Теорія потенціалу — розділ математики і математичної фізики, присвячений вивченню властивостей диференціальних рівнянь в частинних похідних в областях з досить гладкою границею за допомогою введення спеціальних видів інтегралів, залежних від певних параметрів, які називаються потенціалами.

Абстрактна теорія потенціалу — узагальнення теорії потенціалу на абстрактні топологічні простори; як основа абстрактної теорії використовується поняття гармонійного простору — довільного топологічного простору, забезпеченого пучком неперервних дійснозначних функцій, що мають (зафіксовані аксіоматично) властивості, характерні для гармонічних функцій.

Спочатку була створена як частина небесної механіки, що вивчає властивості сил тяжіння, що діють відповідно до закону всесвітнього тяжіння. Основний внесок у створення і початковий розвиток теорії внесли Ньютон, Лагранж, Лежандр, Лаплас. Зокрема, Лагранж показав, що поле сил тяжіння є потенційним.

Починаючи з Гауса метод потенціалів почав застосовуватися також для задач електростатики і магнетизму, як потенціалу стали розглядатися «маси» (заряди, намагніченість) довільного знака. В рамках розвитку теорії в XIX столітті виділилися основні крайові задачі: задача Діріхле, задача Неймана, задача Робена, задача про вимітання мас. Значний внесок у вивчення основних крайових задач наприкінці XIX століття внесли Ляпунов і Стеклов.

Результати теорії істотно узагальнені на початку XX століття з використанням апарату теорії міри і узагальнених функцій. Згодом в теорії потенціалів задіяні аналітичні, гармонічні і субгармонічні функції, інструментарій теорії ймовірностей.

У 1950-ті роки на основі методів топології і функціонального аналізу розроблена аксіоматична абстрактна теорія потенціалів.

Нехай S — гладка замкнута поверхня, тобто (n-1)-вимірний гладкий многовид без краю, в n-вимірному евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\;n\geqslant 2,}$ який обмежує скінченна область ${\displaystyle G=G^{+}}$, ${\displaystyle \partial G=S}$, і нехай ${\displaystyle G^{-}=\mathbb {R} ^{n}\setminus (G^{+}\cup S)}$ — зовнішня нескінченна область. Позначимо:

${\displaystyle E(x,y)=E(|x-y|)={\begin{cases}{\frac {1}{\omega _{n}(n-2)}}{\frac {1}{|x-y|^{n-2}}},&n\geqslant 3\\{\frac {1}{2\pi }}\ln {\frac {1}{|x-y|}},&n=2\end{cases}}}$

головний фундаментальний розв'язок рівняння Лапласа в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ де ${\displaystyle |x-y|}$ — відстань між точками евклідового простору, ${\displaystyle \omega _{n}=2\pi ^{n/2}\Gamma (n/2)}$ — площа одиничної сфери в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функція.

Три інтеграли, що залежать від параметра x:

${\displaystyle Z(x)=\int \limits _{G}\rho (y)E(x,y)dy,}$

${\displaystyle V(x)=\int \limits _{S}\mu (y)E(x,y)dS(y),}$

${\displaystyle W(x)=\int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y).}$

де ${\displaystyle n_{y}}$ — напрямок зовнішньої щодо ${\displaystyle G^{+}}$ нормалі до S в точці y, називаються відповідно об'ємним потенціалом, потенціалом простого шару і потенціалом подвійного шару. Функції ${\displaystyle \rho (y),\mu (y),\nu (y)}$ називаються щільностями відповідних потенціалів. Вони вважатимуться абсолютно інтегровними на відповідних областях.

При n = 3 (а іноді і при вищих значеннях) ці потенціали називаються ньютонівськими потенціалами, при n = 2 — логарифмічними потенціалами.

Нехай ${\displaystyle \rho (x)}$ належить класу ${\displaystyle C^{1}(G\cup S)}$. Тоді об'ємний потенціал і його похідні 1-го порядку неперервні усюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ і їх можна обчислити за допомогою диференціювання під знаком інтеграла, тобто ${\displaystyle Z\in C^{1}(\mathbb {R} ^{n}).}$ Окрім того, виконується рівність:

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }\left({\frac {Z(x)}{E(x,0)}}\right)=\int _{G}\rho (y)dy.}$

Похідні 2-го порядку є неперервними всюди поза S, але при переході через поверхню S вони зазнають розрив, і до того ж в області ${\displaystyle G^{+}}$ задовольняється рівняння Пуассона ${\displaystyle \Delta Z=\rho (x),}$ а в ${\displaystyle G^{-}}$ — рівняння Лапласа ${\displaystyle \Delta Z=0.}$

Перераховані властивості характеризують об'ємний потенціал.

Якщо ${\displaystyle G_{1}}$ є обмеженою областю в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ з границею ${\displaystyle S_{1}}$ класу ${\displaystyle C^{1},}$ то справедливою є формула:

${\displaystyle \int \limits _{S_{1}}{\partial Z \over \partial n_{x}}dS_{1}(x)=-\int _{G\cap G_{1}}\rho (y)dy.}$

Нехай ${\displaystyle \mu \in C^{1}(S).}$ Тоді потенціал простого шару ${\displaystyle V(x)}$ є гармонічною функцією для ${\displaystyle x\notin S}$ і також

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }\left({\frac {V(x)}{E(x,0)}}\right)=\int _{S}\mu (y)dS(y).}$

Зокрема ${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }V(x)=0,}$ при ${\displaystyle n\geqslant 3}$⁣, але у випадку ${\displaystyle n=2}$ це справедливо тоді й тільки тоді, коли ${\displaystyle \int _{S}\mu (y)dS(y)=0.}$

Потенціал простого шару є неперервним всюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ також ${\displaystyle V(x)}$ і його дотичні похідні неперервні при переході через поверхню S. Нормальна похідна потенціалу простого шару при переході через поверхню здійснює стрибок:

${\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{+}}}\left({\frac {\partial V(x')}{\partial n_{x}}}\right)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{x}}}\right)(x)+\mu (x)/2,}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{-}}}\left({\frac {\partial V(x')}{\partial n_{x}}}\right)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{x}}}\right)(x)-\mu (x)/2.}$

Через ${\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial n_{x}}}\right)}$ тут позначено так зване пряме значення нормальної похідної потенціалу простого шару, обчислене на поверхні S, тобто

${\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial n_{x}}}=\int \limits _{S}\mu (x){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y),\;x\in S.}$

Визначена таким чином функція є неперервною для ${\displaystyle x\in S,}$ а ядро ${\displaystyle {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)}$ має слабку особливість на S:

${\displaystyle \left\vert {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)\right\vert \leqslant {\frac {const}{|x-y|^{n-2}}},\;x,y\in S.}$

Перераховані властивості характеризують потенціал простого шару.

Нехай ${\displaystyle \nu \in C^{1}(S).}$ Тоді потенціал простого шару ${\displaystyle W(x)}$ є гармонічною функцією для ${\displaystyle x\notin S}$ і також

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }\omega _{n}|x|^{n-1}W(x)=\int _{S}\nu (y)dS(y).}$

Потенціал подвійного шару при переході через поверхню S здійснює стрибок:

${\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{+}}}W(x')=W(x)-\nu (x)/2,}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{-}}}W(x')=W(x)+\nu (x)/2.}$

Через ${\displaystyle W(x)}$ тут позначено так зване пряме значення потенціалу подвійного шару на поверхні S, тобто

${\displaystyle W(x)=\int \limits _{S}\nu (x){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y),\;x\in S.}$

Визначена таким чином функція є неперервною для ${\displaystyle x\in S,}$ а ядро ${\displaystyle {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)}$ має слабку особливість на S:

${\displaystyle \left\vert {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)\right\vert \leqslant {\frac {const}{|x-y|^{n-2}}},\;x,y\in S.}$

Дотичні похідні теж здійснюють стрибок при переході через поверхню S, натомість нормальна похідна є неперервною при переході через поверхню S.

Перераховані властивості характеризують потенціал подвійного шару.

У випадку сталої щільності ${\displaystyle \nu =1}$, справедливою є формула:

${\displaystyle -\int \limits _{S}{\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)={\begin{cases}1,&x\in G^{+}\\{\frac {1}{2}},&x\in S\\0,&x\in G^{-}\end{cases}}.}$

Нехай ${\displaystyle \lambda \geqslant 0}$ — додатна міра Бореля на просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ з компактним носієм ${\displaystyle \operatorname {supp} \lambda .}$ Потенціал міри визначається як інтеграл:

${\displaystyle E\lambda (x)=\int \limits E(x,y)d\lambda (y).}$

Потенціал міри існує всюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ як відображення ${\displaystyle E\lambda :\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty ]}$при ${\displaystyle n\geqslant 3,}$ і ${\displaystyle E\lambda :\mathbb {R} ^{2}\to (-\infty ,\infty ]}$ при ${\displaystyle n=2}$ і є супергармонічною функцією всюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ що є гармонічною поза ${\displaystyle \operatorname {supp} \lambda .}$

Для міри ${\displaystyle \lambda }$ довільного знака з компактним носієм, потенціал ${\displaystyle E\lambda }$ визначається, виходячи з канонічного розкладу ${\displaystyle \lambda }$, у вигляді ${\displaystyle \lambda =\lambda ^{+}-\lambda ^{-},\;\;\lambda ^{+}\geqslant 0,\lambda ^{-}\geqslant 0.}$ Тоді за визначенням ${\displaystyle E\lambda =E\lambda ^{+}-E\lambda ^{-}.}$ У тих точках, де обидва потенціали ${\displaystyle E\lambda ^{+}(x),E\lambda ^{-}(x)}$ приймають нескінченні значення, цей потенціал є невизначеним.

Якщо міра ${\displaystyle \lambda \geqslant 0}$ зосереджена на гладкій поверхні S, можна визначити й потенціал подвійного шару міри:

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial n_{x}}}\lambda =\int \limits {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)d\lambda (y).}$

Потенціал міри є скінченним усюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ за винятком точок полярної множини, множини зовнішньої ємності нуль. Якщо ${\displaystyle E\lambda (x)=0}$ всюди, крім множини зовнішньої ємності нуль, то ${\displaystyle \lambda =0}$.

Якщо міра ${\displaystyle \lambda \geqslant 0,\;\lambda \neq 0}$ зосереджена на множині ємності нуль, то ${\displaystyle \sup E\lambda (x)=+\infty }$. Справджується наступний принцип максимуму:

${\displaystyle E\lambda (x)\leqslant \sup\{E\lambda (y):y\in \operatorname {supp} \lambda \}.}$

Якщо звуження ${\displaystyle \sup E\lambda (x)=+\infty }$ на ${\displaystyle \operatorname {supp} \lambda }$ є неперервним (в узагальненому сенсі) в точці ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {supp} \lambda }$, то потенціал ${\displaystyle E\lambda }$ є неперервним в точці ${\displaystyle x_{0}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Потенціали міри зводяться до потенціалів щільності ${\displaystyle \rho (x),\nu (x)}$, тоді й тільки тоді, коли міра ${\displaystyle \lambda }$ є абсолютно неперервною по мірі Лебега відповідно на G чи на S.

Якщо T — узагальнена функція, або розподіл, в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ то потенціал розподілу визначається як згортка ${\displaystyle E_{*}T,}$, що є також узагальнено. функцією. Наприклад, якщо T — фінітна узагальнена функція, то в сенсі узагальнених функцій виконується рівняння Пуассона:

${\displaystyle \Delta ET=-T.}$

Потенціали мір можна розглядати як окремий випадок потенціалів розподілів.

Нехай функція ${\displaystyle \Phi (x)\in C^{2}(G\cup S),}$ де S — гладка поверхня класу ${\displaystyle C^{2}.}$

Тоді ця функція в області G рівна сумі об'ємного потенціалу і потенціалів простого і подвійного шару зі щільностями:

${\displaystyle \rho (y)=-\Delta \Phi (y);\;\mu (y)={\partial \Phi (y) \over \partial n_{y}};\;\nu (y)=-\Phi (y).}$

Нехай функція ${\displaystyle u(x)\in C^{1}(G\cup S),}$ де S — гладка поверхня класу ${\displaystyle C^{2}}$ і ${\displaystyle u(x)}$ є гармонічною в області G.

Тоді ця функція в області G рівна сумі потенціалів простого і подвійного шару зі щільностями:

${\displaystyle \mu (y)={\partial u(y) \over \partial n_{y}};\;\nu (y)=-u(y).}$

Знайти гармонічну в ${\displaystyle G^{+}}$ функцію ${\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}$ де ${\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}$ (${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ позначає умову Гельдера), що на границі S рівна деякій неперервній функції ${\displaystyle f(x).}$

Розв'язок цієї задачі можна записати у виді потенціалу подвійного шару

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y),}$

де щільність є єдиним розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

${\displaystyle \int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)-1/2\nu (x)=f(x),\;x\in S.}$

Знайти гармонічну в ${\displaystyle G^{+}}$ функцію ${\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}$ де ${\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}$ (${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ позначає умову Гельдера), що на границі S задовольняє граничній умові ${\displaystyle {\partial u(x) \over \partial n_{x}}=\varphi (x),}$ для деякої неперервної на S функції ${\displaystyle \varphi (x),}$ що задовольняє необхідну умову ортогональності ${\displaystyle \int _{S}\varphi (y)dS(y)=0.}$

Розв'язок цієї задачі з точністю до константи можна записати у виді потенціалу простого шару

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\mu (y)E(x,y)dS(y)+C,}$

де щільність є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

${\displaystyle \int \limits _{S}\mu (y){\partial \over \partial n_{x}}E(x,y)dS(y)+1/2\mu (x)=\varphi (x),\;x\in S.}$

Відповідне однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок ${\displaystyle \mu _{0},}$ а загальний розв'язок неоднорідного може бути записаним як ${\displaystyle \mu (x)+c\mu _{0}(x),}$ де c — довільна константа.

Знайти гармонічну в ${\displaystyle G^{-},\;0\in G^{+}}$ функцію ${\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}$ де ${\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}$ (${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ позначає умову Гельдера), що на границі S рівна деякій неперервній функції ${\displaystyle f(x).}$ При цьому функція вважається регулярною на нескінченності:

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|x|^{n-2}u(x)=const.}$

Розв'язок цієї задачі завжди існує є єдиним і його можна записати у виді:

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)+{\frac {A}{|x|^{n-2}}},}$

де A є константою, а щільність потенціалу є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

${\displaystyle \int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)+1/2\nu (x)=f(x)-{\frac {A}{|x|^{n-2}}},\;x\in S.}$

Знайти гармонічну в ${\displaystyle G^{-},\;0\in G^{+}}$ функцію ${\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}$ де ${\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}$ (${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ позначає умову Гельдера), що на границі S задовольняє граничній умові ${\displaystyle {\partial u(x) \over \partial n_{x}}=\varphi (x),}$ для деякої неперервної на S функції ${\displaystyle \varphi (x).}$ При цьому функція вважається регулярною на нескінченності:

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|x|^{n-2}u(x)=const.}$

При ${\displaystyle n\geqslant 3}$ розв'язок цієї задачі існує і є єдиним, для ${\displaystyle n=2}$ розв'язок (єдиний з точністю до додавання константи) існує лише коли ${\displaystyle \int _{S}\varphi (y)dS(y)=0.}$

Розв'язок цієї задачі можна записати у виді потенціалу простого шару

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\mu (y)E(x,y)dS(y),}$

де щільність є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

${\displaystyle \int \limits _{S}\mu (y){\partial \over \partial n_{x}}E(x,y)dS(y)-1/2\mu (x)=\varphi (x),\;x\in S.}$

При ${\displaystyle n\geqslant 3}$ розв'язок цього рівняння існує і є єдиним. Для ${\displaystyle n=2}$ відповідне однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок ${\displaystyle \mu _{0},}$ а при виконанні необхідних умов неоднорідне рівняння має єдиний розв'язок для якого ${\displaystyle \int _{S}\mu _{1}(y)dS(y)=0.}$

Тоді загальний розв'язок можна записати як ${\displaystyle \mu (x)=\mu _{1}(x)+c\mu _{0}(x),}$ де c — довільна константа.

• A.I. Prilenko, E.D. Solomentsev (2001), theory Potential theory, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• E.D. Solomentsev (2001), potential theory Abstract potential theory, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

• Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953
• Ландкоф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966
• S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey (2001). Harmonic Function Theory (2nd edition). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95218-7.