Юхим Ротштейн народився у Хмільнику. У період з 1941 по 1946 роки проживав в евакуації у Набережних Челнах, 1946 року сім'я повернулася в Україну та поселилася у Львові, тоді ж Ротштейн вперше зіграв у шахи.
Гри в шахи він навчався у Рафаїла Горенштейна у Львівському палаці піонерів. Його тренером у місцевому шаховому клубі був Олексій Сокольський. У коло його друзів на той час входили Леонід Штейн та Борис Каталимов. Розділивши перше місце з Юхимом Лазарєвим на молодіжному чемпіонаті УРСР, Ротштейн кваліфікувався на командний чемпіонат СРСР серед юнаків 1951 року. У Ленінграді молодіжна збірна України посіла друге місце після команди Москви. Після закінчення школи, починаючи з 1950 року, Ротштейн навчався в Політехнічному інституті, здобув кваліфікацію інженера-механіка.
На турнірі найсильніших кандидатів України у 1957 році, що проходив в Одесі, розділив друге місце після Едуарда Гуфельда. Юхим Ротштейн багаторазовий учасник чемпіонатів України, найкраще досягнення — 9 місце у 1959 році. 12 набраних очок на цьому турнірі дозволили Ротштейну виконати норму майстра спорту СРСР.
У період з 1960 по 1963 роки Ротштейн проживав та працював у Станіславі (Івано-Франківську). У 1962 році набравши 7½ очок розділив 4-5 місце з Суетіном у другому всесоюзному масовому турнірі, що проходив у Владимирі, а перемогу здобув Юрій Ніколаєвський. За підсумками цього турніру Юхим Ротштейн потрапив у півфінал чемпіонату СРСР (перші п'ять потрапляли). У півфіналі чемпіонату СРСР 1962 року, що проходив у Ризі, він розділив восьме місце з Айварсом Гіпслісом (по 9 очок).
Після повернення до Львова, працював на заводі, займав солідну посаду, відповідно уже не так часто грав у шахи. На початку 1990 рр. влаштувався в дитячу спортивну школу шаховим тренером, переважно працював з новачками, пізніше працював тренером у Польщі.
У 1998 році переїхав в Німеччину в місто Кельн, з 2002 року. перейшов до Німецької федерації шахів. Відновив активні виступи в турнірах, виграв більш як 50 перших місць (у тому числі першість Кельна, Леверкузена). Успішно виступав на турнірах серед ветеранів, сім разів (2000, 2002, 2004, 2006, 2007[2], 2017 та 2019) став чемпіоном Німеччини серед сеньйорів (вікова група 65+). Він також мав ряд досягнень на міжнародному рівні, зокрема увійшов до топ-10 на чемпіонаті світу серед сеньйорів 2000 року (Рові) та 2008 року (Бад-Цвішенан), а також на чемпіонаті Європи серед сеньйорів 2005 року (Бад-Гомбург).
До введення рейтингу Ело, його найкращий історичний рейтинг був 2534 у листопаді 1959 року[3]. Юхим Ротштейн мав звання майстра ФІДЕ, а його син Аркадій має титул гросмейстера.
Результати виступів у чемпіонатах України
Юхим Ротштейн зіграв у 9 фінальних турнірах чемпіонатів України, набравши при цьому 61½ очка зі 149 можливих.
