Аналіз функцій дійсної змінної — галузь математичного аналізу, що вивчає дійсні числа і функції дійсних змінних і дійсних значень. Зокрема, вона займається аналітичними властивостями дійсних функцій і послідовностей, а також досліджує збіжність і границі послідовностей дійсних чисел, численням дійсних чисел, і поняттями неперервності, гладкості і іншими пов'язаними властивостями функції дійсних значень.

Теореми із галузі аналізу функцій дійсної змінної покладаються безпосередньо на визначення структури ряду дійсних чисел. Система дійсних чисел складається із множини (${\displaystyle \mathbb {R} }$), а також включає дві операції (+ і •) і впорядкування (<), і, формально кажучи, є впорядкованою четвіркою, що складається із цих об'єктів: ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\bullet ,<)}$. Існує декілька способів формалізації поняття системи дійсних чисел. Синтетичний підхід визначає список аксіом для дійсних чисел, що є повним^[en] впорядкованим полем. Зокрема, властивість повноти відрізняє дійсні числа від інших впорядкованих полів (наприклад, від раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) і є критично важливим для доведення декількох основних властивостей функцій дійсних значень. Повнота дійсних чисел часто виражається як властивість існування точної верхньої (нижньої) межі^[en] (vide infra).

Дійсні числа мають декілька важливих властивостей, що стосуються впорядкованих ґраток, які не властиві комплексним числам. Найбільш важливою властивістю, є те що дійсні числа утворюють впорядковане поле, в якому операції додавання і множення зберігають позитивність. Крім того, дійсні числа це лінійно впорядкована множина, в вони мають точну верхню (нижню) межі^[en]:

Кожна не пуста підмножина множини ${\displaystyle \mathbb {R} }$ що має верхню межу, має найменшу верхню межу, що також є дійсним числом.

Ці теоретичні властивості впорядкування дозволяють отримати ряд важливих результатів, такі як теорема Леві про монотонну збіжність, Теорема Больцано — Коші і Теорема Лагранжа.

Однак, хоча результати даного аналізу отримані для області дійсних чисел, багато з них можна застосувати і для інших математичних об'єктів. Зокрема, багато ідей в функціонального аналізу і теорії операторів узагальнюють властивості дійсних чисел.

Послідовність це функція областю якої є злічена, повністю впорядкована множина, що зазвичай задається натуральними або цілими числами.^[1] Іноді зручно розглядати двонаправлені послідовності, що індексуються цілими числами, включаючи негативні індекси.

Областю інтересу аналізу функцій дійсних змінних є послідовність дійсних значень, індексована в даному випадку натуральними числами, що є мапою ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\ n\mapsto a_{n}}$. Кожний ${\displaystyle a(n)=a_{n}}$ називають термом (або, рідше елементом) послідовності. Послідовність рідко позначається явним чином як функція; замість того, загальноприйнятим майже завжди є, позначати її як впорядкований ∞-кортеж, із указанням окремих термів або загального терму вказаного у дужках:

${\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )}$.^[2]

Послідовність яка збігається до деякої границі (i.e., ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ exists) називається збіжною; в протилежному випадку, вона називається розбіжною. Послідовність дійсних значень ${\displaystyle (a_{n})}$ буде обмеженою яке існує ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ таке, що ${\displaystyle |a_{n}|<M}$ для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Послідовність дійсних значень ${\displaystyle (a_{n})}$ буде монотонно зростати або зменшуватися якщо

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots }$ або ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \ldots }$

будуть здійснюватися, відповідно. Якщо виконується одна із зазначених умов, послідовність називається монотонною.

Границя — це значення, до якого "наближається" функція або послідовність, коли вхідне значення або індекс наближається деякого значення.^[3] Ліміти є важливим поняттям числення (і математичного аналізу загалом) і використовувалися для визначення неперервності функцій, похідної, і інтеграла. По суті, числення початково визначалося як наука, що вивчає границі і граничні процеси.

Поняття границі вперше запропонував Коші, а більш строгим його зробили Бернард Больцано і Карл Веєрштрас. Це поняття дозволило вивчати числення Ньютона і Лейбніца у більш логічний послідовний спосіб, і в кінцевому рахунку дало початок існування математичного аналізу як дисципліни. Сучасне ε-δ визначення границі функції дійсної змінної приведене нижче.

Визначення. Нехай ${\displaystyle f}$ є функцією дійсних значень визначеною для області ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$. Будемо говорити, що ${\displaystyle f(x)}$ наближається до ${\displaystyle L}$ при ${\displaystyle x}$ що прямує до ${\displaystyle x_{0}}$, або що границею функції ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle x}$, що прямує до ${\displaystyle x_{0}}$ є ${\displaystyle L}$ якщо, для будь-якого ${\displaystyle \epsilon >0}$, існує таке ${\displaystyle \delta >0}$, що для всіх ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$ буде здійснюватися ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$. Запишемо це символічно у вигляді

${\displaystyle f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0}}$, або ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$.

В більш інтуїтивно зрозумілому вигляді, це визначення можна представити наступним чином: Скажемо що ${\displaystyle f(x)\to L}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, тоді ми завжди можемо знайти таке додатне число ${\displaystyle \delta }$, що при будь-якому даному додатному числі ${\displaystyle \epsilon }$ (не важливо наскільки малим воно є), ми можемо бути впевнені, що ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle L}$ є меншими за ${\displaystyle \epsilon }$, доки ${\displaystyle x}$ (в області функції ${\displaystyle f}$) є дійсним числом що менше ніж ${\displaystyle \delta }$ що далі від ${\displaystyle x_{0}}$ але є відмінною від ${\displaystyle x_{0}}$. Метою останньої умови, що відповідає виконанню умови ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|}$ у даному визначенні, є гарантування того, що ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$ ніяк не зв'язано із самим значенням ${\displaystyle f(x_{0})}$. Насправді, ${\displaystyle x_{0}}$ не обов'язково повинно бути в області значень ${\displaystyle f}$ для того, щоб границя ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ існувала.

Поняття границі також тісно зв'язане із поведінкою послідовностей ${\displaystyle (a_{n})}$ при ${\displaystyle n}$ що стає нескінченно великим.

Визначення. Нехай ${\displaystyle (a_{n})}$ є послідовністю дійсних значень. Будемо говорити, що ${\displaystyle (a_{n})}$ збігається до ${\displaystyle a}$ якщо, для будь-якого ${\displaystyle \epsilon >0}$, існує натуральне число ${\displaystyle N}$ таке що ${\displaystyle n\geq N}$ при якому виконується ${\displaystyle |a-a_{n}|<\epsilon }$. Запишемо це у символьній формі наступним чином

${\displaystyle a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty }$, або ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$;

Якщо ${\displaystyle (a_{n})}$ не збігається, говорять, що послідовність ${\displaystyle (a_{n})}$ є розбіжною.

Функція, що є перетворенням змінних із множини дійсних чисел у дійсні числа може бути представлена у вигляді графіку у Декартовій площині; така функція буде неперервною якщо, грубо кажучи, її графік буде суцільною не розірваною кривою без "розривів" чи ділянок, направлених у нескінченність.

Існує декілька представлень, що роблять це припущення математично точним. Можна привести декілька різних визначень із різного рівня узагальнення. У випадку коли можливо застосувати два або більше визначень, можна показати що вони є еквівалентними одне одному, тому для визначення неперервна функція чи ні можна використовувати будь-яке з них, яке зручніше. У першому визначенні, що приведене нижче, ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ є функцією, що визначена у невиродженому інтервалі ${\displaystyle I}$ із множини дійсних чисел що є її областю визначення. Однією із можливих ситуацій є ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$, що є всією множиною дійсних чисел, відкритий інтервал ${\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\},}$ або закритий інтервал ${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.}$ Тут, ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ є відмінними дійсними числами, а випадки із пустим ${\displaystyle I}$ або такою, що складається із однієї точки, виключається.

Визначення. Якщо ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ - невироджений інтервал, говоримо що ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ є неперервною для ${\displaystyle p\in E}$ якщо ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$. ${\displaystyle f}$ називають неперервним відображенням якщо ${\displaystyle f}$ є неперервною для кожної ${\displaystyle p\in I}$.

На відміну від вимоги існування границі в точці ${\displaystyle p}$ для функції for ${\displaystyle f}$, яка ніяк не обмежує поведінку ${\displaystyle f}$ в самій точці ${\displaystyle p}$, окрім існування ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$, повинні здійснюватися наступні дві умови, для того, щоб ${\displaystyle f}$ була неперервною в ${\displaystyle p}$: (i) ${\displaystyle f}$ повинна бути визначена в точці ${\displaystyle p}$, тобто, ${\displaystyle p}$ це точка в області визначення функції ${\displaystyle f}$; і (ii) ${\displaystyle f(x)\to f(p)}$ при ${\displaystyle x\to p}$. Приведене визначення насправді застосовується для будь-якої області ${\displaystyle E}$, яка не містить ізольованої точки.

Дана (нескінченна) послідовність ${\displaystyle (a_{n})}$, ми можемо визначити асоціативний ряд як формальний математичний об'єкт ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$, що іноді записують простіше у вигляді ${\textstyle \sum a_{n}}$. Часткові суми ряду ${\textstyle \sum a_{n}}$ є числами, що задаються як ${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$. Говорять, що ряд ${\textstyle \sum a_{n}}$ є збіжним якщо послідовність, що складається із його часткових сум, ${\displaystyle (s_{n})}$, є збіжною; в іншому випадку ряд є розбіжним. Сума збіжних рядів задається у вигляді ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$.

Варто підкреслити, що слово "сума", що використовується тут варто розуміти в метафоричному сенсі як поняття границі послідовності часткових сум і не повинно інтерпретуватися як просто "додавання" нескінченного числа елементів. Наприклад, на відміну від поведінки скінченних сум, перевпорядкування елементів в нескінченній сумі може привести до того, що результат збіжності буде різним (більш детально це розглядає теорема Рімана про умовно збіжний ряд).

Прикладом збіжних рядів є геометричні ряди, які є основою для одно із відомого парадоксу Зенона:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1}$.

На відміну від того, гармонічний ряд був відомий із часів середньовіча і є розбіжним рядом:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty }$.

(Тут, "${\displaystyle =\infty }$" є прийнятим позначенням, що вказує на те що часткові суми ряду збільшуються без обмеження.)

Говорять, що ряд ${\textstyle \sum a_{n}}$ є абсолютно збіжним, якщо збіжною є сума ${\textstyle \sum |a_{n}|}$.

Ряд Тейлора функції ƒ(x) дійсних або комплексних значень, що є неперервно-диференційованою функцією для дійсного або комплексного числа a є степеневим рядом

який можна записати в більш компактній сигма нотації наступним чином:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

де n! означає факторіал по n і ƒ ⁽ⁿ⁾(a) позначає n-у похідну функції ƒ розраховану в точці a. Похідна нульового порядку для ƒ позначається як сама функція ƒ і (x − a)⁰ та 0! обидва визначені як так, що дорівнюють 1. У випадку коли a = 0, також називається рядом Маклорена.

Ряд Фур'є дозволяє розкласти періодичні функції або періодичні сигналу у суму (можливо нескінченну), що складається із набору простих періодичних функцій, зокрема функцій синусу і косинусу (або комплексних компонент). Вивчення рядів Фур'є є задачею аналізу Фур'є.

За формальним визначенням, похідною функції f в точці a є границя

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

Якщо похідна існує по всій області визначення функції, така функція є диференційованою. Повторивши процес декілька разів, можна отримати похідні вищих порядків.

Функції можна класифікувати за їхнім класом диференціювання. Клас C⁰ містить усі неперервні функції. Клас C¹ складається з усіх диференційованих функцій, які мають неперервну похідну; такі функції називають неперервно диференційованими.

• Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergradutate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998). Principles of real analysis (вид. 3rd). Academic. ISBN 0-12-050257-7.
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). Introduction to Real Analysis (вид. 4th). New York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Bressoud, David (2007). A Radical Approach to Real Analysis. MAA. ISBN 0-88385-747-2.
• Browder, Andrew (1996). Mathematical Analysis: An Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Carothers, Neal L. (2000). Real Analysis (PDF). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521497565.
• Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introductory Real Analysis. Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1975). Introductory Real Analysis. Translated by Richard A. Silverman. Dover Publications. ISBN 0486612260. Процитовано 2 квітня 2013.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (PDF). Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (вид. 3rd). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (PDF) (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Spivak, Michael (1994). Calculus (вид. 3rd). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN 091409890X.

• How We Got From There to Here: A Story of Real Analysis [Архівовано 22 лютого 2019 у Wayback Machine.] by Robert Rogers and Eugene Boman
• A First Course in Analysis [Архівовано 28 червня 2021 у Wayback Machine.] by Donald Yau
• Analysis WebNotes [Архівовано 20 лютого 2022 у Wayback Machine.] by John Lindsay Orr
• Interactive Real Analysis [Архівовано 8 лютого 2018 у Wayback Machine.] by Bert G. Wachsmuth
• A First Analysis Course [Архівовано 27 вересня 2007 у Wayback Machine.] by John O'Connor
• Mathematical Analysis I [Архівовано 13 вересня 2008 у Wayback Machine.] by Elias Zakon
• Mathematical Analysis II [Архівовано 22 грудня 2017 у Wayback Machine.] by Elias Zakon
• Trench, William F. (2003). Introduction to Real Analysis (PDF). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-045786-8. Архів оригіналу (PDF) за 13 жовтня 2017. Процитовано 4 січня 2018.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis [Архівовано 11 травня 2010 у Wayback Machine.]
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis [Архівовано 25 вересня 2012 у Wayback Machine.] by Jiri Lebl
• Topics in Real and Functional Analysis [Архівовано 10 вересня 2018 у Wayback Machine.] by Gerald Teschl, University of Vienna.