Теорема Морери

У комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика Гіасінто Морери.

Твердження

Якщо функція $f(z)\,$ комплексного змінного $z\,$ у відкритій області $D\,$ неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру $\Gamma \subset D$ рівний нулю, тобто

\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0

то $f(z)\,$ — аналітична функція в $D\,$ .

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області $D\,$ .

Доведення

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції $f\,$ , після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область $D\,$ зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку $a\,$ в області $D\,$ , визначимо функцію $F\,$ в $D\,$ наступною формулою:

F(b)=\int _{a}^{b}f(z)\,dz.\,

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в $D\,$ від $a\,$ до $b\,$ . Функція $F\,$ є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від $a\,$ до $b\,$ . Звідси отримуємо, що $f\,$ є похідною $F\,$ :

F'(z)=f(z).\,

Зокрема $F\,$ є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно $f\,$ також є голоморфною і аналітичною.

Застосування

Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність $f_{n}\,$ аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції $f\,$ , то

\oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)dz=0

тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}

і гамма-функції

\Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt

Література

Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасієв П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577
Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284
Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372

Read other articles:

Rodan (film)

RodanPoster rilis teaterNama lainSora no Daikaijū Radon (空の大怪獣ラドンcode: ja is deprecated )SutradaraIshirō HondaProduserTomoyuki TanakaSkenarioTakeshi KimuraTakeo MurataCeritaKen KuronumaPemeranKenji SaharaYumi ShirakawaPenata musikAkira IfukubeSinematograferIsamu AshidaPenyuntingKôichi IwashitaRobert S. EisenPerusahaanproduksiTohoDistributorTohoTanggal rilis 26 Desember 1956 (1956-12-26) Durasi82 menitNegaraJepangBahasaBahasa JepangAnggaran¥200 juta[1&...

Fanny Kaplan

Fanya KaplanLahirFeiga Haimovna Roytblat(1890-02-10)10 Februari 1890Kegubernuran Volhynian, Kekaisaran Rusia (sekarang Ukraina)Meninggal3 September 1918(1918-09-03) (umur 28)Moskwa, RSFS Rusia Fanya Yefimovna Kaplan (Rusia: Фа́нни Ефи́мовна Капла́нcode: ru is deprecated ; nama sebenarnya Feiga Haimovna Roytblat, Фейга Хаимовна Ройтблат; 10 Februari 1890 – 3 September 1918) adalah seorang revolusioner Rusia yang berupaya untuk me...

Kiacret

Kiacret Klasifikasi ilmiah Domain: Eukaryota Kerajaan: Plantae Divisi: Magnoliophyta Kelas: Magnoliopsida Subkelas: Asteridae Ordo: Lamiales Famili: Bignoniaceae Genus: SpathodeaP.Beauv. Spesies: Spathodea campanulataP.Beauv. Pohon hujan (Spathodea campanulata, tidak sama dengan ki hujan atau trembesi) adalah pohon asal Afrika yang biasa ditanam sebagai pelindung di taman atau tepi jalan.[1][2] Karena kuncup bunganya yang mampu memuncratkan air, dalam bahasa Sunda ia dikenal ...

Arena Bender

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2022. Arena BenderThe American University's Washington College of Law Graduation Ceremony in Bender ArenaLokasi4400 Massachusetts Ave NWWashington, D.C., Amerika Serikat 20016Koordinat38°56′16″N 77°5′24″W / 38.93778°N 77.09000°W&#...

Halomoan Sipahutar

Ini adalah nama Batak Toba, marganya adalah Sipahutar. Halomoan Sipahutar Informasi pribadiLahir19 Juli 1959 (umur 64)Pematang Siantar, Sumatera UtaraSuami/istriNy. Linda Maria MartensAlma materAkademi Angkatan Laut (1982)Karier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan LautMasa dinas1982—2017Pangkat Laksamana Muda TNISatuanKorps Pelaut (Penerbang)Sunting kotak info • L • B Laksamana Muda TNI (Purn.) Halomoan Sipahutar, M.Sc (lahir 19 Juli 1959) adalah seo...

العلاقات البوسنية القيرغيزستانية

العلاقات البوسنية القيرغيزستانية البوسنة والهرسك قيرغيزستان البوسنة والهرسك قيرغيزستان تعديل مصدري - تعديل العلاقات البوسنية القيرغيزستانية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين البوسنة والهرسك وقيرغيزستان.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البل�...

Accord de libre-échange de l'Union européenne

Un accord de libre-échange de l'Union européenne est un traité de droit international bilatéral de type accord de libre-échange entre l'Union européenne d'une part et un État ou une organisation internationale tiers d'autre part. Cet accord permet la réalisation d'un espace de libre-échange sans droits de douane, ni restriction quantitative à l'importation.Carte de l'état des accords de libre-échange de l'UE : États membres de l'Union européenne Accord en vigueur Accord app...

ميل كوين

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2019) ميل كوين معلومات شخصية الميلاد 4 مارس 1918 الوفاة 4 أبريل 1982 (64 سنة) فورت سميث مواطنة الولايات المتحدة الحياة العملية المهنة لاعب كرة قاعدة ...

Komik setrip

Komik Balon ucapan Studi komik Pendidikan Sejarah Glosarium Metode Kartun Fumetti Format Media Buku komik Strip komik Kartun editorial Kartun lelucon Novel grafik Komik web Webtoon Komik menurut Negara dan Budaya Komik Amerika Komik Belanda Komik Belgia Komik Britania Raya Komik Indonesia Komik Italia Komik Jerman Komik Kanada Komik Prancis-Belgia Manga Manhua Manhwa Webtoon Komik Portugal Komik Spanyol Komunitas Komikus Penghargaan Kartunis Pengumpulan Penerbit Penjualan lbs Komik setrip ada...

Bill Hewlett

William Reddington HewlettHewlett (kiri) dan Alan Tripp di Pusat Pendidikan SCORE! tahun 1993Lahir20 Mei 1913Ann Arbor, MichiganMeninggal12 Januari 2001KebangsaanAmerika SerikatPendidikanUniversitas Stanford, Institut Teknologi MassachusettsPekerjaanPengusahaDikenal atasHewlett-Packard Company (HP)Suami/istriFlora Lamson, Rosemary Bradford William Redington Hewlett atau Bill Hewlett (20 Mei 1913-12 Januari 2001) adalah pengusaha yang bersama David Packard mendirikan Hewlett-Packard Company (...

Carciofi alla giudia

Roman Jewish artichoke dish Carciofi alla giudìaAlternative namesCarciofi alla giudeaCourseAntipastoPlace of originItalyRegion or stateRomeCreated byRoman JewsServing temperatureWarmMain ingredientsArtichokes Media: Carciofi alla giudìa Carciofi alla giudìa (Italian: [karˈtʃɔːfi alla dʒuˈdiːa]; lit. 'Jewish-style artichokes') is among the best-known dishes of Roman Jewish cuisine.[1] The recipe is essentially a deep-fried artichoke, and originated in ...

Foofur

American traditionally animated children's television series FoofurFoofur and his groupGenreAdventureComedySlice of lifeCreated byPhil MendezDirected byArt Davis (Season 1)Don Lusk (Season 1)Carl Urbano (Season 1)Rudy Zamora (Season 1)Oscar Dufau (Season 2)Bob Goe (Season 2)John Kimball (Season 2)Paul Sommer (Season 2)Ray Patterson (supervising director)Voices ofMichael BellPat CarrollPeter CullenDavid DoyleDick GautierChristina LangeAllan MelvinDon MessickJonathan SchmockSusan SiloSusan Tols...

ソー (オー＝ド＝セーヌ県)

Sceaux 行政国フランス地域圏 (Région) イル＝ド＝フランス地域圏県 (département) オー＝ド＝セーヌ県郡 (arrondissement) アントニー郡小郡 (canton) 小郡庁所在地INSEEコード 92071郵便番号 92330市長（任期）フィリップ・ローラン（2008年-2014年）自治体間連合 (fr) メトロポール・デュ・グラン・パリ人口動態人口 19,679人（2007年）人口密度 5466人/km2住民の呼称 Scéens地理座標北緯48度4...

Повітряні сили Збройних сил України

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Мат...

土库曼斯坦总统

土库曼斯坦总统土库曼斯坦国徽土库曼斯坦总统旗現任谢尔达尔·别尔德穆哈梅多夫自2022年3月19日官邸阿什哈巴德总统府（Oguzkhan Presidential Palace）機關所在地阿什哈巴德任命者直接选举任期7年，可连选连任首任萨帕尔穆拉特·尼亚佐夫设立1991年10月27日土库曼斯坦土库曼斯坦政府与政治国家政府土库曼斯坦宪法国旗国徽国歌立法機關（英语：National Council of Turkmenistan） ...

Johns Hopkins University

Private university in Baltimore, Maryland, U.S. JHU redirects here. For other uses, see JHU (disambiguation). Johns Hopkins UniversityMottoVeritas vos liberabit (Latin)Motto in EnglishThe truth will set you freeTypePrivate research universityEstablishedFebruary 22, 1876; 148 years ago (February 22, 1876)AccreditationMSCHEAcademic affiliationsAAUCOFHECUWMANAICUORAUURASpace-grantUARCEndowment$10.54 billion (2023)[1]PresidentRonald J. DanielsProvostRay JayawardhanaTotal...

My Way (Usher album)

1997 studio album by UsherMy WayStudio album by UsherReleasedSeptember 16, 1997Length40:21LabelLaFaceAristaProducerBabyfaceJermaine DupriManuel SealSprague Doogie WilliamsUsher chronology Usher(1994) My Way(1997) Live(1999) Singles from My Way You Make Me Wanna...Released: August 5, 1997 Nice & SlowReleased: January 6, 1998 My WayReleased: June 9, 1998 My Way is the second studio album by American singer Usher. It was released on September 16, 1997, by LaFace Records in North Amer...

Law of Moses

The Torah or the first five books of the Hebrew Bible El Greco's View of Mount Sinai (1570–1572), Historical Museum of Crete The Law of Moses (Hebrew: תֹּורַת מֹשֶׁה Torat Moshe), also called the Mosaic Law, is the law said to have been revealed to Moses by God. The term primarily refers to the Torah or the first five books of the Hebrew Bible. Terminology The Law of Moses or Torah of Moses (Hebrew: תֹּורַת מֹשֶׁה‎, Torat Moshe, Septuagint Ancient Greek: νό...

Ranked-choice voting in the United States

Electoral system used in some cities and states This article may have been created or edited in return for undisclosed payments, a violation of Wikipedia's terms of use. It may require cleanup to comply with Wikipedia's content policies, particularly neutral point of view. (May 2024)Ranked-choice voting in the US by state Some state-wide elections Local option for municipalities to opt-in Local elections in some jurisdictions RCV banned state-wi...

Euthydikos Kore

Greek sculpture c 490–480 BCE Euthydikos Kore. Photographed by Frédéric Boissonnas, 1919. The Euthydikos Kore is a late archaic, Parian marble statue of the kore type, c 490–480 BCE,[1] that once stood amongst the Akropolis votive sculptures. It was destroyed during the Persian invasion of 480 BCE and found in the Perserschutt.[2] It is named after the dedication on the base of the sculpture, “Euthydikos son of Thaliarchos dedicated [me]”.[3] It now stands in...

The Dirty Dozen

Antibodi monoklonal

Daftar paroki sipil di Buckinghamshire

Pantai Selatan

Marine sediment

العلاقات الإندونيسية الجنوب سودانية

العلاقات الفانواتية المالية

Jewels 15th Ring

B36 Tórshavn

Kannur–Thiruvananthapuram Jan Shatabdi Express

Lampion terbang

Jolán Kleiber-Kontsek