PROFILPELAJAR.COM

	Правила Худзіти
	Правила Худзіти у Вікісховищі

Правила Худзіти — набір семи правил, що формально описують геометричні побудови за допомогою плаского оригамі, подібним до побудови за допомогою циркуля та лінійки. Названі на честь японо-італійського математика Хуміакі Худзіти (1924—2005).

Фактично вони описують всі можливі способи отримання однієї нової складки на аркуші паперу шляхом суміщення вже існуючих різних елементів аркуша — точок та ліній. Під лініями розуміються краї аркуша або складки паперу, під точками — перетини ліній. Істотним моментом є те, що згин формується єдиною складкою, причому в результаті складання фігура залишається пласкою.

Часто ці правила називають «аксіомами», хоча з формальної точки зору аксіомами вони не є.

Правила

Складки в цих правилах існують не завжди, правило стверджує тільки, що якщо така складка є, то її «можливо» знайти.

Правило 1

Нехай задані дві точки $p_{1}$ і $p_{2}$ , тоді аркуш можна скласти так, що ці дві точки будуть лежати на складці.

Правило 2

Нехай задані дві точки $p_{1}$ і $p_{2}$ , тоді аркуш можна скласти так, що одна точка перейде в другу.

Правило 3

Нехай задані дві прямі $l_{1}$ і $l_{2}$ , тоді аркуш можна скласти таким чином, що одна пряма перейде в другу.

Правило 4

Нехай задані пряма $l_{1}$ і точка $p_{1}$ , тоді аркуш можна скласти так, що точка пройде через складку, а пряма перейде сама в себе (тобто лінія складки буде їй перпендикулярна).

Правило 5

Нехай задані пряма $l_{1}$ і дві точки $p_{1}$ і $p_{2}$ , тоді аркуш можна скласти так, що точка $p_{2}$ потрапить на складку, а $p_{1}$ на пряму $l_{1}$ .

Правило 6

Нехай задані дві прямі $l_{1}$ і $l_{2}$ і дві точки $p_{1}$ і $p_{2}$ , тоді аркуш можна скласти так, що точка $p_{1}$ потрапить на пряму $l_{1}$ , а точка $p_{2}$ на пряму $l_{2}$ .

Правило 7

Нехай задані дві прямі $l_{1}$ і $l_{2}$ і точка $p$ , тоді аркуш можна скласти так, що точка p потрапить на пряму $l_{1}$ , а пряма $l_{2}$ перейде сама в себе (тобто лінія складки буде їй перпендикулярна).

Зауваження

Всі складки в цьому списку можна отримати як результат послідовного застосування правила номер 6. Тобто для математика вони нічого не додають, однак дозволяють зменшити кількість згинів. Система з семи правил є повною, тобто вона описує всі можливі способи отримання однієї нової складки на аркуші паперу шляхом сполучення вже існуючих різних елементів аркуша. Це останнє ствердження було доведено Робертом Ленгом^[1].

Можливі і неможливі побудови

Всі побудови є нічим іншим, як розв'язком якого-небудь рівняння, причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Через це зручно казати про побудову числа — графічного розв'язку рівняння визначеного типу. В межах вищеописаних вимог можливі наступні побудови:

Побудова розв'язків лінійних рівнянь.
Побудова розв'язків квадратних рівнянь.
Побудова розв'язків кубічних рівнянь (правило 6).

Інакше кажучи, можливо побудувати лише числа, що дорівнюють арифметичним виразам з використанням квадратних і кубічних коренів із початкових чисел (довжин відрізків).

В окремих випадках, за допомогою таких побудов можна здійснити подвоєння куба, трисекцію кута, побудову правильного семикутника. Розв'язок задачі про квадратуру круга однак залишається неможливим, через те, що π — трансцендентне число.

Історія

Основне правило (номер 6) було розглянуто Маргеритою Пьяцолла-Белок (італ. Margherita Piazzolla Beloch)^[2], їй же належать перші побудови трисекції кута і квадратури кола за допомогою оригамі-побудов. Повний перелік правил з'являється в роботі Жака Жюстина^[3], який пізніше також посилався на Пітера Мессера як на співавтора. Практично одночасно правила 1—6 були сформульовані Хуміакі Худзитою^[4]. Останнє сьоме правило додав ще пізніше Косиро Хаторі^[5].

Варіації та узагальнення

Список можливих побудов можна значно розширити, якщо дозволити створення декількох складок за один раз. Хоча людина, що вирішила зробити декілька складок за раз на практиці стикнеться з труднощами фізичного характеру, тим не менш можливо вивести правила, аналогічні правилам Худзіти і для цього випадку^[6]. При допущенні таких додаткових правил можливо довести наступну теорему:

Будь-яке алгебраїчне рівняння степеня n може бути розв'язане n-2 одночасними складками

Цікаво, чи можливо розв'язати те саме рівняння додаванням, що використовує меншу кількість складок. Це, безперечно, вірно для n=4 і невідомо для n=5^[6].

Див. також

Метод Ліля

Література

Huzita Axiomas на сайті Роберта Ленга (англ.)
T. Hull Origami Geometric Constructions(англ.)

Примітки

↑ Robert J. Lang, Origami and Geometric Constructions [Архівовано 2012-03-10 у Wayback Machine.]
↑ M. P. Beloch, Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici, Periodico di Mathematiche, Ser. 4, Vol. 16, 1936, 104—108.
↑ Justin, Jacques, Resolution par le pliage de l'equation du troisieme degre et applications geometriques, reprinted in Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, H. Huzita ed. (1989), 251—261.
↑ Humiaki Huzita, "Axiomatic Development of Origami Geometry, " Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, Humiaki Huzita, ed., 1989, pp 143—158.
↑ Koshiro Hatori, Origami Construction
↑ ^а ^б Roger C. Alperin and Robert J. Lang, "One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 13 лютого 2022. Процитовано 24 грудня 2009.