Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. Ви можете допомогти вдосконалити цю статтю, погодивши її із чинними мовними стандартами.

В геометрії та алгебрі дійсне число r є конструктивним тоді й лише тоді, враховуючи довжину одиничного відрізка (одиницю виміру), відрізок |r| може бути побудований з циркулем та лінійкою з кінцевим числом кроків^[1][2]. Не всі дійсні числа є конструктивними й для опису тих, що є, зазвичай використовуються алгебраїчні методи. Однак для того, щоб використовувати ці методи, корисно спочатку пов'язати точки з конструктивними числами.

Точка в евклідовій площині є конструктивною точкою, якщо вона є або кінцевою точкою даного одиничного відрізка, або точкою перетину двох ліній, визначених раніше отриманими конструктивними точками, або перетин такої лінії з колом, що має отриману раніше конструктивну точку, як центр, що проходить через іншу конструктивну точку, або перетин двох таких кіл.^[3] Тепер, вводячи декартові координати таким чином, що одна кінцева точка даного одиничного відрізку є (0, 0), а інша (1, 0), можна показати, що координати конструктивних точок є конструктивними числами.^[4]

В алгебрі число конструктивно тоді й лише тоді, коли воно може бути отримано з використанням чотирьох основних арифметичних операцій та вилучення квадратного кореня, але не з коренів вищого порядку, з конструктивних чисел, які завжди включають 0 та 1. Безліч конструктивних чисел можна повністю схарактеризувати мовою теорії поля: конструктивні числа утворюють квадратичне замкнення раціональних чисел: найменше розширення поля, яке закрито під квадратні корені^[5]. Це призводить до перетворення геометричних питань про циркуль та лінійку в алгебру. Це перетворення призводить до вирішення багатьох відомих математичних проблем, які не піддавалися розв'язуванню багато століть.

Традиційний підхід до предмета конструктивних чисел має геометричний характер, але це не єдиний підхід. Однак, геометричний підхід дає мотивацію для алгебраїчних визначень і є історичним способом розвитку суб'єкта. Представляючи матеріал таким чином, основні ідеї вводяться синтетично, а потім вводяться координати для переходу до алгебраїчної установки.^[6].

Нехай O та A є двома заданими точками в евклідовій площині. Безліч точок, які можуть бути побудовані за допомогою циркуля та лінійки, починаючи з O та A, будемо позначати S та елементи, які будуть називатися конструктивними точками. Висновок,O та A за визначенням, елементи S. Щоб більш точно описати елементи S, зробимо наступні два визначення:^[3]

• відрізок прямої, кінцеві точки якого знаходяться в S, називається побудованим відрізком, а
• коло, центр якого знаходиться в S і який проходить через точку S (альтернативно, радіус якої є відстанню між деякою парою різних точок S), називається побудованим колом.

Тоді точки S, крім O та A є:^[3]

• перетин двох непаралельних побудованих відрізків (при необхідності розширений),
• точки перетину побудованого кола і побудованого відрізка (якщо це необхідно), або
• точки перетину двох окремих побудованих кіл.

Як приклад, середина побудованого відрізка OA є конструктивною точкою. Щоб переконатися в цьому, зауважимо, що побудована окружність C₁ з центром O і проходить через A, перетинає коло, побудовану C₂ з центром A і проходить через O в конструктивних точках P та Q. Перетин побудованого відрізка PQ з побудованим відрізком OA є бажаною побудованою серединою.

Декартова система координат може бути введена там, де точка O пов'язана з походженням, мають координати (0, 0) і точка A пов'язана з (1, 0). Точки S тепер можуть бути використані для зв'язку геометрії та алгебри, а саме, ми визначаємо^[7]

•  конструктивно число є координатою конструктивної точки.

Завдяки точці A, 0 та 1 є конструктивними числами. Нехай P — точка в S, тобто конструктивна точка. Якщо P лежить на x- осі, то OP — це побудований відрізок, а перша координата P — в абсолютному значенні довжина цього побудованого відрізка. Якщо P не лежить на x- осі то нехай стопах перпендикуляра від P до x- осі бути точкою Q. Точка Q — побудована точка, так що PQ та OQ будуються відрізки. Абсолютними значеннями координат точки P є, отже, довжини побудованих відрізків. Цей процес є оборотним^[8], тому можна використовувати цей пристрій для забезпечення альтернативної характеристики конструктивних чисел, а саме:^[9]

• 0 — конструктивне число, будь-яке ненульове дійсне число r — конструктивне число, якщо і тільки якщо |r| — довжина побудованого відрізка.

Якщо a та b — ненульові довжини побудованих відрізків, то для отримання побудованих відрізків довжин a + b, a − b (якщо a ≥ b), ab та a/b можна використовувати елементарні побудови циркулем та лінійкою. Останні два можуть бути виконані з побудовою на основі теореми Фалеса про пропорційні відрізки. Трохи менш елементарна побудова з допомогою цих інструментів на основі теореми про середнє геометричне^[en] і побудувати відрізок довжиною √a від побудованого відрізка довжиною a.^{[10][11][12][13]}

• Побудова за допомогою циркуля та лінійки для конструктивних чисел
• 
  ${\displaystyle a\cdot b}$ заснована на теоремі Фалеса
• 
  ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ заснована на теоремі Фалеса
• 
  ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ заснована на теоремі Лагранжа

Якщо a та b є конструктивними числами з b ≠ 0, то a ± b, a×b, a/b, та √a для невідійманого a конструктивне. Таким чином, множина конструктивних дійсних чисел утворює поле. Крім того, оскільки 1 є конструктивною кількістю, всі раціональні числа є конструктивними, а ℚ, власне, підполе поля конструктивних чисел. Також будь-яке конструктивно число є алгебраїчним числом. Точніше,^[14]

• якщо γ є конструктивне дійсне число й γ ∉ ℚ, тобто кінцева послідовність дійсних чисел α₁, ... , α_n = γ таким чином, що ℚ(α₁, ... , α_i) є розширенням з ℚ(α₁, ... , α_{i − 1}) ступеня 2. Зокрема, [ℚ(γ):ℚ] = 2^r для деякого цілого числа r ≥ 0.

Використовуючи дещо іншу термінологію,^[15] дійсне число конструктивне, тоді й лише тоді воно знаходиться в полі у верхній частині кінцевої вежі з квадратичних розширень, починаючи з полем раціональних чисел ℚ. Точніше, γ є конструктивними тоді й лише тоді, коли існує башта полів

${\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n},}$

де γ в K_n і для всіх 0 ≤ j < n, [K_{j + 1}:K_j ] = 2.

Для ще одного формулювання цього результату, на цей раз з використанням геометричного визначення конструктивної точки^[16], нехай P буде непустою множиною точок в ℝ² та K підполем ℝ, породжених усіма координатами точок P. Якщо точка r = (x, y) конструктивна з точок P , то градуси [K(x):K] та [K(y):K] є ступеня 2.

Використовуючи натуральну відповідність між точкамиℝ² та комплексними числами (а саме, (a, b) ⇔ a + bi) деякі автори вважають за краще висловлювати результати у складному параметрі, визначаючи:^[17]

• комплексне число є конструктивним тоді й лише тоді, коли її дійсна та уявна частини конструктивні дійсні числа.

Це може бути показано^[18], способом, аналогічним реальному нагоди, що комплексне число конструктивне тоді й лише тоді, коли воно знаходиться в полі у верхній частині кінцевої вежі комплексних квадратичних розширень, починаючи з поля ℚ(i). Точніше, z є конструктивними тоді й лише тоді, коли існує башта складних полів

${\displaystyle \mathbb {Q} (i)=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},}$

де z знаходиться в F_n і для всіх 0 ≤ j < n, [F_{j + 1}:F_j ] ≤ 2.

Отже, якщо комплексне число конструктивно, то [ℚ(z) : ℚ] є ступень 2.

Ця алгебраїчна характеристика конструктивних чисел є важливою необхідною умовою конструктивності: якщо z є конструктивною, то вона алгебраїчна, а її мінімальний незвідний поліном має ступінь 2, що еквівалентно твердженню, що розширення поля 'ℚ(z)/ℚ має розмір ступеня 2. Зауважимо, що зворотне помилкове  — це не достатня умова конструктивності, оскільки існують неконструктивні числа z з [ℚ(z) : ℚ] = 4.^[19]

Основна стаття: Тригонометричні числа

Тригонометричні числа — ірраціональні косинуси або синуси кутів, які є раціональними кратними числами π. Таке число конструктивно тоді й лише тоді, коли знаменник повністю зменшеної множини є ступень 2 або добуток ступеня 2 з добутку однієї чи більше простих чисел Ферма. Так, наприклад, cos(π/15) є конструктивним, тому що 15 — добуток двох простих чисел Ферма, 3 та 5.

Дивіться тут список тригонометричних чисел, виражених у вигляді квадратних коренів.

Стародавні греки вважали, що деякі будівельні проблеми, вони не могли вирішити, були просто впертий, чи не нерозв'язною.^[20] Однак неконструктивність певних чисел доводить, що їх логічно неможливо виконати. (Самі проблеми, однак, вирішуються, і греки знали, як їх вирішувати, без обмежень працюючи тільки з лінійкою та циркулем).

У наступній діаграмі кожен рядок являє собою конкретну стародавню проблему будівництва. Ліва колонка дає назву проблеми. Друга колонка дає еквівалентну алгебраїчному формулюванню проблеми. Іншими словами, розв'язання проблеми є твердженням тоді й лише тоді, коли кожне число в заданому наборі чисел конструктивне. Нарешті, останній стовпець містить простий контрприклад. Іншими словами, число в останньому стовпці є елементом набору в одному рядку, але не конструктивне.

Проблема будівництва	Пов'язаний набір чисел	Контрприклад
Подвоєння куба	${\displaystyle \left\{{\sqrt[{3}]{x}}:x{\text{ is constructible}}\right\}}$	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ не конструктивне, тому що його мінімальний поліном має ступінь 3 над Q[21]
Трисекція кута	${\displaystyle \left\{\cos \left({\frac {\arccos x}{3}}\right):x{\text{ is constructible}}\right\}}$	${\displaystyle \cos \left({\frac {\arccos(1/2)}{3}}\right)=\cos 20^{o}}$ не конструктивна, тому що ${\displaystyle \cos 20^{o}}$ має мінімальний поліном ступеня 3 над Q[21]
Квадратура круга	${\displaystyle \left\{r{\sqrt {\pi }}:r{\text{ is constructible}}\right\}}$	${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ не конструктивне, тому що вона не є алгебраїчною над Q[21]
Constructible polygon[en]	${\displaystyle \left\{e^{2\pi i/n}:n\in \mathbb {N} ,n\geq 3\right\}}$	${\displaystyle e^{2\pi i/7}}$ не є конструктивними, оскільки 7 не є простим Ферма, а також не є продуктом ${\displaystyle 2^{k}}$ й одним або декілька простих чисел Ферма[22]

Народження поняття конструктивних чисел нерозривно пов'язане з історією трьох неможливих побудов циркулем та лінійкою: дублювання куба, трисекція кута, і квадратура кола. Обмеження використання тільки циркуля та лінійки в геометричних побудовах часто приписують Платону через проходження в Плутарху. Згідно Плутарху, Платон дав дублювання проблеми куба (деліанської) проблеми до Евдокса, Архіта й Менехма, який розв'язував проблему з допомогою механічних засобів, отримавши докір від Платона за те, що не розв'язував проблему з використанням чистої геометрії (Plut., Quaestiones convivales VIII. ii, 718ef). Однак, це приписування оскаржується^[23], що пов'язано, частково, з існуванням іншої версії історії (приписується Ератосфену за Eutocius of Ascalon^[en], яка говорить, що всі три рішення знайдені, але вони були занадто абстрактні, щоб мати практичне значення.^[24] Оскільки Енопіду^[en] (близько 450  р. до н. е.) приписується дві побудови за допомогою циркуля та лінійки, Прокл  — цитуючи Евдема (близько 370—300 до н. е.) — коли йому стали доступні інші методи, це призвело до того, що деякі автори висунули гіпотезу про те, що Енопід увів обмеження.

Обмеження на циркуль та лінійку важливе для того, щоб зробити ці побудови неможливими. Наприклад, трисекція кута може бути зроблена багатьма засобами, деякі з яких були відомі древнім грекам квадратриса Гіппія Елідського, то конічні перетини Менехма або маркований лінійка (neusis) Архімеда — всі вони були використані, і ми можемо додати більш сучасний підхід з допомогою складання паперу.

Хоча це не одна з трьох класичних задач на побудову, задача побудови правильних многокутників за допомогою лінійки та циркуля зазвичай розглядається поряд з ними. Греки знали, як будувати правильні n-кутники з n = 2^h, 3, 5 (для будь-якого цілого h ≥ 2) або добутку будь-яких двох або трьох з цих чисел, але інші правильні n-кутники вислизали від них. Потім, у 1796 році, вісімнадцятирічний студент Карл Фрідріх Гаусс оголосив у газеті, що побудував правильний 17-кутник лінійкою та циркулем.^[25]Побудова Гауса була швидше алгебричною, ніж геометричним; насправді, він фактично не будував многокутник, а показав, що косинус центрального кута є конструктивним числом. Аргумент був узагальнений у своїй книзі 1801 року Disquisitionses Arithmeticae, що дає достатню умову для побудови правильного n-кутника. Гаусс стверджував, але не доводив, що умова також необхідна, і кілька авторів, зокрема, Фелікс Кляйн, [26] також приписують йому цю частину докази.^[26] attributed this part of the proof to him as well.^[27]

У роботі 1837 р.^[28] П'єр Лоран Ванцель довів алгебраїчно, що проблеми

• подвоєння куба та

• трисекції кута

неможливо вирішити, якщо використовувати тільки циркуль та лінійку. У цій же статті він також розв'язав проблему визначення, які правильні многокутники є конструктивними: правильний многокутник конструктивний тоді й лише тоді, коли число його сторін є добутком степеня двійки та будь-якого числа окремих простих чисел Ферма (тобто, необхідні умови, наведені Гаусом)

Спробу доказу неможливості набудувати коло надав Джеймсом Грегорі у Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (1667). вирішити задачу з використанням алгебраїчних властивостей π. Лише в 1882 році Фердинанд фон Ліндеман строго довів свою неможливість, поширивши роботу Шарля Ерміта та довівши, що π є трансцендентними числами.

Дослідження конструктивних чисел, по суті, було ініційоване Рене Декартом у La Geometrie, додаток до своєї книги «Міркування про метод», опублікований в 1637 році. Проблема старовинної лінійки та циркуля, поставлена Паппом^[29].

• Обчислюване число
• Definable real number^[en]
• Побудова за допомогою циркуля та лінійки
• Теорема Гаусса — Ванцеля

• Fraleigh, John B. (1994), A First Course in Abstract Algebra (вид. 5th), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
• Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, Macmillan, ISBN 0-02-353820-1
• Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], Ruler and the Round /Classic Problems in Geometric Constructions, Dover, ISBN 0-486-42515-0
• Moise, Edwin E. (1974), Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (вид. 2nd), Addison Wesley, ISBN 0-201-04793-4
• Roman, Steven (1995), Field Theory, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94408-1
• Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (вид. 3rd), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
• Stewart, Ian (1989), Galois Theory (вид. 2nd), Chapman and Hall, ISBN 978-0-412-34550-0

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Конструктивне число

• Chris Cooper: Galois Theory [Архівовано 17 лютого 2019 у Wayback Machine.]. Lectures notes, Macquarie University, § 6 Ruler and Compass Constructability, pp. 55-63 [Архівовано 28 лютого 2019 у Wayback Machine.](англ.)
• Weisstein, Eric W. Constructible Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Constructible Numbers [Архівовано 28 лютого 2019 у Wayback Machine.] at Cut-the-knot(англ.)