Абстрактна теорія потенціалу — узагальнення теорії потенціалу на абстрактні топологічні простори; як основа абстрактної теорії використовується поняття гармонійного простору — довільного топологічного простору, забезпеченого пучком неперервних дійснозначних функцій, що мають (зафіксовані аксіоматично) властивості, характерні для гармонічних функцій.
Починаючи з Гауса метод потенціалів почав застосовуватися також для задач електростатики і магнетизму, як потенціалу стали розглядатися «маси» (заряди, намагніченість) довільного знака. В рамках розвитку теорії в XIX столітті виділилися основні крайові задачі: задача Діріхле, задача Неймана, задача Робена, задача про вимітання мас. Значний внесок у вивчення основних крайових задач наприкінці XIX століття внесли Ляпунов і Стеклов.
Нехай S — гладка замкнута поверхня, тобто (n-1)-вимірний гладкий многовид без краю, в n-вимірному евклідовому просторі який обмежує скінченна область , , і нехай — зовнішня нескінченна область. Позначимо:
де — напрямок зовнішньої щодо нормалі до S в точці y, називаються відповідно об'ємним потенціалом, потенціалом простого шару і потенціалом подвійного шару. Функції називаються щільностями відповідних потенціалів. Вони вважатимуться абсолютно інтегровними на відповідних областях.
Нехай належить класу . Тоді об'ємний потенціал і його похідні 1-го порядку неперервні усюди в і їх можна обчислити за допомогою диференціювання під знаком інтеграла, тобто Окрім того, виконується рівність:
Похідні 2-го порядку є неперервними всюди поза S, але при переході через поверхню S вони зазнають розрив, і до того ж в області задовольняється рівняння Пуассона а в — рівняння Лапласа
Перераховані властивості характеризують об'ємний потенціал.
Якщо є обмеженою областю в з границею класу то справедливою є формула:
Зокрема при , але у випадку це справедливо тоді й тільки тоді, коли
Потенціал простого шару є неперервним всюди в також і його дотичні похідні неперервні при переході через поверхню S. Нормальна похідна потенціалу простого шару при переході через поверхню здійснює стрибок:
Через тут позначено так зване пряме значення нормальної похідної потенціалу простого шару, обчислене на поверхні S, тобто
Визначена таким чином функція є неперервною для а ядро має слабку особливість на S:
Перераховані властивості характеризують потенціал простого шару.
Потенціал подвійного шару
Нехай Тоді потенціал простого шару є гармонічною функцією для і також
Потенціал подвійного шару при переході через поверхню S здійснює стрибок:
Через тут позначено так зване пряме значення потенціалу подвійного шару на поверхні S, тобто
Визначена таким чином функція є неперервною для а ядро має слабку особливість на S:
Дотичні похідні теж здійснюють стрибок при переході через поверхню S, натомість нормальна похідна є неперервною при переході через поверхню S.
Перераховані властивості характеризують потенціал подвійного шару.
У випадку сталої щільності , справедливою є формула:
Потенціал міри існує всюди в як відображення при і при і є супергармонічною функцією всюди в що є гармонічною поза
Для міри довільного знака з компактним носієм, потенціал визначається, виходячи з канонічного розкладу , у вигляді Тоді за визначенням У тих точках, де обидва потенціали приймають нескінченні значення, цей потенціал є невизначеним.
Якщо міра зосереджена на гладкій поверхні S, можна визначити й потенціал подвійного шару міри:
Потенціал міри є скінченним усюди в за винятком точок полярної множини, множини зовнішньої ємності нуль. Якщо всюди, крім множини зовнішньої ємності нуль, то .
Якщо міра зосереджена на множині ємності нуль, то . Справджується наступний принцип максимуму:
Якщо звуження на є неперервним (в узагальненому сенсі) в точці , то потенціал є неперервним в точці в
Потенціали міри зводяться до потенціалів щільності , тоді й тільки тоді, коли міра є абсолютно неперервною по мірі Лебега відповідно на G чи на S.
Потенціал узагальненої функції
Якщо T — узагальнена функція, або розподіл, в то потенціал розподілу визначається як згортка, що є також узагальнено. функцією. Наприклад, якщо T — фінітна узагальнена функція, то в сенсі узагальнених функцій виконується рівняння Пуассона:
Потенціали мір можна розглядати як окремий випадок потенціалів розподілів.
Застосування
Вираження функцій через суми потенціалів
Нехай функція де S — гладка поверхня класу
Тоді ця функція в області G рівна сумі об'ємного потенціалу і потенціалів простого і подвійного шару зі щільностями:
Нехай функція де S — гладка поверхня класу і є гармонічною в області G.
Тоді ця функція в області G рівна сумі потенціалів простого і подвійного шару зі щільностями:
Внутрішня задача Діріхле
Знайти гармонічну в функцію де ( позначає умову Гельдера), що на границі S рівна деякій неперервній функції
Розв'язок цієї задачі можна записати у виді потенціалу подвійного шару
Знайти гармонічну в функцію де ( позначає умову Гельдера), що на границі S задовольняє граничній умові для деякої неперервної на S функції що задовольняє необхідну умову ортогональності
Розв'язок цієї задачі з точністю до константи можна записати у виді потенціалу простого шару
Відповідне однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок а загальний розв'язок неоднорідного може бути записаним як де c — довільна константа.
Зовнішня задача Діріхле
Знайти гармонічну в функцію де ( позначає умову Гельдера), що на границі S рівна деякій неперервній функції При цьому функція вважається регулярною на нескінченності:
Розв'язок цієї задачі завжди існує є єдиним і його можна записати у виді:
Знайти гармонічну в функцію де ( позначає умову Гельдера), що на границі S задовольняє граничній умові для деякої неперервної на S функції При цьому функція вважається регулярною на нескінченності:
При розв'язок цієї задачі існує і є єдиним, для розв'язок (єдиний з точністю до додавання константи) існує лише коли
Розв'язок цієї задачі можна записати у виді потенціалу простого шару
При розв'язок цього рівняння існує і є єдиним. Для відповідне однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок а при виконанні необхідних умов неоднорідне рівняння має єдиний розв'язок для якого
Тоді загальний розв'язок можна записати як де c — довільна константа.