Математичний аналіз → Комплексний аналіз
Комплексний аналіз
Комплексне число
Дійсне число Уявне число Комплексна площина Спряжені числа
Комплексні функції
Комплекснозначна функція Аналітична функція Голоморфна функція Умови Коші — Рімана Формальний степеневий ряд
Основна теорія
Інтегральна теорема Коші Інтегральна формула Коші Індекс замкнутої кривої Ряд Лорана Ізольована особлива точка Теорема про лишки Конформне відображення Лема Шварца Гармонічна функція Рівняння Лапласа
Люди
Оґюстен-Луї Коші Леонард Ейлер Карл Фрідріх Гаусс Жак Соломон Адамар Бернгард Ріман Карл Веєрштрас
п о р

Умови Коші—Рімана, або умови Д'Аламбера—Ейлера — умови на дійсну ${\displaystyle u=u(x,y)}$ та уявну ${\displaystyle v=v(x,y)}$ частини функції комплексної змінної ${\displaystyle w=f(z)=u+{\rm {i}}v}$, ${\displaystyle z=x+{\rm {i}}y}$, що забезпечують нескінченну безперервну диференційовність ${\displaystyle f(z)}$ як функції комплексної змінної.

Математичний аналіз → Комплексний аналіз
Комплексний аналіз
Комплексне число
Дійсне число Уявне число Комплексна площина Спряжені числа
Комплексні функції
Комплекснозначна функція Аналітична функція Голоморфна функція Умови Коші — Рімана Формальний степеневий ряд
Основна теорія
Інтегральна теорема Коші Інтегральна формула Коші Індекс замкнутої кривої Ряд Лорана Ізольована особлива точка Теорема про лишки Конформне відображення Лема Шварца Гармонічна функція Рівняння Лапласа
Люди
Оґюстен-Луї Коші Леонард Ейлер Карл Фрідріх Гаусс Жак Соломон Адамар Бернгард Ріман Карл Веєрштрас
п о р

Умови Коші—Рімана для пари дійснозначних функцій двох дійсних змінних ${\displaystyle u(x,y)}$ і ${\displaystyle v(x,y)}$ є двома рівняннями:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},}$

(1a)

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

(1b)

Як правило ${\displaystyle u}$ та ${\displaystyle v}$ вважаються відповідно дійсною та уявною частинами комплекснозначної функції однієї комплексної змінної ${\displaystyle z=x+{\rm {i}}y}$,

${\displaystyle f(x+{\rm {i}}y)=u(x,y)+v(x,y).}$

Нехай функції ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ є дійснозначними диференційованими в точці відкритої підмножини комплексної площини ${\displaystyle \mathbb {C} }$, які можна розглядати як функції з ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{2}}}$ в ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$. З цього випливає, що частинні похідні від функцій ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ існують (хоча вони не обов'язково повинні бути неперервними), а тому можемо лінійно апроксимувати малі варіації функції ${\displaystyle f}$. Тоді ${\displaystyle f=u+{\rm {i}}v}$ є комплексно-диференційованою у цій точці тоді й лише тоді, коли частинні похідні функцій ${\displaystyle u}$ та ${\displaystyle v}$ задовольняють рівняння Коші—Рімана (1a) та (1b) у цій точці. Тут існування частинних похідних, які задовольняють рівнянням Коші—Рімана, не забезпечує комплексної диференційовності: функції ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ повинні бути дійсними диференційованими, що є більш сильною умовою, ніж існування частинних похідних, але загалом слабшою за неперервну диференційованість.

Голоморфність — це властивість комплексної функції бути диференційованою в кожній точці відкритої та зв'язаної підмножини комплексної площини ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (це називається областю^[en] в ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Отже, можна стверджувати, що комплексна функція ${\displaystyle f}$, дійсні та уявні частини якої відповідно ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ є дійсними диференційованими функціями, є голоморфною тоді й лише тоді, коли рівняння (1a) і (1b) задовольняються на всій заданій областю^[en]. Голоморфні функції є аналітичними^[en] і навпаки. Це означає, що в комплексному аналізі, функція, яка комплексно диференційована на всій області (голоморфна), співпадає з аналітичною функцією. Це не вірно для дійсних диференційованих функцій.

Для того, щоб функція ${\displaystyle w=f(z)}$, визначена в деякій області ${\displaystyle D}$ комплексної площини, була диференційовна в точці ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+{\rm {i}}y_{0}}$ як функція комплексної змінної ${\displaystyle z}$, необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ були диференційовними в точці ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ як функції дійсних змінних ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші—Рімана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$;

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }}}$;

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.}$

Якщо умови Коші—Рімана виконані, то похідна ${\displaystyle f'(z)}$ може бути подана в будь-якій з наступних форм:

${\displaystyle f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-{\rm {i}}{\frac {\partial u}{\partial y}}.}$

• Виконання умов Коші—Рімана, на відкритій підмножині ${\displaystyle \mathbb {C} }$ є необхідними умовами аналітичності функції.
• Якщо, крім того, часткові похідні неперервні, то функція є аналітичною.

Нехай ${\displaystyle z=x+{\rm {i}}y}$. Комплекснозначна функція ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ є диференційованою в будь-якій точці ${\displaystyle z}$ комплексної площини,

${\displaystyle f(z)=(x+{\rm {i}}y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\rm {i}}xy.}$

Дійсна частина ${\displaystyle u(x,y)}$ і уявна частина ${\displaystyle v(x,y)}$ мають вигляд

${\displaystyle u(x,y)=x^{2}-y^{2}}$,

${\displaystyle v(x,y)=2xy}$.

А їх частинні похідні:

${\displaystyle u_{x}=2x,\quad u_{y}=-2y,\quad v_{x}=2y,\quad v_{y}=2x.}$

Ці частинні похідні співвідносяться таким чином:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$.

Дійсно функції ${\displaystyle u(x,y)}$ та ${\displaystyle v(x,y)}$ задовольняють умови Коші—Рімана: ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$ і ${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$.

У комплексному аналізі умови Коші—Рімана, які названі на честь Оґюстена Коші та Бернгарда Рімана, складаються із системи^[en] двох диференціальних рівнянь з частинними похідними, які разом із певними критеріями неперервності та диференційовності утворюють необхідну та достатню умову голоморфності (комплексно диференційованості) комплекснозначної функції. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризькій академії наук в 1814 р. Ця система рівнянь вперше з'явилася в роботі Жана Лерона д'Аламбера.^[1]. Пізніше Леонард Ейлер пов'язав цю систему з аналітичними функціями.^[2] Потім Коші ^[3] використав ці рівняння для побудови своєї теорії функцій. У 1851 році з'явилася дисертація Рімана з теорії функцій.^[4]

Умови Коші—Рімана є одним із способів поглянути на умову диференційності функції в сенсі комплексного аналізу: іншими словами, вони включають в себе поняття функції комплексної змінної за допомогою звичайного диференціального числення. У теорії існує декілька інших основних підходів до цього поняття, і часто необхідно інтерпретувати умови іншою мовою.

Більше інформації: Конформне відображення

По-перше, умови Коші—Рімана можна записати у комплексній формі

${\displaystyle {\rm {i}}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

(2)

У цій формі рівняння структурно відповідають умові, що матриця Якобі має вигляд

${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}}\right),}$

де ${\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}$ та ${\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}$. Матриця такого вигляду є матричним представленням комплексного числа. Геометрично така матриця завжди є композицією обертання і масштабування і, зокрема, зберігає кути. Якобіан функції ${\displaystyle f(z)}$ бере нескінченно малі відрізки на перетині двох кривих у точці ${\displaystyle z}$ і повертає їх до відповідних відрізків у точці ${\displaystyle f(z)}$. Отже, функція, що задовольняє умови Коші—Рімана, з ненульовою похідною, зберігає кут між кривими на площині. Тобто умови Коші—Рімана є умовою конформності функції.

Більше того, оскільки композиція конформного перетворення з іншим конформним перетворенням також є конформним перетворенням, то конформне відображення переводить розв'язки рівнянь Коші—Рімана у розв'язки цих же рівнянь. Таким чином, рівняння Коші—Рімана є конформно інваріантними.

Нехай

${\displaystyle f(z)=u(z)+{\rm {i}}\cdot v(z)}$

є функцією комплексної змінної ${\displaystyle z=x+{\rm {i}}y}$. Тоді комплексна похідна від функції ${\displaystyle f}$ у точці ${\displaystyle z_{0}}$ визначається як

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})}$

за умови існування цієї границі.

Якщо ця границя існує, то її можна обчислити, взявши границю при ${\displaystyle h\to 0}$ вздовж дійсної або уявної осі; в обох випадках це повинно дати однаковий результат. Прямуючи вздовж дійсної осі, отримаємо

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).}$

З іншого боку, прямуючи уздовж уявної осі,

${\displaystyle \lim _{\underset {\eta \in \mathbb {R} }{\eta \to 0}}{\frac {f(z_{0}+{\rm {i}}\eta )-f(z_{0})}{i\eta }}={\frac {1}{\rm {i}}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).}$

Із рівності похідних функції ${\displaystyle f}$ вздовж двох осей отримаємо

${\displaystyle {\rm {i}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}),}$

які є рівняннями Коші—Рімана (2) у точці ${\displaystyle z_{0}}$.

І навпаки, якщо ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ є функцією, яка диференційована, якщо розглядати її як функцію на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, то вона є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконуються умови Коші—Рімана. Іншими словами, якщо ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ є дійснозначними диференційованими функціями двох дійсних змінних, тоді очевидно ${\displaystyle u+{\rm {i}}v}$ є (комплекснозначною) дійснозначною диференційованою функцією, але ${\displaystyle u+{\rm {i}}v}$ є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконується умови Коші—Рімана.

Справді, слідуючи Рудіну,^[5] нехай ${\displaystyle f}$ — комплексна функція, що визначена на відкритій множині ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$. Тоді, записавши ${\displaystyle z=x+{\rm {i}}y}$ для кожного ${\displaystyle z\in \Omega }$, можна розглядати ${\displaystyle \Omega }$ як відкриту підмножину ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, і ${\displaystyle f}$ як функцію двох дійсних змінних ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$, яка відображає ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ у ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Розглянемо умови Коші—Рімана у точці ${\displaystyle z=z_{0}}$. Нехай функція ${\displaystyle f}$ є диференційованою у точці ${\displaystyle z_{0}}$ як функція двох дійсних змінних з ${\displaystyle \Omega }$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Це еквівалентно існуванню наступного лінійного наближення

${\displaystyle f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\eta (\Delta z)\Delta z,}$

де ${\displaystyle z=x+{\rm {i}}y}$ та ${\displaystyle \eta (\Delta z)\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle \Delta z\rightarrow 0}$. Оскільки ${\displaystyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\Delta x}$ і ${\displaystyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2{\rm {i}}\Delta y}$, то вищезазначене можна переписати як

${\displaystyle \Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-{\rm {i}}f_{y}}{2}}\Delta z+{\frac {f_{x}+{\rm {i}}f_{y}}{2}}\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\Delta z.}$

Визначаючи дві похідні Віртінгера^[en] як

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$

при ${\displaystyle \Delta z\to 0}$, ${\displaystyle \Delta {\bar {z}}\to 0}$ рівність написану вище можна записати як

${\displaystyle \left.{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}\right|_{z=z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|_{z=z_{0}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\right|_{z=z_{0}}\cdot {\frac {{\rm {d}}{\bar {z}}}{{\rm {d}}z}}+\eta (\Delta z),\quad \Delta z\neq 0.}$

Тепер розглянемо потенційні значення ${\displaystyle {\rm {d}}{\bar {z}}/{\rm {d}}z}$, коли границя обчислюється в початку координат. Для ${\displaystyle z}$ вздовж дійсної осі маємо, що ${\displaystyle {\bar {z}}=z}$, а тому ${\displaystyle {\rm {d}}{\bar {z}}/{\rm {d}}z=1}$. Аналогічно для чисто уявного ${\displaystyle z}$ маємо, що ${\displaystyle {\rm {d}}{\bar {z}}/{\rm {d}}z=-1}$, а тому значення ${\displaystyle {\rm {d}}{\bar {z}}/{\rm {d}}z}$ не добре визначеним в початку координат. Легко перевірити, що ${\displaystyle {\rm {d}}{\bar {z}}/{\rm {d}}z}$ не є добре визначеним при будь-якому значенні ${\displaystyle z}$. Звідси функція ${\displaystyle f}$ є комплексно диференційованою в точці ${\displaystyle z_{0}}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \left(\partial f/\partial {\bar {z}}\right)=0}$ у точці ${\displaystyle z=z_{0}}$. Але це в точності є умовами Коші—Рімана, а тому функція ${\displaystyle f}$ диференційована в точці ${\displaystyle z_{0}}$ тоді й лише тоді, коли в точці ${\displaystyle z_{0}}$ виконуються умови Коші—Рімана.

Наведене вище доведення пропонує іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана. Комплексно спряжене для числа ${\displaystyle z}$, позначається як ${\displaystyle {\bar {z}}}$, визначається як

${\displaystyle {\overline {x+{\rm {i}}y}}:=x-{\rm {i}}y}$

для дійсних ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$. Умови Коші—Рімана тоді можна записати як одне рівняння

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

(3)

використовуючи похідну Віртінгера відносно спряженої змінної^[en]. У цій формі умови Коші—Рімана можна інтерпретувати як твердження, що функція ${\displaystyle f}$ є незалежною від змінної ${\displaystyle {\bar {z}}}$. Таким чином, можна розглядати аналітичні функції як істинні функції однієї комплексної змінної, а не комплексні функції двох дійсних змінних.

Стандартна фізична інтерпретація умов Коші—Рімана, що бере свій початок з роботи Рімана по теорії функцій,^[6] полягає в тому, що функція ${\displaystyle u}$ є потенціалом швидкості^[en] нестисної стаціонарної течії рідини на площині, а ${\displaystyle v}$ — функція току^[en]. Нехай пара (двічі неперервно диференційованих) функцій ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ задовольняє умови Коші—Рімана. Розглянемо функцію ${\displaystyle u}$ як потенціал швидкості, це означає, що уявляємо течію рідини на площині так, що вектор швидкості рідини в кожній точці цієї площини дорівнює градієнту функції ${\displaystyle u}$, визначеному як

${\displaystyle \nabla u={\frac {\partial u}{\partial x}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\boldsymbol {j}}.}$

Диференціюючи умови Коші—Рімана вдруге, можна побачити, що функція ${\displaystyle u}$ є розв'язком рівняння Лапласа:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

Тобто ${\displaystyle u}$ — гармонічна функція. Це означає, що дивергенція градієнта дорівнює нулю, а отже, рідина нестисна.

З аналогічних міркувань функція ${\displaystyle v}$ також задовольняє рівняння Лапласа. Крім того, з умов Коші—Рімана випливає, що скалярний добуток градієнтів функцій ${\displaystyle u}$ та ${\displaystyle v}$ дорівнює нулю, тобто ${\displaystyle \nabla u\cdot \nabla v=0}$. Це означає, що градієнт функції ${\displaystyle u}$ має вказувати на криві ${\displaystyle v={\text{const}}}$; отже, це лінії току течії. Криві ${\displaystyle u={\text{const}}}$ є еквіпотенціальними кривими течії.

Отже, голоморфну функцію можна візуалізувати, побудувавши графік двох сімейств кривих рівнів ${\displaystyle u={\text{const}}}$ і ${\displaystyle v={\text{const}}}$. Поблизу точок, де градієнт функції ${\displaystyle u}$ (або, еквівалентно, функції ${\displaystyle v}$) не дорівнює нулю, ці сім'ї утворюють ортогональне сімейство кривих. У точках, де ${\displaystyle \nabla u=0}$ (стаціонарні точки течії), еквіпотенціальні криві для ${\displaystyle u={\text{const}}}$ перетинаються. Лінії току також перетинаються в цій самій точці, ділячи навпіл кути, що утворені еквіпотенціальними кривими.

Іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана можна знайти в книзі Поя та Сего.^[7]. Нехай функції ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ задовольняють умови Коші—Рімана у відкритій підмножині ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, розглянемо векторне поле

${\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}},}$

яке трактується як (дійсний) двокомпонентний вектор. Тоді друга умова Коші—Рімана (1b) стверджує, що вектор ${\displaystyle {\bar {f}}}$ є безвихровим (його ротор дорівнює 0):

${\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}$

Перша умова Коші—Рімана (1a) стверджує, що задане векторне поле є соленоїдним (його дивергенція дорівнює 0):

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}$

Відповідно до теореми Гріна та теореми Остроградського таке поле обов'язково є потенціальним, тобто у ньому немає джерел або поглиначів, і має нульовий чистий потік через будь-яку відкриту область без дірок. (Ці два спостереження поєднуються як дійсна та уявна частини в інтегральній теоремі Коші.) У гідродинаміці таке векторне поле є потенціальною течією^[en].^[8] У магнітостатиці такі векторні поля моделюють статичні магнітні поля в області площини, яка не містить струму. В електростатиці вони моделюють статичні електричні поля в області площини, яка не містить електричного заряду.

Цю інтерпретацію можна еквівалентно переформулювати на мові диференціальних форм. Пара функцій ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли 1-форма ${\displaystyle v\,{\rm {d}}x+u\,{\rm {d}}y}$ одночасно замкнена^[en] і козамкнена (гармонічна диференціальна форма).

Інше формулювання умов Коші—Рімана включає комплексну структуру^[en] на площині, яка задана матрицею

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.}$

Це комплексна структура в тому сенсі, що квадрат матриці ${\displaystyle J}$ є від'ємна одинична ${\displaystyle 2\times 2}$ матриця: ${\displaystyle J^{2}=-I}$. Як і вище, якщо ${\displaystyle u(x,y)}$, ${\displaystyle v(x,y)}$ — дві функції на площині, то покладемо

${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}}.}$

Матриця Якобі для функції ${\displaystyle f}$ — це матриця частинних похідних

${\displaystyle Df(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}&{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial x}}&{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\end{bmatrix}}.}$

Тоді пара функцій ${\displaystyle u}$ та ${\displaystyle v}$ задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle 2\times 2}$ матриця ${\displaystyle Df}$ комутує з матрицею ${\displaystyle J}$.^[9]

Ця інтерпретація корисна в симплектичній геометрії, де вона є початковою точкою для вивчення псевдоголоморфних кривих.

Інше представлення умов Коші—Рімана іноді виникають в інших системах координат. Якщо рівняння (1a) і (1b) виконуються для диференційованої пари функцій ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$, то

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}={\frac {\partial v}{\partial s}},\quad {\frac {\partial v}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}}}$

для будь-якої системи координат ${\displaystyle (n(x,y),s(x,y))}$ такої, що пара ${\displaystyle (\nabla n,\nabla s)}$ ортонормована^[en] і додатно орієнтована. Як наслідок, зокрема, у системі координат заданій полярним представленням ${\displaystyle z=r'{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }}$ рівняння набувають вигляду

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }},\quad {\frac {\partial v}{\partial r}}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}.}$

Об'єднавши їх в одне рівняння для функції ${\displaystyle f}$, отримуємо

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}={\frac {1}{{\rm {i}}r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.}$

Неоднорідні умови Коші—Рімана складаються з двох рівнянь для пари невідомих функцій ${\displaystyle u(x,y)}$ і ${\displaystyle v(x,y)}$ двох дійсних змінних

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}=\alpha (x,y),}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=\beta (x,y)}$

для деяких заданих функцій ${\displaystyle \alpha (x,y)}$ і ${\displaystyle \beta (x,y)}$, що визначені у відкритій підмножині в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Ці рівняння зазвичай об'єднують в одне рівняння

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}),}$

де ${\displaystyle f=u+{\rm {i}}v}$ і ${\displaystyle \varphi =(\alpha +{\rm {i}}\beta )/2}$.

Якщо функція ${\displaystyle \varphi }$ є неперервно диференціовною функцією порядку ${\displaystyle k}$ (гладкою функцією порядку ${\displaystyle k}$), то неоднорідне рівняння явно розв'язується в будь-якій обмеженій області ${\displaystyle D}$ за умови, що функція ${\displaystyle \varphi }$ є неперервною на замиканні області ${\displaystyle D}$. Дійсно, за інтегральною формулою Коші

${\displaystyle f\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\iint _{D}\varphi \left(z,{\bar {z}}\right)\,{\frac {{\rm {d}}z\wedge {\rm {d}}{\bar {z}}}{z-\zeta }}}$

для всіх ${\displaystyle \zeta \in D}$.

Дивись також: Теорема Коші—Гурса

Нехай ${\displaystyle f=u+{\rm {i}}v}$ — комплекснозначна функція, яка диференційована як функція ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$. Тоді теорема Гурса стверджує, що функція ${\displaystyle f}$ є аналітичною у відкритій комплексній області ${\displaystyle \Omega }$ тоді й лише тоді, коли вона задовольняє умови Коші —Рімана в області.^[10] Зокрема, не потрібно вимагати неперервну диференційованість функції ${\displaystyle f}$.^[11] Умови теореми Гурса можна значно послабити. Якщо функція ${\displaystyle f=u+{\rm {i}}v}$ є неперервною на відкритій множині частинні похідні від функції ${\displaystyle f}$ за змінними ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ існують на множині ${\displaystyle \Omega }$ і задовольняють умови Коші—Рімана на всій множині ${\displaystyle \Omega }$, то функція ${\displaystyle f}$ є голоморфною (і, отже, аналітичною). Це результат теореми Лумана—Меньшова.

Умова, що функція ${\displaystyle f}$ задовольняє умови Коші—Рімана на усій області ${\displaystyle \Omega }$, є суттєвою. Можна побудувати неперервну функцію, яка задовольняє умови Коші—Рімана в точці, але не є аналітичною в цій точці (наприклад, ${\displaystyle f(z)=z^{5}/|z|^{4})}$). Так само, крім умов Коші—Рімана, необхідні деякі додаткові припущення (наприклад, неперервність), як ілюструє наступний приклад^[12]

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right),&{\text{якщо}}\ z\not =0,\\0,&{\text{якщо}}\ z=0.\end{cases}}}$

Функція скрізь задовольняє умови Коші—Рімана, але не є неперервною у точці ${\displaystyle z=0}$.

Тим не менш, якщо функція задовольняє умови Коші—Рімана на відкритій множині в слабкому сенсі, то функція є аналітичною. Точніше:^[13]

Якщо функція ${\displaystyle f(z)}$ локально інтегрована на відкритій області ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ і слабо задовольняє умови Коші—Рімана, то функція ${\displaystyle f}$ майже скрізь співпадає з аналітичною функцією на області ${\displaystyle \Omega }$.

Фактично це частинний випадок більш загального результату про регулярність розв'язків гіпоеліптичних диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Існують належним чином узагальнені умови Коші—Рімана і в теорії функцій кількох комплексних змінних^[en]. Вони утворюють суттєво перевизначену систему^[en] диференціальних рівнянь з частинними похідними. Це робиться з використанням прямого узагальнення похідної Віртінгера^[en], де розглянута функція повинна мати (частинну) похідну Віртінгера відносно кожної комплексної змінної, яка дорівнює нулю.

Як зазвичай формулюють, d-bar оператор^[en] ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ анулює голоморфні функції. Це безпосередньо узагальнює формулювання

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

де

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right).}$

З точки зору спряжених гармонічних функцій^[en] умови Коші—Рімана є простим прикладом перетворення Беклунда. Більш складні, у загальному випадку нелінійні перетворення Беклунда, такі як рівняння синус-Ґордона, представляють значний інтерес у теорії солітонів та інтегрованих систем.

В алгебрі Кліффорда комплексне число ${\displaystyle z=x+{\rm {i}}y}$ представляється як ${\displaystyle z\equiv x+Iy}$, де ${\displaystyle I\equiv \sigma _{1}\sigma _{2}}$. Оператор фундаментальної похідної в алгебрі Кліффорда комплексних чисел визначається як ${\displaystyle \nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}}$. Функція ${\displaystyle f=u+Iv}$ вважається аналітичною тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \nabla f=0}$, або у розгорнутому вигляді:

${\displaystyle {\begin{aligned}0=\nabla f&=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1}\sigma _{2}v)\\&=\sigma _{1}\partial _{x}u+\underbrace {\sigma _{1}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=\sigma _{2}}\partial _{x}v+\sigma _{2}\partial _{y}u+\underbrace {\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=-\sigma _{1}}\partial _{y}v=0.\end{aligned}}}$

Після перегрупування отримаємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y}u)=0\ {\begin{cases}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0,\partial _{x}v+\partial _{y}u=0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Звідси, у традиційних позначеннях:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}},\\{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}.\end{cases}}}$

Нехай ${\displaystyle \Omega }$ — відкрита множина в евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Рівняння для відображення, що зберігає орієнтацію, ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ є конформним відображенням (тобто таке що зберігає кути), якщо

${\displaystyle Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I,}$

де ${\displaystyle Df}$ — матриця Якобі, ${\displaystyle Df^{\mathsf {T}}}$ — трансформована матриця Якобі, ${\displaystyle I}$ — одинична матриця.^[14] У випадку ${\displaystyle n=2}$ ця система еквівалентна стандартним умовам Коші—Рімана для комплексних змінних, а розв'язки цих умов є голоморфними функціями. У розмірності ${\displaystyle n>2}$ ці умови все ще іноді називають системою Коші—Рімана, і з теореми Ліувіля випливає, за відповідних припущень про гладкість, що будь-яке таке відображення є перетворенням Мебіуса.

• Голоморфна функція
• Теорема Лумана — Меньшова
• Теорема Морери

• Gray, J. D.; Morris, S. A. (April 1978). When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic?. The American Mathematical Monthly. 85 (4): 246—256. doi:10.2307/2321164. JSTOR 2321164.
• Looman, H. (1923). Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen. Göttinger Nachrichten (нім.): 97—108.
• Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis (вид. 3rd). McGraw Hill (опубліковано опубліковано 1987). ISBN 0-07-054234-1.

• Ahlfors, Lars (1953). Complex analysis (вид. 3rd). McGraw Hill (опубліковано опубліковано 1979). ISBN 0-07-000657-1.
• Solomentsev, E.D. (2001). Cauchy–Riemann conditions. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Stewart, Ian; Tall, David (1983). Complex Analysis (вид. 1st). CUP (опубліковано опубліковано 1984). ISBN 0-521-28763-4.

• Weisstein, Eric W. Cauchy–Riemann Equations(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews