Ріхард Курант народився в єврейській родині. В 1890-х роках сім'я часто переїжджала: — в Глац, Бреслау, потім в Берлін (1905).
Ріхард залишився в Бреслау та вступив до університету Бреслау, але зрозумівши, що якість навчання там недостатньо висока, продовжив навчання спочатку в Цюріхському, потім в Геттінгенському університетах. В Геттінгені Курант став учнем і помічником Д. Гільберта. В 1910 він здобув докторський ступінь за роботу «Про застосування принципу Діріхле до проблеми конформних відображень». В 1914 він в складі армії кайзерівської Німеччини брав участь в Першій світовій війні, відбуваючи службу на французькому фронті. Демобілізувавшись в 1919 році, Курант дістав призначення на посаду професора в університеті Мюнстера. В 1920 році він повернувся до Геттінгену.
З 1920 по 1933 рік він був професором Геттінгенського університету. Але після приходу нацистів до влади в Німеччині та розгрому Математичного інституту в Геттінгені Куранту довелося емігрувати. Один рік він провів в Кембриджі, потім переїхав до США.
З 1935 року Курант працював професором в Нью-Йоркському університеті. В Нью-Йорку Куранту було доручено створити спеціальний математичний інститут при Нью-Йоркському університеті. Курант, ставши першим директором інституту, залучив до роботи деяких своїх учнів та колег з Німеччини. Серед них були такі талановиті математики, як Курт Отто Фрідріхс, Джеймс Джонстон Стокер. До 1946 року, окрім чисто математичних досліджень та викладання, в інституті велася робота щодо проблеми використання математики в військовій справі. В 1958 році, коли Куранту вже було 70 років, він залишив пост директора Математичного інституту, але продовжив активне співробітництво з ним. В 1964 році інститут дістав назву Курантовський інститут математичних наук (англ.The Courant Institute of Mathematical Sciences).
В 1963 році відвідав СРСР в зв'язку з участю в Радянсько-американському симпозіумі по диференціальним рівнянням з частинними похідними, в 1966 році Курант став іноземним членом АН СРСР.
Серед учнів Куранта найбільш відомі М.Крускал, Г. Леві, У.Феллер, К. О. Фридріхс, П.Лакс.
Праці
Über die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung, Inaugural—Dissertation zur Erlangung der Doktorwürde der hohen philosophischen Fakultät der Georg-August Universität zu Göttingen, Göttingen, W. Fr. Kaestner (1910).
Zur Bergündung des Dirichletschen Prinzipes, K. Gesellschaft der Wissenchaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 1-7 (1910).
Über die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung, Math. Ann. 71:2, 145—183.
Über die Methode des Dirichletschen Prinzipes, Math. Ann. 72:4, 517—550.
Geometrische und philosophische Untersuchungen über den Raum, Handwörterbuch der Naturwissenschaften 8, 120—123.
Zur Theorie der kleinen Schwingungen, Z. für Angew. Math. und Mech. 2, 278—285.
Bemerkung zu meiner Note «Über eine Eigenschaft der Abbildungsfunktionen bei konformer Abbildung», K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 1-2.
Über ein konvergenzerzeugendes Prinzip in der Variationsrechmmg, K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 144—150.
Beweis des Satzes, dass von alien homogenen Membranen gegebenen Umfanges und gegebener Spannung die kreisförmige den tiefsten Grundton besizt, Math. Z. 1:2/3, 321—328.
Über die Lösungen der Differentialgleichungen der Physik, I. Mitteilung, Math. Ann. 85, 280—325.
Über die Schwingungen eingespannter Flatten, Math. Z. 15:3/4, 195—200.
The least dense lattice packing of two-dimensional convex bodies, Comm. Pure and Appl. Math. 18:1/2, 339—343. (1965)
