Народився 20 березня1982 року в місті Ґміна Кросно-Оджанське. Вихованець футбольної школи клубу «Шльонськ». Дорослу футбольну кар'єру розпочав 1998 року в основній команді того ж клубу, в якій провів один сезон, взявши участь лише у 8 матчах чемпіонату.
Протягом 1999—2000 років захищав кольори німецького клубу «Юрдінген 05» у Регіоналлізі.
Своєю грою за команду привернув увагу представників тренерського штабу клубу «Герта», до складу якого приєднався 2000 року. Провів за берлінський клуб наступні чотири сезони своєї ігрової кар'єри. Весь час, проведений у складі «Герти», був голкіпером дубля команди «Герта II», що виступала у Оберлізі, четверому за рівнем дивізіоні Німеччини.
Влітку 2004 року уклав контракт з клубом «Вест-Бромвіч Альбіон», у складі якого провів наступні два роки своєї кар'єри гравця. У сезоні 2005/06 в матчі проти «Манчестер Юнайтед» Кущак здійснив сейв, який став сейвом сезону за версією Match of the Day. Своєю грою в складі «Вест Бромвіча» Кущак зацікавив сера Алекса Фергюсона і його «Манчестер Юнайтед».
У 2006 році Кущак перейшов в МЮ на правах оренди. У своєму дебютному сезоні провів 6 матчів у складі манкуніанців в Прем'єр-лізі. У грі проти «Арсенала» зумів відбити пенальті у виконанні Жілберту Сілви. МЮ той матч програв з рахунком 1:0. В цілому Кущак вразив сера Алекса своєю грою в сезоні 2006/07 і влітку 2007 року поляк підписав з клубом 4-річний контракт на постійній основі. У сезоні 2007/08 Кущак провів в загальній кількості 14 матчів. У чвертьфіналі Кубку Англії проти «Портсмута» був вилучений. Так як замін у сера Алекса більше не залишилося, у ворота був змушений стати центральний захисник манкуніанців Ріо Фердінанд, який не зумів відбити пенальті, хоча правильно вгадав напрямок удару. У тому сезоні Кущак отримав медаль переможця Ліги чемпіонів УЄФА і став у складі «Манчестер Юнайтед» чемпіоном країни. По закінченні сезону продовжив чинний контракт з клубом ще на рік.
У сезоні 2011/12 Кущак програв конкуренцію не тільки новачкам команди Давіду Де Хеа і Андерсу Линдегору, але й молодому Бену Амосу. Кущак не зіграв жодного матчу за клуб і в заявку команди потрапив лише один раз (на матч зі «Сток Сіті» 31 січня). Незадовго до цього сер Алекс Фергюсон заявив, що контракт з Кущаком, який завершується по закінченні того сезону, продовжений не буде. Всьо ж за час виступів за МЮ поляк двічі виборював титул чемпіона Англії, тричі ставав володарем Суперкубка Англії, двічі володарем Кубка англійської ліги і переможцем Ліги чемпіонів УЄФА.
21 лютого2012 року перейшов у «Вотфорд» з Чемпіоншіпа на правах оренди до кінця сезону. Дебютував за новий клуб 25 лютого в матчі проти «Саутгемптона». Матч був програний з рахунком 0:3. Після закінчення сезону 2011/12 став вільним агентом.
20 червня2012 року підписав дворічний контракт з «Брайтоном», за період якого зіграв у Чемпіоншіпі 84 матчі, після чого влітку 2014 року покинув клуб.
Після тривалого періоду у статусі вільного агента, в кінці 2014 року підписав контракт з «Вулвергемптоном», за який виступав до кінця року.
.png){kind=small}
