Міхаель Жапер є вихованцем футбольної школи клубу «Осієк» зі свого рідного міста Осієк. З 2010 року він грав у молодіжних клубних командах. Перед сезоном 2015/16 він був внесений в заявку першої команди на участь у чемпіонаті країни. 13 травня 2016 року у матчі чемпіонату проти «Інтера» (Запрешич) Жапер дебютував у першій команді «Осієка» і в дебютному матчі відзначився забитим голом.[1]
Влітку 2023 року Жапер перейшов до складу «Хайдука».[2] Першу гру у новій команді футболіст провів 13 вереся 2023 року у матчі на Кубок країни.
