Народився 11 вересня1996 року у селі Огуднево біля Москви. Вихованець підмосковного футболу. Починав займатися в місцевій огудневській фізкультурно-спортивній школі «Селена», потім у школах щолковського«Спартака» і фрязінського «Олімпу». Після цього перебрався в училище олімпійського резерву «Майстер-Сатурн», що знаходиться в Єгор'євську. Там займався під керівництвом Сергія Кіщенка[1]. Виступав за юнацьку команду «Сатурна».
Провівши в раменському клубі два з половиною роки, 2012 року Баринов перейшов до Академії московського «Локомотива», де потрапив до команди 1996-го року народження, яку тренував Микола Ульянов[1]. З початку 2013 року Сергій Полстянов почав залучати юного півзахисника до тренувань молодіжного складу «залізничників». 19 квітня Баринов дебютував у молодіжній першості, на 74-й хвилині гостьового матчу з «Кубанню» (1:1) вийшов на поле замість Микити Саламатова[2].
16 травня 2015 року він дебютував за першу команду «Локомотива» у матчі проти казанського «Рубіну» (3:0) в російській Прем'єр-лізі[3]. У сезоні 2016/17 він виграв з командою Кубок Росії, а наступного року і чемпіонат Росії[4][5].
22 травня 2019 року в фінальній грі Кубка Росії проти «Уралу» (1:0) Дмитро Баринов, який став автором єдиного гола і приніс своїй команді трофей, був визнаний найкращим гравцем матчу[6]. 9 липня 2019 року Баринов продовжив контракт із «залізничниками» на чотири роки. 18 вересня 2019 року забив свій дебютний гол за «Локомотив» у єврокубках, відзначившись у ворота німецького «Баєра 04» (2:1), в рамках групового етапу Ліги чемпіонів 2019/20.
Виступи за збірні
2013 року дебютував у складі юнацької збірної Росії (U-17), складеної з гравців 1996-го року, у товариських матчах. У п'яти проведених поєдинках зумів відзначитися один раз[7]. В офіційних зустрічах під егідою УЄФА вперше зіграв на стадії елітного відбіркового раунду на Євро-2013. Першу гру зі словенцями провів з першої до останньої хвилини. І саме забитий ним на 37-й хвилині м'яч, після якого рахунок став 2:1, приніс першу перемогу збірній[8]. У наступних матчах Росія обіграла збірну Англії і поступилася Португалії. В обох поєдинках Дмитро провів по 69 хвилин, обидва рази поступаючись місцем на полі Олександру Головіну. Незважаючи на поразку в останній грі, збірна Росії кваліфікувалась на юнацький чемпіонат Європи в Словаччині[9]. У фінальному турнірі Баринов взяв участь у всіх іграх, крім однієї. Він не зіграв у стартовій грі проти збірної України. Півфінальна зустріч зі збірною Швеції завершилася нульовою нічиєю. У серії післяматчевих пенальті, яка завершилася з рахунком 10:9 на користь росіян, Баринов свій удар реалізував[10]. Фінальна зустріч з Італією також завершилася «сухою» нічиєю, а в серії пенальті російська збірна здобула гору 5:4 і стала чемпіоном Європи[11].
Пізніше він представляв юнацьку збірну Росії до 19 років на юнацькому чемпіонаті Європи 2015 року в Греції, де Росія посіла друге місце, а Баринов забив один гол у матчі групового етапу проти Іспанії (3:1). Загалом на юнацькому рівні взяв участь у 22 іграх, відзначившись 2 забитими голами.
Протягом 2015–2017 років залучався до складу молодіжної збірної Росії. На молодіжному рівні зіграв у 14 офіційних матчах, забив 2 голи.