum _{1\leqslant m_{1}<\cdots <m_{p}\leqslant n}|A_{m_{1}}\cap \cdots \cap A_{m_{p}}|+\cdots }$

Mỗi giá trị ${\displaystyle A_{m_{1}}\cap \cdots \cap A_{m_{p}}}$ biểu diễn tập các phép xáo trong đó có ít nhất p giá trị m₁, ..., m_p đang nằm đúng vị trí. Lưu ý rằng số các xáo trộn với ít nhất p giá trị nằm đúng chỉ phụ thuộc vào p, chứ không trên giá trị cụ thể của ${\displaystyle m}$. Ví dụ chẳng hạn, số các phép xáo có vị trí thứ 1, thứ ba và thứ 17 nằm đúng bằng với số các phép xáo có vị trí thứ 2, thứ 5 và thứ 14 nằm đúng. Ta chỉ quan tâm rằng trong n lá đó và trong trường hợp xét ba lá, có 3 vị trí được chọn là vị trí đúng. Do đó có ${\textstyle {n \choose p}}$ phần tử bằng nhau trong tổng thứ p (xem tổ hợp).

${\displaystyle W={n \choose 1}|A_{1}|-{n \choose 2}|A_{1}\cap A_{2}|+\cdots +(-1)^{p-1}{n \choose p}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{p}|+\cdots }$

${\displaystyle |A_{1}\cap \cdots \cap A_{p}|}$ là số các thứ tự có p phần tử nằm đúng vị trí, và bằng với số xếp thứ tự với n − p phần tử còn lại, hay (n − p)!.Do đó cuối cùng ta được:

${\displaystyle {\begin{aligned}W&={n \choose 1}(n-1)!-{n \choose 2}(n-2)!+\cdots +(-1)^{p-1}{n \choose p}(n-p)!+\cdots \\&=\sum _{p=1}^{n}(-1)^{p-1}{n \choose p}(n-p)!\\&=\sum _{p=1}^{n}(-1)^{p-1}{\frac {n!}{p!(n-p)!}}(n-p)!\\&=\sum _{p=1}^{n}(-1)^{p-1}{\frac {n!}{p!}}\end{aligned}}}$

Hoán vị mà không có lá nào nằm đúng vị trí được gọi là mất thứ tự. Lấy n! là số các hoán vị, xác suất Q rằng một phép xáo ngẫu nhiên sẽ sinh ra xáo trộn được tính bởi

${\displaystyle Q=1-{\frac {W}{n!}}=\sum _{p=0}^{n}{\frac {(-1)^{p}}{p!}},}$

đây là dạng rút gọn về n + 1 phần tử của khai triển Taylor của e⁻¹. Do đó xác suất đoán một thứ tự cho một bộ bài đã được xáo và sai mọi lá rơi vào khoảng e⁻¹ hay 37%.

Trường hợp xảy ra trong ví dụ xáo trộn xảy ra nhiều lúc nên nhận được chú ý đáng kể.^[7] Cụ thể, trường hợp đặc biệt xảy ra khi kích thước của các tập giao xuất hiện trong công thức cho nguyên lý bao hàm-loại trừ chỉ dựa vào số tập hợp trong phần giao chứ không quan tâm tới tập nào xuất hiện trong đó. Nói bằng công thức, tức là:

${\displaystyle A_{J}:=\bigcap _{j\in J}A_{j}}$

có cùng số lực lượng, tức α_k = |A_J|, với mọi tập con k phần tử J của {1, ..., n}, thì

${\displaystyle \left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\alpha _{k}.}$

Hoặc viết dưới dạng phần bù, trong đó tập phổ dụng S có lực lượng α₀,

${\displaystyle \left|S\smallsetminus \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\alpha _{k}.}$

Cho họ các tập con (cho phép lặp lại) A₁, A₂, ..., A_n của tập phổ dụng S, nguyên lý bao hàm-loại trừ tính số các phần tử thuộc S mà không nằm trong bất kỳ tập con nào trong họ này. Dạng tổng quát của khái này sẽ tính số các phần thuộc S và thuộc duy nhất m tập con.

Gọi N = [n] = {1,2,...,n}. Nếu ta định nghĩa ${\displaystyle A_{\emptyset }=S}$, thì nguyên lý bao hàm-loại trừ có thể viết lại như sau sử dụng ký hiệu trong đoạn trước: số các phần tử thuộc S nhưng không thuộc bất kỳ A_i là:

${\displaystyle \sum _{J\subseteq [n]}(-1)^{|J|}|A_{J}|.}$

Nếu I là tập con cố định của tập chỉ số N, thì số phần tử thuộc A_i với mọi i thuộc I và không phần tử khác thuộc về là:^[8]

${\displaystyle \sum _{I\subseteq J}(-1)^{|J|-|I|}|A_{J}|.}$

Định nghĩa các tập sau

${\displaystyle B_{k}=A_{I\cup \{k\}}{\text{ với }}k\in N\smallsetminus I.}$

Để tính số các phần tử không thuộc bất kỳ B_k nào, thì theo nguyên lý bao hàm-loại trừ (với ${\displaystyle B_{\emptyset }=A_{I}}$), bằng với

${\displaystyle \sum _{K\subseteq N\smallsetminus I}(-1)^{|K|}|B_{K}|.}$

Tương ứng K ↔ J = I ∪ K giữa các tập con của N \ I và các tập con của N có chứa I là song ánh và nếu J và K tương ứng với nhau dưới ánh xạ này thì B_K = A_J, cho thấy kết quả hợp lệ.

Trong xác suất, cho các biến cố A₁, ..., A_n trong không gian xác suất ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, nguyên lý bao hàm-loại trừ cho trường hợp n = 2 là

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})+\mathbb {P} (A_{2})-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}),}$

và cho trường hợp n = 3:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})=\mathbb {P} (A_{1})+\mathbb {P} (A_{2})+\mathbb {P} (A_{3})-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{3})-\mathbb {P} (A_{2}\cap A_{3})+\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})}$

và trong tổng quát

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})-\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})+\sum _{i<j<k}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})+\cdots +(-1)^{n-1}\sum _{i<...<n}\mathbb {P} \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right),}$

có thể viết gọn lại thành

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\} \atop |I|=k}\mathbb {P} (A_{I})\right),}$

trong đó tổng cuối chạy trên tất cả tập con I của 1, ..., n và chứa chính xác k phần tử, và

${\displaystyle A_{I}:=\bigcap _{i\in I}A_{i}}$

là giao của tất cả các A_i với chỉ số thuộc I.

Theo các bất đẳng thức Bonferroni, tổng của các phần tử đầu tiên thay phiên là cận trên và cận dưới cho vế trái. Ta có thể dùng ý này để tính xấp xỉ khi công thức đầy đủ quá dài để tính.

Đối với không gian độ đo (S,Σ,μ) và các tập con đo được A₁, ..., A_n với độ đo hữu hạn, các định thức trên vẫn đúng khi độ đo xác suất ${\displaystyle \mathbb {P} }$ được thay bằng độ đo μ.

Nếu, trong phiên bản xác suất của nguyên lý bao hàm-loại trừ, xác suất của giao các A_I chỉ dựa trên số lực lượng của I, nghĩa là với mọi k thuộc {1, ..., n} tồn tại a_k sao cho

${\displaystyle a_{k}=\mathbb {P} (A_{I}){\text{ với mọi }}I\subset \{1,\ldots ,n\}{\text{ và }}|I|=k,}$

thì công thức trên giản hoá thành

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}a_{k}}$

,sử dụng suy luận tổ hợp với hệ số nhị thức ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$. Ví dụ chẳng hạn, nếu các biến cố ${\displaystyle A_{i}}$ đều độc lập và phân phối đều với nhau, thì ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{i})=p}$ với mọi i, và ta có ${\displaystyle a_{k}=p^{k}}$, và khi đó công thức ngay trên giản hoá tiếp thành

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=1-(1-p)^{n}.}$

(Kết quả này cũng có thể thu được bằng xét phần giao của các phần bù của các biến cố ${\displaystyle A_{i}}$.)

Tồn tại dạng giản hoá tương tự cho trường hợp không gian độ đo (S, Σ, μ) và các tập con đo được A₁, ..., A_n với độ đo hữu hạn.

Nguyên lý đôi khi được phát biểu dưới dạng sau^[9] : nếu

${\displaystyle g(A)=\sum _{S\subseteq A}f(S)}$

thì

${\displaystyle f(A)=\sum _{S\subseteq A}(-1)^{|A|-|S|}g(S)}$

(⁎⁎)

Phiên bản tổ hợp và phiên bản xác suất của nguyên lý bao hàm-loại trừ đều lấy từ (⁎⁎).

Nếu ta coi ${\displaystyle n}$ là tập các ước nguyên tố của nó, thì (⁎⁎) là dạng tổng quát của công thức biến đổi ngược Möbius cho các số tự nhiên square-free (là các số không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào). Do vậy, (⁎⁎) được xem là công thức biến đổi ngược Möbius cho đại số liên thuộc của tập sắp thứ tự riêng phần tất cả tập con của A.

Đối với dạng tổng quát của bản đầy đủ của công thức biến đổi ngược Möbius, (⁎⁎) phải được tổng quát hoá bằng cách xét các đa tập (cho phép có phần tử trùng nhau trong tập hợp). Khi dùng đa tập thay vì tập hợp, Công thức (⁎⁎) trở trình

${\displaystyle f(A)=\sum _{S\subseteq A}\mu (A-S)g(S)}$

(⁎⁎⁎)

trong đó ${\displaystyle A-S}$ là đa tập thoả mãn ${\displaystyle (A-S)\uplus S=A}$, và

• μ(S) = 1 nếu S là tập hợp (tức đa tập không có cặp phần tử trùng nhau) có số lực lượng chẵn
• μ(S) = −1 nếu S là tập hợp có số lực lượng lẻ.
• μ(S) = 0 if S là đa tập (tức S có cặp phần tử trùng nhau).

Quan sát rằng ${\displaystyle \mu (A-S)}$ là ${\displaystyle (-1)^{|A|-|S|}}$ của (⁎⁎) trong trường hợp ${\displaystyle A-S}$ là tập hợp.

Nguyên lý bao hàm-loại trừ được sử dụng rộng rãi nên chỉ có một vài được nhắc ở dưới đây.

Nguyên lý bao hàm-loại trừ khi kết hợp với luật De Morgan, có thể dùng để đếm số lực lượng của phần giao của các tập hợp. Gọi ${\displaystyle {\overline {A_{k}}}}$ là phần bù của A_k tương ứng với tập phổ dụng A nào đó sao cho ${\displaystyle A_{k}\subseteq A}$ với mỗi k. Khi đó ta có

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}={\overline {\bigcup _{i=1}^{n}{\overline {A_{i}}}}}}$

Do đó chuyển bài toán từ đếm phần giao sang đếm phần hợp.

Nguyên lý bao hàm-loại trừ lập thành cơ sở của các thuật toán giải các bài phân hoạch đồ thị thuộc lớp NP-hard, ví dụ chẳng hạn như tô màu đồ thị.^[10]

Một ứng dụng nổi bật của nguyên lý là phương pháp xây đa thức xắc số.^[11]

Số các so khớp hoàn hảo của một đồ thị hai phía có thể tính bằng nguyên lý này.^[12]

Câu hỏi đặt ra là cho hai tập con A và B, có bao nhiêu hàm toàn ánh đi từ A đến B? Không mất tính tổng quát, ta có thể lấy A = {1, ..., k} và B = {1, ..., n}, bởi ta chỉ quan tâm đến lực lượng của mỗi tập hợp. Gọi S là tập các hàm từ A đến B, và định nghĩa với mỗi i thuộc B, tính chất P_i :"hàm bỏ qua giá trị i thuộc B" (i không nằm trong ảnh của hàm số), nguyên lý bao hàm-loại trừ sẽ đếm số toàn ánh giữa A và B như sau:^[13]

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(-1)^{j}(n-j)^{k}.}$

Hoán vị của tập hợp S = {1, ..., n} trong đó mỗi phần tử thuộc S có thể bị cấm ngồi vị trí nào đó (ở đây là hoán vị được coi là cách sắp xếp thứ tự các phần tử thuộc S) được ta tạm gọi là hoán vị cấm vị trí. Ví dụ chẳng hạn, cho S = {1,2,3,4}, các hoán vị thoả mãn hai điều kiện cấm: 1 không được nằm tại vị trí 1 hoặc 3, và 2 không nằm trong vị trí 4 là: 2134, 2143, 3124, 4123, 2341, 2431, 3241, 3421, 4231 và 4321. Đặt A_i là tập các vị trí mà i không được phép ngồi vào, và tính chất P_i là tính chất đặt i vào vị trí A_i, nguyên lý bao hàm-loại trừ có thể dùng để đếm số các hoán vị thoả mãn tất cả điều kiện cấm.^[14]

Trong ví dụ trên, có 12 = 2(3!) hoán vị thoả mãn tính chất P₁, 6 = 3! hoán vị thoả mãn tính chất P₂ và không có hoán vị nào cho P₃ hoặc P₄ bởi không có điều kiện cấm cho hai giá trị đó. Số các hoán vị thoả mãn các điều kiện cấm cho trước là:

4! − (12 + 6 + 0 + 0) + (4) = 24 − 18 + 4 = 10.

Số 4 ở cuối bước tính toán là số các hoán vị thoả mãn đồng thời hai tính chất P₁ và P₂.

Đa thức quân xe là hàm sinh số cách đặt các quân xe không tân công lẫn nhau trên bàn cờ B trông như tập con của các ô vuông của bảng kẻ ô; nghĩa là, bất kỳ hai con xe không được phép đặt cùng hàng hay cùng cột và bàn cờ B là tập con bất kỳ của các ô vuông của một bàn cờ hình chữ nhật có n hàng và m cột; ta có thể gọi nó là tập các ô được phép đặt quân lên. Hệ số r_k(B) của x^k trong đa thức quân xe R_B(x) là số cách đặt k quân xe trong đó không có cái nào trong đó tấn công cái còn lại và có thể xếp trong bàn cờ B. Cho bất kỳ bàn B, có bàn bù ${\displaystyle B'}$ chứa các ô vuông cùa bàn hình chữ nhật và không nằm trong B. Cái bàn bù này cũng có đa thức quân xe ${\displaystyle R_{B'}(x)}$ cùng với các hệ số ${\displaystyle r_{k}(B').}$

Đôi khi để tiện cho tính toán, ta tính hệ số cao nhất trong đa thức quân xe bằng các hệ số của đa thức quân xe của bàn bù.Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử n ≤ m, do đó hệ số này là r_n(B). Số cách đặt n quân xe không tấn công lẫn nhau trên bàn kẻ ô đầy đủ n × m (chưa quan tâm tới việc liệu các quân có đúng đặt trong bànB) được tính theo giai thừa giảm sau:

${\displaystyle (m)_{n}=m(m-1)(m-2)\cdots (m-n+1).}$

Gọi P_i là tính chất đặt n quân xe không tấn công nhau trên bàn đầy đủ có quân ở cột i và không nằm trong ô thuộc bàn B, thì theo nguyên lý bao hàm-loại trừ, ta có công thức:^[15]

${\displaystyle r_{n}(B)=\sum _{t=0}^{n}(-1)^{t}(m-t)_{n-t}r_{t}(B').}$

Hàm phi Euler hay gọi ngắn lại đi là hàm phi, φ(n) là hàm số học đếm số các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Nghĩa là, nếu n là số nguyên dương, thì φ(n) là số các số nguyên k thuộc đoạn 1 ≤ k ≤ n không có ước chung với n nào khác ngoài 1. Nguyên lý bao hàm -loại trừ có thể dùng để tìm ra công thức cho φ(n). Gọi S là tập {1, ..., n} và định nghĩa tính chất P_i là số thuộc S chia hết cho số nguyên tố p_i, với 1 ≤ i ≤ r,trong đó phân tích thừa số nguyên tố của

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{r}^{a_{r}}.}$

thì,^[16]

${\displaystyle \varphi (n)=n-\sum _{i=1}^{r}{\frac {n}{p_{i}}}+\sum _{1\leqslant i<j\leqslant r}{\frac {n}{p_{i}p_{j}}}-\cdots =n\prod _{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).}$

Trong nhiều trường hợp nguyên lý có thể đưa công thức chính xác (chẳng hạn như đếm số nguyên tố khi sử dụng sàng Eratosthenes), công thức suy ra được đôi khi không hữu dụng bởi số các phần tử của nó quá nhiều. Và, kể cả khi mỗi số hạng trong đó có thể được ước lượng chính xác, thì tổng các sai số có thể khiến cho công thức bao hàm-loại trừ không áp dụng trực tiếp được. Trong lý thuyết số, vấn đề này được Viggo Brun nhắc tới. Sau một khởi đầu chậm, các ý tưởng của ông dần được thu nhận bởi người khác, và từ đó một lượng lớn phương pháp sàng được phát triển dựa trên đó. Các phương pháp này có thể dùng để thử tìm cận trêm cho các tập "đã được sàng", thay vì phải tìm công thức chính xác.

Gọi A₁, ..., A_n là các tập hợp tuỳ ý và p₁, ..., p_n là các số thực thuộc đoạn [0, 1]. Khi đó, với mỗi số nguyên chẵn k thuộc {0, ..., n}, các hàm chỉ thị đều thoả mãn bất đẳng thức sau:^[17]

${\displaystyle 1_{A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}}\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{j}\leq n}p_{i_{1}}\dots p_{i_{j}}\,1_{A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{j}}}.}$

Chọn một phần từ nằm trong hợp tất cả các tập và gọi ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{t}(t>0)}$ là các tập chứa nó. Bởi phần tử được đếm 1 lần theo vế trái của phương trình (1), nên ta cần chứng minh nó cũng được đếm duy nhất 1 lần theo vế phải. Trong vế phải, các phần cộng giá trị không diễn ra khi các tập con có chứa phần tử được chọn, tức là tất cả tập được chọn đều từ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{t}}$. Phần cộng đều bằng một cho mỗi tập hợp này (cộng hoặc trừ dựa trên số hạng) và do đó chỉ cần dựa trên số tập con được dùng. Khi đó ta có

${\displaystyle {\begin{aligned}|\{A_{i}\mid 1\leqslant i\leqslant t\}|&-|\{A_{i}\cap A_{j}\mid 1\leqslant i<j\leqslant t\}|+\cdots +(-1)^{t+1}|\{A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{t}\}|={\binom {t}{1}}-{\binom {t}{2}}+\cdots +(-1)^{t+1}{\binom {t}{t}}.\end{aligned}}}$

Theo định lý nhị thức,

${\displaystyle 0=(1-1)^{t}={\binom {t}{0}}-{\binom {t}{1}}+{\binom {t}{2}}-\cdots +(-1)^{t}{\binom {t}{t}}.}$

Sử dụng ý ${\displaystyle {\binom {t}{0}}=1}$ là đổi chỗ các số hạng đi, ta được

${\displaystyle 1={\binom {t}{1}}-{\binom {t}{2}}+\cdots +(-1)^{t+1}{\binom {t}{t}},}$

và do vậ, phần tử được chọn được đếm duy nhất một lần trong vế phải của phương trình (1).

Chứng minh bằng đại số theo các hàm chỉ thị (hay còn gọi là hàm đặc trưng). Hàm chỉ thị của tập con S của tập X là hàm

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {1} _{S}:X\to \{0,1\}\\&\mathbf {1} _{S}(x)={\begin{cases}1&x\in S\\0&x\notin S\end{cases}}\end{aligned}}}$

Nếu ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle B}$ là hai tập con của ${\displaystyle X}$, thì

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}=\mathbf {1} _{A\cap B}.}$

Gọi A là hợp ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$ của các tập hợp A₁, ..., A_n. Để chứng minh nguyên lý bao hàm-loại trừ trong tổng quát, trước hết ta cần kiểm tra định thức

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\sum _{I\subset \{1,\ldots ,n\} \atop |I|=k}\mathbf {1} _{A_{I}}}$

(⁎)

cho hàm chỉ thị, trong đó:

${\displaystyle A_{I}=\bigcap _{i\in I}A_{i}.}$

Hàm sau

${\displaystyle \left(\mathbf {1} _{A}-\mathbf {1} _{A_{1}}\right)\left(\mathbf {1} _{A}-\mathbf {1} _{A_{2}}\right)\cdots \left(\mathbf {1} _{A}-\mathbf {1} _{A_{n}}\right),}$

bằng không là bởi: nếu x không thuộc A, thì tất cả các nhân tử đều là 0 − 0 = 0; và ngược lại, nếu x có thuộc một số A_m, thì nhân tử thứ m tương ứng là 1 − 1 = 0.Bằng cách mở rộng tích ở vế trái, suy ra phương trình (⁎).

Để chứng minh nguyên lý bao hàm-loại trừ cho lực lượng của tập hợp , ta lấy tổng phương trình (⁎) trên tất cả các x thuộc hợp của A₁, ..., A_n. Để từ đây lấy ra phiên bản xác suất, cho giá trị kỳ vọng vào (⁎). Và tổng quát hơn, lấy tích phân phương trình (⁎) tương ứng với to μ. Luôn sử dụng tính tuyến tính khi dẫn xuất ra các phiên bản này.

• Bất đẳng thức Boole
• Các nguyên lý tổ hợp
• Định thức lớn nhất-nhỏ nhất
• Bài toán vòng cổ
• Nguyên lý ngăn kéo Dirichlet
• Công thức Schuette–Nesbitt

• Allenby, R.B.J.T.; Slomson, Alan (2010), How to Count: An Introduction to Combinatorics, Discrete Mathematics and Its Applications (ấn bản thứ 2), CRC Press, tr. 51–60, ISBN 9781420082609
• Björklund, A.; Husfeldt, T.; Koivisto, M. (2009), “Set partitioning via inclusion–exclusion”, SIAM Journal on Computing, 39 (2): 546–563, doi:10.1137/070683933
• Brualdi, Richard A. (2010), Introductory Combinatorics (ấn bản thứ 5), Prentice–Hall, ISBN 9780136020400
• Cameron, Peter J. (1994), Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, Cambridge University Press, ISBN 0-521-45761-0
• Fernández, Roberto; Fröhlich, Jürg; Alan D., Sokal (1992), Random Walks, Critical Phenomena, and Triviality in Quantum Field Theory, Texts an Monographs in Physics, Berlin: Springer-Verlag, tr. xviii+444, ISBN 3-540-54358-9, MR 1219313, Zbl 0761.60061
• Graham, R.L.; Grötschel, M.; Lovász, L. (1995), Hand Book of Combinatorics (volume-2), MIT Press – North Holland, ISBN 9780262071710
• Gross, Jonathan L. (2008), Combinatorial Methods with Computer Applications, Chapman&Hall/CRC, ISBN 9781584887430
• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Inclusion-and-exclusion principle”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Mazur, David R. (2010), Combinatorics A Guided Tour, The Mathematical Association of America, ISBN 9780883857625
• Roberts, Fred S.; Tesman, Barry (2009), Applied Combinatorics (ấn bản thứ 2), CRC Press, ISBN 9781420099829
• Stanley, Richard P. (1986), Enumerative Combinatorics Volume I, Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0534065465
• van Lint, J.H.; Wilson, R.M. (1992), A Course in Combinatorics, Cambridge University Press, ISBN 0521422604

Bài viết này có sử dụng tài liệu từ principle of inclusion–exclusion tại PlanetMath, với giấy phép sử dụng Creative Commons Attribution/Share-Alike License.