PROFILPELAJAR.COM

Бета-розподіл
Бета-розподіл
	Функція ймовірностей
	Функція розподілу ймовірностей
Параметри	;
Носій функції
Розподіл імовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Мода	для
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція
Інформація за Фішером

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Бета.

Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Означення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задаєтся густиною ймовірності $f_{X}$ , що має вигляд:

f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}

,

де

$\alpha ,\beta >0$ довільні фіксовані параметри, і
$\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx$ — бета-функція.

Тоді випадкова величина $X$ має бета-розподіл. Пишуть: $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ .

Форма графіка

Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів $\alpha$ і $\beta$ .

$\alpha <1,\ \beta <1$ — графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
$\alpha <1,\ \beta \geq 1$ $\alpha <1,\ \beta \geq 1$ чи $\alpha =1,\ \beta >1$ $\alpha =1,\ \beta >1$ — графік строго спадний (синя крива)
- $\alpha =1,\ \beta >2$ — графік строго опуклий;
- $\alpha =1,\ \beta =2$ — графік є прямою лінією;
- $\alpha =1,\ 1<\beta <2$ — графік строго ввігнутий;
$\alpha =1,\ \beta =1$ графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу;
$\alpha =1,\ \beta <1$ $\alpha =1,\ \beta <1$ або $\alpha >1,\ \beta \leq 1$ $\alpha >1,\ \beta \leq 1$ — графік строго зростаючий (зелена крива);
- $\alpha >2,\ \beta =1$ — графік строго опуклий;
- $\alpha =2,\ \beta =1$ — графік є прямою линією;
- $1<\alpha <2,\ \beta =1$ — графік строго ввігнутий;
$\alpha >1,\ \beta >1$ — график унімодальний (пурпурова та чорна криві)

У випадку, коли $\alpha =\beta$ , густина ймовірності симетична відносно $1/2$ (червона та пурпурова криві), то

f_{X}(x-1/2)=f_{X}(x+1/2),\;x\in [0,1/2]

.

Моменти

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини $X$ , що має бета-розподіл, мають такий вигляд:

\mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}

,

\mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}

.

Зв'язок з іншими розподілами

Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:

\mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)

$X,Y$ — незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому $X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)$ , а $Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)$ , то

{\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )

Апріорний розподіл Голдейна

Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн,^[1] який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p⁻¹(1−p)⁻¹. Функцію p⁻¹(1−p)⁻¹ можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p⁻¹(1−p)⁻¹ розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.

Примітки

↑ Haldane, J.B.S. (1932). A note on inverse probability. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 28: 55—61. doi:10.1017/s0305004100010495. Архів оригіналу за 23 червня 2015. Процитовано 20 червня 2017.