Характеристична функція випадкової величини

Під характеристи́чною фу́нкцією випадкової величини розуміють математичне сподівання випадкової величини :

,

де  — дійсний параметр.

Якщо  — функція розподілу , то

У випадку дискретного розподілу

(ряд Фур'є з коефіцієнтами ). У випадку неперервного розподілу

(перетворення Фур'є)

Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величини

.

Приклад. Нехай має розподіл Бернуллі. Тоді

.
.

Приклад. Нехай має стандартний неперервний рівномірний розподіл. Тоді

.

Властивості характеристичних функцій

Для будь-якої характеристичної функції

,

Якщо з константами і , то ( — характеристична функція ).

Якщо є раз диференційованою по , то при

є рівномірно неперервною функцією на всьому просторі.

Якщо - незалежні випадкові величини, та - деякі константи, тоді

Характеристична функція є самоспряженою:

Випадкова величина є симетричною тоді і лише тоді коли характеристична функція є дійснозначною.

Формули перетворення і теорема єдиності

Нехай  — функція розподілу, а  — характеристична функція випадкової величиини . Якщо ,  — точки неперервності , то

Якщо  — неперервна, а  — густина , то спрощується

Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є.

з формули перетворення (рос. обращения) випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.

Якщо, наприклад, якимось чином для отримано характеристичну функцію , то, згідно з теоремою єдиності і

Гранична теорема для характеристичних функцій

Послідовність функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу , якщо у всіх точках неперервності

У дискретному випадку збіжність в основному до , означає, що відповідні функції збігаються: для всіх .

У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо неперервні) для всіх .

Якщо послідовність функції розподілу збігається в основному до функції розподілу , то послідовність відповідних характеристичних функцій збігається до  — характеристичної функції . Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі.

Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій збігається до неперервної функції , то послідовність відповідних функцій розподілу збігається до деякої функції розподілу і є характеристичною функцією ).

Твірні функції

У випадку дискретних випадкових величин, які можуть приймати лише значення часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції.

Нехай є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини вказаного типу, а  — комплексний параметр. Тоді

називається твірною функцією випадкової величини . Функція  — аналітична в . Її границя при дає характеристичну функцію .

Твірні функції мають властивості, аналогічні властивостям характеристичних функцій.

Характеристичні функції багатомірних випадкових величин

Під характеристичною функцією -мірної випадкової величини розуміють математичне сподівання величини :

,

де ,  — дійсні параметри.

Див. також

Джерела

Read other articles:

Untuk sinetron dengan judul yang mirip secara homofonik, lihat Bintang di Hatiku. Bintang di HatiSingel oleh Melly GoeslawDirilis7 September 2018 (2018-09-07)Direkam2018Genre Pop Durasi4:23LabelIndependenPenciptaMelly GoeslawProduser Melly Anto Hoed Kronologi singel Melly Goeslaw Lagu Religi (2018) Bintang di Hati (2018) Kusadari (2019) Video musikBintang di Hati di YouTube Bintang di Hati adalah lagu yang ditulis dan dinyanyikan oleh Melly Goeslaw yang dirilis pada tanggal 7 September 2...

 

Town in South AustraliaBalhannahSouth AustraliaOnkaparinga Valley Road at BalhannahBalhannahCoordinates34°59′S 138°49′E / 34.983°S 138.817°E / -34.983; 138.817Population1,660 (UCL 2021)[1]Established1839Location30 km (19 mi) SE of AdelaideLGA(s)Adelaide Hills CouncilState electorate(s)KavelFederal division(s)Mayo Localities around Balhannah: Carey Gully Lenswood Oakbank Mount George Balhannah Nairne Bridgewater Hahndorf Littlehampton Balhanna...

 

Finnish ice hockey player Ice hockey player Ville Lajunen Lajunen in 2023, while with the Löwen FrankfurtBorn (1988-03-08) 8 March 1988 (age 36)Helsinki, FinlandHeight 6 ft 0 in (183 cm)Weight 185 lb (84 kg; 13 st 3 lb)Position DefenceShoots RightDEL teamFormer teams Löwen FrankfurtEspoo BluesMetallurg MagnitogorskFärjestad BKJokeritSpartak MoscowKunlun Red StarHC VityazHC TPSSchwenninger Wild WingsNational team  FinlandPlaying career 2007–...

Сибирский горный козёл Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:СинапсидыКла�...

 

Иерусалимский патриархатгреч. Πατριαρχείον Ιεροσολύμων араб. كَنِيسَة أُورُشَلِيمَ الأُرْثُوذُكسِيَّة‎ ивр. הכניסייה האורתודוקסית של ירושלים‎ Храм Гроба Господня, Иерусалим Общие сведения Основатели Апостолы (согласно церковному преданию) Основание I век Конфе...

 

Bagian dari seriIslam Rukun Iman Keesaan Allah Malaikat Kitab-kitab Allah Nabi dan Rasul Allah Hari Kiamat Qada dan Qadar Rukun Islam Syahadat Salat Zakat Puasa Haji Sumber hukum Islam al-Qur'an Sunnah (Hadis, Sirah) Tafsir Akidah Fikih Syariat Sejarah Garis waktu Muhammad Ahlulbait Sahabat Nabi Khulafaur Rasyidin Khalifah Imamah Ilmu pengetahuan Islam abad pertengahan Penyebaran Islam Penerus Muhammad Budaya dan masyarakat Akademik Akhlak Anak-anak Dakwah Demografi Ekonomi Feminisme Filsafat...

Fianna Fáil – Parti républicain (en) Fianna Fáil – The Republican Party(ga) Fianna Fáil – An Páirtí Poblachtánach Logotype officiel. Présentation Chef Micheál Martin Fondation 23 mars 1926 Scission de Sinn Féin Siège 65–66 Lower Mount Street Dublin (Irlande) Fondateur Éamon de Valera Mouvement de jeunesse Ógra Fianna Fáil Positionnement Centre droit[1] Idéologie Nationalisme irlandais Démocratie chrétienne Conservatisme Populisme Europhilie Troisième voie Affiliatio...

 

此條目需要补充更多来源。 (2021年7月4日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目,无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者:请搜索一下条目的标题(来源搜索:美国众议院 — 网页、新闻、书籍、学术、图像),以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源(判定指引)。 美國眾議院 United States House of Representatives第118届美国国会众议院徽章 众议院旗...

 

Australian racing driver Cameron McConvilleMcConville in 2010Nationality AustralianBorn22 January 1974 (1974-01-22) (age 50)Melbourne, VictoriaSupercars careerDebut season1999TeamsJohn Faulkner RacingRod Nash RacingLansvale Racing TeamGarry Rogers MotorsportPaul Weel RacingBrad Jones RacingHolden Racing TeamLucas Dumbrell MotorsportStarts330Wins2Poles0Best finish10th in 2005Previous series19901991–9219961997–982011–122012-172015,17Victorian Formula FordAustralian Formula FordA...

Arswendo Atmowiloto, pemimpin redaksi Monitor saat itu, yang mencetuskan ide angket Kagum 5 Juta Pada tahun 1990, Majalah Monitor pernah melakukan sebuah angket yang diberi nama Kagum 5 Juta. Angket tersebut pada dasarnya hanya ingin mengetahui siapakah tokoh yang dikagumi oleh pembaca Majalah Monitor pada saat itu sekaligus menambah oplah majalah yang saat itu disebut sebagai majalah dengan oplah tertinggi di Indonesia (Tempo, 27 Oktober 1990).[1][2][3] Angket ini jug...

 

ヨハネス12世 第130代 ローマ教皇 教皇就任 955年12月16日教皇離任 964年5月14日先代 アガペトゥス2世次代 レオ8世個人情報出生 937年スポレート公国(中部イタリア)スポレート死去 964年5月14日 教皇領、ローマ原国籍 スポレート公国親 父アルベリーコ2世(スポレート公)、母アルダその他のヨハネステンプレートを表示 ヨハネス12世(Ioannes XII、937年 - 964年5月14日)は、ロ...

 

本文記述一項中國大陸新聞動態。随着事態變化,內容或許會迅速更新。維基百科不是新聞的收集处。請留心記載正確資訊,在情報相對明朗後編輯更新。編輯時請依可供查證方針,盡可能附上來源。 本条目是习近平系列的一部分 党总书记・最高领导人・领导核心 中共十八大 2012年当选总书记 中共十九大 2017年连任总书记 2018年修改宪法 中共二十大 2022年再任总书记 習近平...

Chaz Bowyer Raymond Chaz Bowyer (29 September 1926 – 18 June 2008) was a Royal Air Force armaments and explosives instructor who, after he retired from service, wrote and edited over forty books relating to the operations, aircraft, and men of the Royal Flying Corps, Royal Air Force, and Royal Naval Air Service. He also edited for publication the memoirs of the pilots C.P.O. Bartlett, Eric Crundall, and Gwilym H. Lewis. Early life and family Chaz Bowyer was born in Weymouth, Dorset, on 29 ...

 

AustralopithecusRentang fosil: Miocene - Pleistocene 6.1–1.2 jtyl PreЄ Є O S D C P T J K Pg N ↓ Australopithecus sediba Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Hewan Filum: Chordata Kelas: Mamalia Infrakelas: Eutheria Ordo: Primata Famili: Hominidae Subfamili: Homininae Tribus: Hominini Subtribus: Australopithecina Genera Australopithecus Paranthropus Ardipithecus (didiskusikan[1]) Orrorin (yang paling disukai) Sahelanthropus (mungkin) Istilah australopithecine secara umum meruju...

 

1937 film The CheatFrenchForfaiture Directed byMarcel L'HerbierWritten byJean-Georges AuriolJacques CompanéezHerbert JuttkeJacques NatansonHector TurnbullProduced byMichael SalkindPierre BraunbergerAyres d'AguiarRoger RichebéStarringVictor FrancenSessue HayakawaLouis JouvetCinematographyEugen SchüfftanEdited byPierre de HérainMarie Le BarsMusic byMichel MicheletProductioncompanySociété du Cinéma du PanthéonDistributed byGray-FilmRelease date 24 November 1937 (1937-11-24...

Lentille gravitationnelle pleine. Une étoile à préon est un type d’étoile compacte hypothétique constituée de préons, un groupe de particules subatomiques elles-mêmes hypothétiques. Les étoiles à préon devraient avoir une densité énorme, supérieure à 1023 kg/m3. Il s’agit d’un chiffre intermédiaire entre les étoiles à quarks et les trous noirs. Une étoile à préon d’une masse comparable à celle de la Terre aurait ainsi la taille d’une balle de tennis. Les étoi...

 

English singer (born 1989) Jess GlynneGlynne performing at South by Southwest in 2015BornJessica Hannah Glynne (1989-10-20) 20 October 1989 (age 34)Hampstead, London, EnglandOccupations Singer songwriter Years active2013–presentWorksDiscographyMusical careerGenres Pop R&B[1] dance soul Instrument(s)VocalsLabels EMI Black Butter Atlantic Websitejessglynne.co.uk Musical artist Jessica Hannah Glynne (born 20 October 1989) is an English singer and songwriter. After signing...

 

Room with large glass windows or walls for exposure to sunlight Sun lounge redirects here. For the streamlined sleeper-lounge car, see Sun Lounge (railcar). For the outdoor furniture, see Sunlounger. For the American rock band, see Sun Room. Florida room redirects here. For the Donald Fagen song, see Kamakiriad § Track listing. This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be cha...

The 2014 Kerrick Sports Sedan Series was an Australian motor racing competition open to Sports Sedans and Trans Am style cars.[1] It was sanctioned by the Confederation of Australian Motor Sport as a National Series[1] and was the eleventh National Series for Sports Sedans contested following the discontinuation of the Australian Sports Sedan Championship at the end of 2003. The 2014 series was won by Tony Ricciardello driving an Alfa Romeo GTV. Calendar Tony Ricciardello plac...

 

Laurence TubianaLaurence Tubiana en 2016.FonctionsPrésidente du directoireAgence française de développement2013-2022PrésidenteInstitut du développement durable et des relations internationales2002-2014Teresa RiberaBiographieNaissance 5 juillet 1951 (73 ans)Oran (Algérie française)Nom de naissance Émilie Laurence TubianaNationalité françaiseFormation Institut d'études politiques de Paris (jusqu'en 1973)Université Paris-I-Panthéon-Sorbonne (doctorat)Activités Économiste, pro...