Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.

Загальною лінійною групою порядку ${\displaystyle n}$ називається четвірка ${\displaystyle \left(U_{n}(R),\cdot ,{}^{-1},I\right)}$, де:

• ${\displaystyle R}$ є асоціативним кільцем з одиницею,
• ${\displaystyle U_{n}(R)}$ — оборотні матриці порядку ${\displaystyle n}$ над даним кільцем,
• Груповою операцією є множення матриць,
• Зворотним елементом є обернена матриця,
• Одиничним елементом є одинична матриця.

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Якщо ${\displaystyle V}$ — векторний простір над полем ${\displaystyle F}$, то загальною лінійною групою лінійного простру ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ або ${\displaystyle \operatorname {Aut} (V)}$ називається група всіх автоморфізмів ${\displaystyle V}$, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень ${\displaystyle V\to V}$ де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність ${\displaystyle \dim V=n}$, то ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ і ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів ${\displaystyle V}$. Якщо ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ — базис, і автоморфізмів ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$, маємо

${\displaystyle Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}}$

для деяких констант ${\displaystyle a_{jk}\in K}$. Матриця, відповідна ${\displaystyle T}$ має елементами ${\displaystyle a_{jk}}$.

Матриця є оборотна над полем ${\displaystyle F}$, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця ${\displaystyle R}$ маємо: матриця над ${\displaystyle R}$ є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в ${\displaystyle R}$. Отже, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальною лінійною групою порядку ${\displaystyle n}$ над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку ${\displaystyle n}$ з елементами поля ${\displaystyle K}$, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$.

• Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
• Спеціальну лінійну групу ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Якщо ${\displaystyle K}$ є скінченним полем з ${\displaystyle q}$ елементами, іноді використовується запис ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q)}$.

Порядок групи ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$

${\displaystyle |\operatorname {GL} (n,K)|=\prod _{i=0}^{n-1}~(q^{n}-q^{i})}$.

Для прикладу, порядок ${\displaystyle \operatorname {(} GL)(3,2)}$ рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи ${\displaystyle \mathbb {(} Z)_{2}^{3}}$

Аналогічні формули для ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$:

${\displaystyle |\operatorname {SL} (n,K)|={1 \over q-1}\prod _{i=0}^{n-1}~(q^{n}-q^{i})}$.

• Якщо n > 2, то група ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ не є абелевою.
• ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ є нормальною підгрупою ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$.
• Нехай ${\displaystyle K^{*}}$ буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:

  ${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,K)\to K^{*}}$.

• ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ є напівпрямим добутком ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)\rtimes K^{*}}$

Проективна група ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,K)}$ і проектні спеціальні лінійні групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (n,K)}$ є факторгрупами ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ і ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ відносно скалярних матриць.

Афінна група ${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)}$ — розширення ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпрямого добутку:

${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)=\operatorname {GL} (n,K)\ltimes K^{n}}$. Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.

• Залишково скінченна група

• Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703