PROFILPELAJAR.COM

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами $H$ і $N$ , і дією $\phi$ групи $H$ в просторі групи $N$ , що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп $N$ і $H$ над $\phi$ звичайно позначається $N\rtimes _{\phi }H$ .

Конструкція

Нехай задана дія групи $H$ на просторі групи $N$ із збереженням її групової структури. Це означає, що задано гомоморфізм $\phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)$ групи $H$ в групу автоморфізмів групи $N$ . Автоморфізм групи $N$ , що відповідає елементу $h$ із $H$ при гомоморфізмі $\phi$ позначимо $\phi _{h}$ . Як група $G$ — напівпрямий добуток груп $H$ і $N$ над гомоморфізмом $\phi$ — береться множина $N\times H$ з бінарної операцією $*$ , яка діє за правилом:

(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})

для довільних

n_{1},n_{2}\in N

,

h_{1},h_{2}\in H

.

Властивості

Групи $H$ і $N$ природно вкладені в $G$ , причому $N$ — нормальна підгрупа в $G$ .
Кожен елемент $g\in G$ однозначно розкладемо у добуток $g=nh$ , де $h$ і $n$ — елементи груп $H$ і $N$ відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи $G$ як напівпрямого добутку груп $H$ і $N$ .)
Задана дія $\phi$ груп $H$ на групі $N$ збігається з дією $H$ на $N$ спряженнями (в групі $G$ ).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі $G$ (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Обґрунтування

Асоціативність операції перевіряється безпосередньо. Використовуються співвідношення

\phi _{h_{1}}\circ \phi _{h_{2}}(n)=\phi _{h_{1}h_{2}}(n)

и

\,\phi _{h}(n_{1})\phi _{h}(n_{2})=\phi _{h}(n_{1}n_{2})

.

Одиницею групи G служить елемент $\,(1_{N},1_{H})$ , де $1_{N}$ и $1_{H}$ - одиниці в групах N и H відповідно.
(Використовується рівність $\phi _{1_{H}}(n)=n$ .)
Елемент, обернений до $\,(n,h)$ $\,(n,h)$ , рівний $(\,\phi _{h}^{-1}(n^{-1}),h^{-1})$ $(\,\phi _{h}^{-1}(n^{-1}),h^{-1})$ .
- Для доведення того, що цей елемент є оберненим зліва, використовується рівність $\phi _{h}^{-1}(n^{-1})=\phi _{h^{-1}}(n)^{-1}$ .
Відображення $n\to (n,1_{H})$ и $h\to (1_{N},h)$ є гомоморфними вкладеннями груп N і H в групу G. Їх образи мають єдиний спільний елемент - одиницю групи G.
Відображення $(n,h)\to h$ є епиморфізмом групи G на групу H з ядром N. Звідси слідує, що група N є нормальною в G.
Рівність $\,(n,h)=(n,1)*(1,h)$ дає розклад довільного елемента групи G у добуток елементів n і h з груп N і H відповідно. З цієї ж рівності випливає і єдиність розпаду.
Рівність $(\phi _{h}(n),1)=(1,h)(n,1)(1,h)^{-1}$ показує, що дія групи H на N, котра задається гомоморфізмом $\phi$ співпадає з дією H на N спряженням.
Щоб довести універсальну властивість напівпрямого добутку, треба скористатися формулою $(n_{1}h_{1})\cdot (n_{2}h_{2})=n_{1}(h_{1}n_{2}h_{1}^{-1})\cdot (h_{1}h_{2})$ .
З неї випливає, що добуток у групі G с однозначним NH-розкладом (при умові нормальності групи N) повністю визначається правилами множення всередині підгруп N і H и правилами спряження елементів із N елементами із H.

Приклад

Група $\mathbb {Z} _{4}$ діє на $\mathbb {Z} _{5}$ (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

\phi _{h}(n)=a^{h}n

, де

a

— фіксований ненульовий елемент

\mathbb {Z} _{5}

,

h\in \mathbb {Z} _{4}

,

n\in \mathbb {Z} _{5}

.

Відповідно, на множині $\mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}$ можна ввести 4 структури групи — напівпрямого добутку:

$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+n_{2},h_{1}+h_{2})\,$
$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$
$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+2^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$
$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+3^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта — ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.