Піссуті почав свої виступи в молодіжному складі клубу «Банфілд» у 1941 році. У 1946 році Піссуті дебютував у першій команді клубу у грі проти «Росаріо Сентраль», в якій «Банфілд» переміг 4:2, а Піссуті забив один з м'ячів. Піссуті виступав за Банфілд протягом чотирьох років, а у 1949 році став найкращим снайпером чемпіонату Аргентини.
У 1951 році Піссуті перейшов в «Рівер Плейт», в команду, в якій виблискували Анхель Лабруна і Фелікс Лоустау. Піссуті виходив разом з ними на поле, але свого рівня гри не показував, забивши лише 9 м'ячів. Також у Піссуті були проблеми поза футбольного поля, які лише сприяли його невпевненій грі в футболці «Рівера». Так і не вписавшись у гру Рівера, Піссуті після закінчення сезону перейшов в «Расинг» (Авельянеда). В «Расингу» справи Піссуті були ще гірші, він часто залишався на лаві запасних, а коли виходив на поле не показував високого класу гри. Лише 1954 року Піссуті завоював місце в основі команди, але довго в «Расингу» не затримався, Піссуті запропонувала контракт «Бока Хуніорс».
У 1955 році Піссуті перейшов в «Боку» і став гравцем основного складу, але не прижився в команді і вже через рік повернувся в «Расинг». Тут Піссуті знову заграв, допоміг «Расингу» двічі виграти аргентинську першість, а в 1955 році з 22 м'ячами Піссуті став найкращим, а в 1958 з 15-ма і 1961 з 18-ма другим снайпером чемпіонату.
Завершив професійну ігрову кар'єру у клубі «Бока Хуніорс», з якою втретє виграв Чемпіонат Аргентини. До складу команди, де вже виступав раніше, Піссуті прийшов 1962 року і захищав її кольори до припинення виступів на професійному рівні у 1963 році.
Після закінчення кар'єри футболіста, Піссуті став тренером, очоливши у вересні 1965 році «Расинг», який був в зоні вильоту з аргентинської Прімери. У своїй дебютній грі на тренерському містку Піссуті здолав «Рівер Плейт» з рахунком 3:1. 1966 рік став одним з найуспішніших для «Расинга» в історії клубу, вперше команда завоювала Міжконтинентальний Кубок, перемігши до цього в Чемпіонаті і Кубку Лібертадорес. Піссуті керував «Расингом» до 1969 року, в кінці якого йому запропонували посаду наставника збірної Аргентини. Після відставки в 1972 році, Піссуті очолював клуби «Нуева Чикаго» і «Індепендьєнте Медельїн», а також повертався «Расинг», головним тренером команди якого Хуан Хосе Піссуті був протягом 1983 року, але без особливого успіху.