PROFILPELAJAR.COM

Число Пізо^[1]^[2] (або число Пізо — Віджаяраґгавана^[3]^[4], або PV-число) — будь-яке ціле алгебричне число, більше від одиниці, модулі всіх спряжених якого строго менші від одиниці. Ці числа відкрив 1912 року Аксель Туе^[en]^[5], від 1919 року вивчав Ґодфрі Гарді у зв'язку з діофантовими наближеннями^[6], але популярність вони здобули після опублікування 1938 року дисертації Шарля Пізо^[fr]^[7]. У 1940-х роках дослідження продовжили Тірукканнапурам Віджаяраґгаван^[en] і Рафаель Салем.

З числами Пізо тісно пов'язані числа Салема: це таке число, модулі всіх спряжених якого не перевищують 1 і серед них є одиничний.

Властивості

Що більший натуральний показник степеня PV-числа, то більше цей степінь наближається до цілого числа. Пізо довів, що серед нецілих додатних алгебричних чисел, модулі яких більші від 1, ця властивість є винятковою для PV-чисел: якщо дійсне число $\alpha >1$ таке, що послідовність відстаней $\|\alpha ^{n}\|$ ^[8] від його степенів до множини цілих чисел квадратно сумовні (належать L²)^{[уточнити]}, то $\alpha$ — число Пізо (і, зокрема, $\alpha$ — алгебричне).

Найменшим числом Пізо є єдиний дійсний корінь кубічного рівняння $x^{3}-x-1=0$ , відомий як пластичне число^[2].

Квадратичні ірраціональності, що є числами Пізо:

Значення	Многочлен	Числове значення
${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-x-1$	1,618034 … (золотий перетин)
$1+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-2x-1$	2,414214… (срібний перетин)
${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-3x+1$	2,618034… A104457
$1+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-2x-2$	2,732051… A090388
${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	$x^{2}-3x-1$	3,302776… A098316 (бронзовий перетин)
$2+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-4x+2$	3,414214…
${\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}$	$x^{2}-3x-2$	3,561553. A178255
$2+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-4x+1$	3,732051… A019973
${\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}$	$x^{2}-3x-3$	3,791288… A090458
$2+{\sqrt {5}}$	$x^{2}-4x-1$	4,236068… A098317

Примітки

↑ А. Егоров. Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5 (3 січня). — С. 8—13. Архівовано з джерела 4 вересня 2011.
А. Егоров. Числа Пизо (окончание) // Квант. — 2005. — № 6 (3 січня). — С. 9—13. Архівовано з джерела 27 листопада 2011.
↑ ^а ^б Terr, David; Weisstein, Eric W. Pisot Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
↑ В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров. Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Математические труды. — 2007. — Т. 10, № 1 (3 січня). — С. 97–131.
↑ Дж. В. С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. — 1961.
↑ Axel Thue, " Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann ", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, vol. 2, 1912, p. 1-15.
↑ Godfrey H. Hardy, " A problem of diophantine approximation ", Journal Ind. Math. Soc., vol. 11, 1919, pp. 205—243.
↑ Charles Pisot, " La répartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, p. 205—248.
↑ Тут $\|a\|$ означає відстань від $a$ до $\mathbb {Z}$ , тобто $\min(\{a\},1-\{a\})$ , де $\{a\}$ — дробова частина числа $a$ .