Вихованець харківського футболу, цим видом спорту почав займатися у харківській ДЮСШ-13 (перший тренер — Володимир Васильович Юріхов)[1]. У ДЮФЛУ грав за харківські ДЮСШ-13 та УФК.
На початку 2009 року приєднався до донецького «Металурга», де виступав у складі молодіжної команди. В сезоні 2009/10 декілька разів потрапляв до заявки основної команди на ігри Прем'єр-ліги, однак жодного разу у її складі на поле не виходив. Того ж сезону став найкращим асистентом молодіжного (дублюючого) складу донецького клубу, записавши до свого активу 7 результативних передач у матчах першості дублерів[2]. Наступного сезону дебютував за основну команду в Прем'єр-лізі 2 жовтня 2010 року в матчі проти київського«Арсенала», який завершився поразкою донеччан з рахунком 1:3, а Савін відіграв один тайм і заробив жовту картку. Цей матч став єдиним для Артема в чемпіонаті за «Металург».
Улітку 2011 року був відданий на правах оренди в друголігову дніпродзержинську«Сталь», де час від часу виходив до кінця року.
Улітку 2012 року розірвав контракт з «Металургом» і на правах вільного агента перейшов у першолігову«Буковину»[3].
Наприкінці березня 2016 року став гравцем клубу «Гірник-Спорт», але вже наприкінці травня того ж року залишив команду[4].
У червні 2016 року перейшов до складу вірменського клубу «Алашкерт»[5], у складі якого грав у кваліфікації Ліги Чемпіонів.
У березні 2017 року повернувся до України і підписав контракт з ПФК «Суми».
Сезон 2017/18 провів у «Полтаві», з якою здобув срібні нагороди Першої ліги та право виступу в УПЛ[6].
У молодіжній збірній України дебютував 29 березня 2011 року у виїзному матчі проти однолітків з Сербії, провівши на полі один тайм. В підсумку цей матч залишився єдиним матчем Савіна за молодіжну збірну.
