17 серпня 2019 року дебютував за першу команду «моряків» в матчі першої ліги 2019/20 проти краматорського «Авангарда», замінивши на 89-й хвилині Богдана Коваленко[2]. 11 липня 2020 року у грі першої ліги проти львівського «Руху» забив свій перший гол у складі одеської команди[3]. Першу гру в рамках Прем'єр-ліги провів 25 липня 2021 року проти чернігівської «Десни» (0:3). 10 вересня наступного року забив дебютний гол в еліті українського футболу, відзначившись влучним ударом у ворота донецького «Шахтаря» (1:2). Максим Брагару увійшов до списку найкращих молодих дриблерів світу, який 3 травня 2023 року опублікував «Міжнародний центр спортивних досліджень»[4][5]. Загалом за п'ять років провів за одеситів 118 матчів у всіх турнірах і відзначився десятьма забитими голами.
4 червня 2024 року у статусі вільного агента підписав чотирирічний контракт із київським «Динамо»[6]. Дебютував у складі киян 6 серпня у матчі 3-го кваліфікаційного раунду Ліги чемпіонів проти «Рейнджерс» (1:1), замінивши на 76-й хвилині Владислава Кабаєва[7]. 14 вересня у матчі чемпіонату проти луганської«Зорі» (2:0) забив свій перший за нову команду[8].