У теорії чисел досконале число  — натуральне число, що дорівнює сумі його додатних дільників, не враховуючи самого числа. Наприклад, 6 має дільники 1, 2, 3 (не враховуючи його самого), ${\displaystyle 6=1+2+3}$, тому 6  — досконале число.

Сума дільників числа, не враховуючи самого числа, називається аліквотною сумою^[en], тому досконале число  — це число, що дорівнює його аліквотній сумі. Що рівносильно, що досконале число  — число, яке є половиною суми всіх своїх додатних дільників, враховуючи себе. У символьному записі: ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$, де ${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$  — функція суми дільників числа ${\displaystyle n}$. Наприклад, 28  — досконале, оскільки ${\displaystyle 1+2+4+7+14+28=56=2\cdot 28}$.

Це стародавнє означення, воно з'явилось ще в Началах Евкліда (VII.22), де такі числа називалися досконалими, ідеальними чи повними. Евклід також довів правило утворення (IX/36), за яким ${\displaystyle {\frac {q(q+1)}{2}}}$ є парним досконалим числом тоді, коли ${\displaystyle q=2^{p}-1}$, ${\displaystyle q}$ і ${\displaystyle p}$  — прості числа. Такі ${\displaystyle q}$ називаються простими числами Мерсенна^[en]. Через два тисячоліття Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають таку форму^[1]. Цей результат відомий як теорема Евкліда-Ейлера^[en].

Невідомо, чи існують непарні досконалі числа і чи є нескінченною послідовність досконалих чисел. Декілька перших досконалих чисел  — 6, 28, 496^[en], 8128^[en] (див. послідовність послідовність A000396 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Приблизно в 300-му році до н. е. Евклід показав, що, якщо ${\displaystyle 2^{p}-1}$  — просте число, то ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$  — досконале число. Перші 3 досконалі числа були єдиними, які знала давньогрецька математика і число 8128, яке знайшов Нікомах приблизно у 100-му році н. е.^[2] Нікомах стверджував без доведення, що будь-яке досконале число має вигляд ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$, де ${\displaystyle 2^{n}-1}$  — просте число.^[3][4] Здається, він не знав, що ${\displaystyle n}$ також має бути простим числом. Також він помилково вважав, що досконалі числа по черзі закінчуються на 6 і на 8 (перші п'ять досконалих чисел закінчуються на 6, 8, 6, 8, 6 відповідно, але шосте закінчується знову на 6). Філон Олександрійський у своїй книзі першого століття «Про створення світу» згадує досконалі числа, стверджуючи, що світ був створений за 6 днів, а Місяць здійснює повний оберт по орбіті за 28 днів, тому що 6 і 28  — досконалі. До Філона приєднались Оріген^[5] і Дідим Сліпець, котрі зазначають, що є лише чотири досконалі числа, менші за 10000 (коментар до книги Буття 1.14-19).^[6] Св. Августин на початку п'ятого віку н. е. зазначає досконалі числа у книзі «Місто Боже» (книга XI, глава 30), повторюючи висловлювання, що Бог створив світ за 6 днів, бо 6  — найменше досконале число. Єгипетський математик Ізмаїл ібн Фоллус (1194-1252) згадує наступні три досканалі числа (33,550,336; 8,589,869,056; 137,438,691,328) і ще декілька, які виявились хибними.^[7] Перша згадка п'ятого досконалого числа європейцями  — рукопис, написаний між 1456 і 1461 роками невідомим математиком.^[8] У 1588 році італійський математик П'єтро Катальді знайшов шосте (8,589,869,056) і сьоме (137,438,691,328) досконалі числа, а також довів, що кожне досконале число, отримане з правила Евкліда, закінчується на 6 чи 8.^[9][10][11]

Див. також: Теорема Евкліда-Ейлера^[en].

Евклід довів, що ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ є досконалими, коли ${\displaystyle 2^{p}-1}$ є простим (Начала, твердження IX.36).

Наприклад, перші чотири досконалі числа, отримані за допомогою цієї формули:

при ${\displaystyle p=2}$:   ${\displaystyle 2^{1}(2^{2}-1)=2\cdot 3=6,}$

при ${\displaystyle p=3}$:   ${\displaystyle 2^{2}(2^{3}-1)=4\cdot 7=28,}$

при ${\displaystyle p=5}$:   ${\displaystyle 2^{4}(2^{5}-1)=16\cdot 31=496,}$

при ${\displaystyle p=7}$:   ${\displaystyle 2^{6}(2^{7}-1)=64\cdot 127=8128.}$

Прості числа вигляду ${\displaystyle 2^{p}-1}$, відомі як прості числа Мерсенна^[en], названі на честь монаха сімнадцятого століття Марена Мерсенна, що вивчав теорію чисел і досконалі числа. Для того, щоб ${\displaystyle 2^{p}-1}$ було простим, необхідно щоб і ${\displaystyle p}$ було простим. Але це не достатня умова; наприклад, ${\displaystyle 2^{11}-1=2047=23\times 89}$ не є простим^[12]. Насправді, прості числа Мерсенна дуже рідкісні  — з 2.610.944 простих чисел менших 43112609^[en][13], число ${\displaystyle (2^{p}-1)}$ є простим лише для 47 з них.

Хоча Нікомах стверджував (без доведення), що всі досконалі числа мають вигляд ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$, де ${\displaystyle 2^{n}-1}$  — просте число (саме твердження було трохи в іншій формі), Ібн аль-Хайсам приблизно в 1000-му році н. е. припускав, що формула описує лише будь-яке парне досконале число^[14]. Тільки в XVIII столітті Леонард Ейлер довів, що формула ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ описує всі парні досконалі числа. Таким чином існує взаємно однозначна відповідність між парними досконалими числами і простими числами Мерсенна; кожне просте число Мерсенна породжує одне парне досконале число, і навпаки. Цей результат часто називають теоремою Евкліда-Ейлера^[en].

Вичерпний пошук у рамках проекту GIMPS показав, що першим 47-ми парним досконалим числам вигляду ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ відповідають^[15]

${\displaystyle p}$ = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 і 43112609 послідовність A000043 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.^[16]

Також знайдено п'ять більших досконалих чисел, а саме при ${\displaystyle p}$=57.885.161, 74.207.281, 77.232.917, 82.589.933 і 136.279.841, але в цих межах можуть бути й інші. Станом на жовтень 2024 року відомо 52 простих чисел Мерсенна^[17] і, відповідно, 52 парних досконалих чисел (найбільше з яких  — ${\displaystyle 2^{136279841}(2^{136279841}-1)}$ з 82.048.640 цифрами). Невідомо чи існує нескінченно багато досконалих чисел і простих чисел Мерсенна.

Крім того, що будь-яке парне досконале число має вигляд ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$, воно ще є ${\displaystyle (2^{p}-1)}$-им трикутним числом (і, як наслідок, є сумою цілих чисел від 1 до ${\displaystyle 2^{p}-1}$), а також є ${\displaystyle (2^{p-1})}$-им шестикутним числом. Більш того, будь-яке парне досконале число (за винятком 6) є ${\displaystyle \left({\frac {2^{p}-1}{3}}\right)}$-им центрованим дев'ятикутним числом, а значить воно дорівнює сумі ${\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}}$ перших непарних кубів:

${\displaystyle {\begin{aligned}6=2^{1}\left(2^{2}-1\right)&=1+2+3,\\[8pt]28=2^{2}\left(2^{3}-1\right)&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496=2^{4}\left(2^{5}-1\right)&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\\[8pt]8128=2^{6}\left(2^{7}-1\right)&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3},\\[8pt]33550336=2^{12}\left(2^{13}-1\right)&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}}$

Парні досконалі числа (крім 6) мають вигляд

${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{\frac {2^{p}-2}{3}}}$,

де кожне трикутне число ${\displaystyle T_{7}=28}$, ${\displaystyle T_{31}=496}$, ${\displaystyle T_{127}=8128}$ після віднімання одиниці і ділення на дев'ять закінчується на 3 або 5; послідовність починається з ${\displaystyle T_{2}=3}$, ${\displaystyle T_{10}=55}$, ${\displaystyle T_{42}=903}$, ${\displaystyle T_{2730}=3727815,\dots }$^[18] Це можна переформулювати наступним чином: сумування цифр будь-якого парного досконалого числа (крім 6), а потім повтор таких дій з отриманими результатами до моменту, коли залишиться одна цифра (знаходження цифрового кореня), дасть в результаті одиницю. Наприклад, цифровий корінь числа 8128 дорівнює одиниці, бо ${\displaystyle 8+1+2+8=19}$, ${\displaystyle 1+9=10}$, ${\displaystyle 1+0=1}$. Це справедливо для усіх чисел вигляду ${\displaystyle 2^{m-1}(2^{m}-1)}$, де ${\displaystyle m}$  — непарне число.

Завдяки своїй формі ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ кожне парне досконале число записується у двійковій системі як ${\displaystyle p}$ одиниць, а за ними ${\displaystyle (p-1)}$ нулів. Наприклад,

${\displaystyle 6_{10}=2^{2}+2^{1}=110_{2},}$

${\displaystyle 28_{10}=2^{4}+2^{3}+2^{2}=11100_{2},}$

${\displaystyle 496_{10}=2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}=111110000_{2},}$

${\displaystyle 8128_{10}=2^{12}+2^{11}+\cdots +2^{7}+2^{6}=1111111000000_{2}.}$

Таким чином парні досконалі числа є згубними числами^[en].

Кожне парне досконале число також є практичним числом.

Невідомо чи існує хоч якесь непарне досконале число, хоча деякі результати у цьому напрямі були отримані. У 1496 році Жак Лефевр стверджував, що правило Евкліда дає абсолютно всі досконалі числа^[19], з чого слідує відсутність непарних досконалих чисел. Ейлер стверджував, що найважчим питанням є питання існування непарних досконалих чисел^[20]. Нещодавно Карл Померанс^[en] представив евристичний аргумент^[en], який передбачає, що дійсно непарного досконалого числа не має існувати^[21]. Усі досконалі числа також є гармонічними числами Оре^[en], а також існує гіпотеза, що немає непарних гармонічних чисел Оре (крім одиниці).

Будь-яке непарне досконале число ${\displaystyle N}$ має задовольняти наступним умовам:

• ${\displaystyle N\geq 10^{1500}}$^[22]
• ${\displaystyle N}$ не ділиться на 105^[23]
• ${\displaystyle N}$ конгурентне або 1 по модулю 12, або 117 по модулю 468, або 81 по модулю 324^[24]
• ${\displaystyle N}$ має вигляд ${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}}}$, де

• ${\displaystyle q,p_{1},\dots ,p_{k}}$ є різними простими числами (Ейлер);
• ${\displaystyle N\equiv \alpha \equiv 1}$ (mod 4) (Ейлер);
• Найменший простий дільник числа ${\displaystyle N}$ менший за ${\displaystyle {\frac {2k+8}{3}}}$;^[25]
• Або ${\displaystyle q^{\alpha }>10^{62}}$, або ${\displaystyle p_{j}^{2e_{j}}>10^{62}}$ для деякого ${\displaystyle j}$;^[22]
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$;^[26][27]
• ${\displaystyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+\dots +2e_{k}\geq {\frac {21k-18}{8}}}$;^[28][29]
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}\dots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$.^[30]

• Найбільший простий дільник числа ${\displaystyle N}$ більший за ${\displaystyle 10^{8}}$^[31] і менший за ${\displaystyle (3N)^{\frac {1}{3}}}$.^[32]
• Наступний найбільший простий дільник ${\displaystyle N}$ більший за ${\displaystyle 10^{4}}$ і менший за ${\displaystyle (2N)^{\frac {1}{5}}}$.^[33][34]
• Третій найбільший простий дільник ${\displaystyle N}$ більший за 100.^[35]
• ${\displaystyle N}$ має щонайменше 101 простий дільник, де щонайменше 10 різних.^[36]
• Якщо ${\displaystyle N}$ не ділиться на 3, то ${\displaystyle N}$ має щонайменше 12 простих дільників.^[37]

Також відомо декілька другорядних результатів, що стосуються показників ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{k}}$ числа ${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}}}$.

• Не всі ${\displaystyle e_{i}\equiv 1}$ (mod 3).^[38]
• Не всі ${\displaystyle e_{i}\equiv 2}$ (mod 5).^[39]
• Якщо ${\displaystyle e_{i}\equiv 1}$ (mod 3) або ${\displaystyle e_{i}\equiv 2}$ (mod 5), найменший простий дільник числа ${\displaystyle N}$ буде знаходитись в межах від ${\displaystyle 10^{8}}$ до ${\displaystyle 10^{1000}}$.
• У загальному випадку, якщо всі ${\displaystyle 2e_{i}+1}$ мають простий дільник у скінченній множині ${\displaystyle S}$, то найменший простий дільник числа ${\displaystyle N}$ має бути найменшим за ефективно обчислювальну константу, що залежить лише від ${\displaystyle S}$.
• Якщо ${\displaystyle (e_{i},\dots ,e_{k})=(1,\dots ,1,2,\dots ,2)}$ з ${\displaystyle t}$ одиницями і ${\displaystyle u}$ двійками, то ${\displaystyle {\frac {t-1}{4}}\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}$.^[40]
• ${\displaystyle (e_{i},\dots ,e_{k})\neq (1,\dots ,1,3)}$,^[41] ${\displaystyle (1,\dots ,1,5)}$, ${\displaystyle (1,\dots ,1,6)}$.^[42]
• Якщо ${\displaystyle e_{1}=\dots =e_{k}=e}$, то

• ${\displaystyle e}$ не може дорівнювати 3,^[43] 5, 24,^[44] 6, 8, 11, 14 або 18.^[42]
• ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$ і ${\displaystyle N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}}$.^[45]

У 1888 році Сильвестр стверджував: «… довгі роздуми на цю тему переконали мене, що існування будь-якого такого (непарного досконалого) числа  — це вихід із величезної павутини умов, що його оточують, і є просто чудом.»^[46]

Багато властивостей, доведених відносно непарних досконалих чисел, також стосуються чисел Декарта^[en], а тому Пейс Нільсен припустив, що достатнє вивчення таких чисел може привести до доведення відсутності непарних досконалих чисел.^[47]

Усі парні досконалі числа мають дуже точну форму; непарні досконалі числа або не існують, або є дуже рідкісними. Є цілий ряд результатів щодо досконалих чисел, які насправді досить легко довести, але, втім, є вражаючими; деякі з них підходять під сильний закон малих чисел^[en] Річарда Ґая:

• 28  — єдине парне досконале число вигляду ${\displaystyle x^{3}+1}$^[48]
• 28  — також єдине парне досконале число, яке є сумою кубів двох додатних чисел^[49]
• Сума чисел, обернених до дільників досконалого числа, дорівнює двійці (щоб отримати це, необхідно скористатися означенням досконалого числа ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$ і поділити обидві частини рівності на ${\displaystyle n}$):

• Для 6 маємо: ${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}=2}$;
• Для 28 маємо: ${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}=2}$, і так далі.

• Кількість дільників будь-якого досконалого числа (парного чи непарного) має бути парною, оскільки досконале число ${\displaystyle N}$ не може бути повним квадратом^[50]

• З двох зазначених вище властивостей випливає, що кожне досконале число є гармонічним числом Оре^[en].

• Парні досконалі числа не є трапецієвидними числами^[en]; тобто їх не можна представити у вигляді різниці двох додатних непослідовних трикутних чисел. Існує лише три типи нетрапецієвидних чисел: парні досконалі числа, степені двійки і числа вигляду ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$, які утворені як добуток простого числа Ферма ${\displaystyle 2^{n}-1}$ та ${\displaystyle 2^{n-1}}$, що аналогічно побудові досконалих чисел з простих чисел Мерсенна.^[51]
• Кількість досконалих чисел менших за ${\displaystyle n}$ менша за ${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$, де ${\displaystyle c}$  — додатна константа.^[52] Насправді це ${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$ (використовується позначення ${\displaystyle o}$-малого).^[53]
• Кожне парне досконале число закінчується на 6 чи 28 в десятковій системі і закінчується на 1 (за винятком числа 6) в системі за базою 9^[54][55]. Тому цифровий корінь будь-якого парного досконалого числа (відмінного від 6) дорівнює 1.
• 6  — єдине досконале число, яке є безквадратичним.^[56]

Сума власних дільників дає різні інші види чисел. Числа, де сума їх дільників менша за саме число, називають недостатніми, а де більша  — надлишковими. Ці терміни і саме поняття досконалих чисел прийшло до нас з грецької нумерології. Пари чисел, які є сумами власних дільників один одного, називаються дружними, а більші цикли таких чисел називаються компанійськими^[en]. Натуральне число таке, що кожне менше за нього натуральне число є сумою його різних дільників, називається практичним.

За означенням, досконале число  — нерухома точка обмеженої функції дільників^[en] ${\displaystyle s(n)=\sigma (n)-n}$, а пов'язана з досконалими числами аліквотна послідовність^[en] є постійною послідовністю. Всі досконалі числа також є ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$-досконалими або числами Гранвіля^[en].

Напівдосконале число  — натуральне число, яке дорівнює сумі всіх або деяких власних дільників. Напівдосконале число, яке дорівнює сумі всіх власних дільників, є досконалим числом. Більшість надлишкових чисел також є напівдосконалими; надлишкові числа, що не є напівдосконалими, називаються дивними^[en].

• Гіпердосконале число^[en]
• Група Ленстера^[en]
• Список досконалих чисел^[en]
• Багаторазове досконале число^[en]
• Супердосконалі числа

• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers [Архівовано 28 грудня 2014 у Wayback Machine.]
• Perfect numbers — History and Theory [Архівовано 30 червня 2004 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Perfect Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
• Great Internet Mersenne Prime Search [Архівовано 14 серпня 2021 у Wayback Machine.] (GIMPS)
• Perfect Numbers [Архівовано 12 лютого 2015 у Wayback Machine.], math forum at Drexel.
• Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Архів оригіналу за 31 травня 2013. Процитовано 2 квітня 2013.

• Nankar, M.L.: "History of perfect numbers, " Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
• Riele, H.J.J. «Perfect Numbers and Aliquot Sequences» in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): Computational Methods in Number Theory, Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
• Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation, Birkhauser, 1985.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. с. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.