Вихованець ДЮСШ запорізького «Металурга», куди вступив у 6 років. З 2010 по 2014 рік провів 51 матч і забив 9 м'ячів в чемпіонаті ДЮФЛ.
Клубна кар'єра
20 серпня 2014 дебютував за юніорську (U-19) команду «Металурга» у домашній грі проти одеського «Чорноморця». За молодіжну (U-21) команду дебютував 22 листопада того ж року в домашньому поєдинку проти київського «Динамо». 8 серпня 2015 дебютував в основному складі «Металурга» у виїзному матчі Прем'єр-ліги проти ужгородської «Говерли», вийшовши на заміну замість Іллі Корнєва на 81-й хвилині зустрічі, в кінці якої заробив штрафний, з якого був забитий гол, який приніс в результаті команді одне очко. 8 грудня того ж року стало відомо, що Єгор разом з низкою інших гравців покинув «Металург» у зв'язку з процесом ліквідації клубу. Всього за час виступів у складі запорізької команди провів 6 матчів у чемпіонаті, 1 поєдинок у Кубку України, 11 ігор (в яких забив 3 м'ячі) в молодіжній першості і 12 зустрічей (у яких забив 1 гол) в юнацькому турнірі.
23 січня 2016 року з'явилася інформація, що Демченко може продовжити кар'єру в луганській «Зорі», з якою, як стало відомо 25 січня, Єгор підписав контракт на 2 роки. Однак уже 12 лютого футболіст повідомив, що луганський клуб розірвав з ним угоду через незадовільні результати МРТ, які гравець зробив з приводу хворого коліна[1]:
Мені не запропонували допомогу, не сказали самому лікуватися, а просто сказали, що контракт ще не затверджений, і що можу забирати документи. Хоча тренер каже, що хоче зі мною працювати. Такого раніше я не зустрічав. У «Зорю» я не повернуся вже ні за яких умов. Це взагалі цирк — підписати людину і потім через травму ось так попрощатися.
16 лютого 2016 року було повідомлено, що Демченко може перейти до криворізького «Гірника». Але в результаті 5 квітня гравець підписав контракт із чернівецькою «Буковиною», проте вже у літнє міжсезоння розірвав контракт.
У серпні 2016 року мав стати гравцем японського клубу «Джубіло Івата»[2], але не зміг уразити тренерський штаб команди й після повернення в Україну відправився на перегляд до донецького«Олімпіку»[3], з яким зрештою підписав контракт терміном на 4 роки[4], але вже взимку 2016/17 залишив команду за обопільною згодою[5].
У березні 2017 року Єгор став гравцем краматорського «Авангарду», контракт був розрахований до кінця сезону. Влітку 2017 року продовжив контракт ще на рік. Грав у команді до 2020 року.
У 2019 році на правах оренди з «Авангарду» перейшов до ковалівського «Колос», за який зіграв два матчі[6].
У серпні 2020 року став гравцем новоствореного ФК «Метал»[7], який у червні наступного року було перейменовано на «Металіст»[8].
