PROFILPELAJAR.COM

Квантовий вентиль (квантовий логічний елемент) — це базовий елемент квантового комп'ютера, що перетворить вхідні стани кубітів на вихідні за певним законом. Відрізняється від звичайних логічних вентилів тим, що працює з кубітами, а отже підпорядковується квантовій логіці. Квантові вентилі на відміну від багатьох класичних завжди можуть бути оберненими.

Так як кубіт можна зобразити у вигляді вектора у двовимірному просторі, то дію вентиля можливо описати унітарною матрицею, на яку множиться відповідний вектор стану вхідного кубіту. Однокубітні вентилі описуються матрицями розміру 2 × 2, двохкубітні — 4 × 4, а n-кубітні — 2ⁿ × 2ⁿ.

Приклади квантових вентилів

Найпростіші однокубітні вентилі:

Тотожне перетворення: $\sigma _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Заперечення: $\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

Фазове зрушення: $\sigma _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

Перетворення Адамара: $H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$

Також можливі вентилі, що мають два входи (і два виходи, так як кількість входів і виходів у квантових вентилів повинно збігатися в силу вимоги унітарності):

Контрольоване U (C-U). Суть контрольованого U полягає в тому, що на перший вхід подається керуючий кубіт, а на другий — керований. Якщо керуючий кубіт дорівнює одиниці, над керованим проводиться операція U, а якщо нулю — тотожне перетворення (кубіт подається на вихід без змін). Якщо матриця U має вигляд
$U={\begin{bmatrix}x_{00}&x_{01}\\x_{10}&x_{11}\end{bmatrix}}$

тоді матриця перетворення CU виглядає так:

$\operatorname {C} (U)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&x_{00}&x_{01}\\0&0&x_{10}&x_{11}\end{bmatrix}}$

Контрольоване заперечення (C-NOT). В цьому випадку $U=\sigma _{1}$ і матриця перетворення має вигляд:

$CNOT={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}$

Важливими 3-х кубітними вентилями є:

вентиль Тоффолі (англ. Toffoli gate, часто CCNOT) — є універсальним. Може бути реалізований на C-NOT і однокубітних вентилях. Схожий за алгоритмом роботи на CNOT, але звертає значення останнього біта тільки якщо два перших входу рівні одиниці. В іншому випадку всі входи подаються на вихід незмінними.

Таблиця істинності

Матрична форма

Вхід			Вихід
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0
1	0	1	1	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	0

${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\\\end{bmatrix}}$

вентиль Фредкіна (англ. Fredkin gate, часто CSWAP) — також універсальний. Якщо перший вхід встановлений, переставляє значення кубітів зі входів 2 і 3. Інакше всі три кубіти залишаються без змін.

Таблиця істинності

Матрична форма

Вхід			Вихід
C	I₁	I₂	C	O₁	O₂
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0
1	0	1	1	1	0
1	1	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1

${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

Універсальні квантові вентилі

Набір квантових вентилів називають універсальним, якщо будь-яке унітарне перетворення можна наблизити з будь-якою заданою точністю скінченною послідовністю вентилів з цього набору. Іншими словами, універсальні квантові вентилі є генераторами групи унітарних матриць. Можна довести, що набір, що складається з вентиля C-NOT і всіх однокубітних вентилів, є універсальним. Можливі й інші універсальні набори.

Реалістична реалізація NAND квантового вентиля двох контрольованих обертів — Приклад

NAND може бути побудований наприклад з двома електронними кругами взаємодіючими простійшим обміном й обидва покладені у магнетичне поле з часом, який залежить від напряму використаному для цієї операції. Гамільтоніан отриманий завдяки

H=-{\boldsymbol {\sigma _{1}}}\cdot \mathbf {B} -{\boldsymbol {\sigma _{2}}}\cdot \mathbf {B} -{\boldsymbol {\sigma _{1}}}\cdot {\boldsymbol {\sigma _{2}}}

,

де ${\boldsymbol {\sigma _{1}}}$ , ${\boldsymbol {\sigma _{2}}}$ — вектори оператори електронних обертів, які складаються з трьох Паули матриць. Рівняння Блоха без загасання виходить з рівняння Шредінгера є:

{\dot {\boldsymbol {\sigma _{1}}}}={\boldsymbol {\sigma _{1}}}\times \mathbf {B} +{\boldsymbol {\sigma _{1}}}\times {\boldsymbol {\sigma _{2}}}

{\dot {\boldsymbol {\sigma _{2}}}}={\boldsymbol {\sigma _{2}}}\times \mathbf {B} +{\boldsymbol {\sigma _{2}}}\times {\boldsymbol {\sigma _{1}}}

Ці рівняння можуть бути вирішені в адиабатического наступне наближення, коли спінові вектори нескінченно ларморовської прецесії слідувати вектор магнітного поля тільки в припущенні, що $|\mathbf {B} |=|{\boldsymbol {\sigma _{i}}}|$ .Залежно від того, чи є вектори і паралельні або анти-паралельно магнітному полю або анти-паралельно один одному, вони або обидва адиабатически слідувати магнітне поле і змінити напрямок на 180 ° або лівій стороні одного з рівнянь тотожно звертається в нуль і тільки напрямок одного з спинив змін, які слід, адиабатически суперпозицію поля, а другій доданій заморожені спина, чинного як ефективне поле. Функція зміни магнітного поля в часі, очевидно, безумовна і не залежить від початкового стану обох спинив, що гарантує належну роботу затвора. Інтуїтивно ця операція може бути зрозуміло, що магнітне поле вирівнює антиферомагнітного упорядкування двох спинив в привілейованому феромагнітним при русі заднім ходом існуючий феромагнітне впорядкування. Після часу адиабатическом зміні напрямку поля B на 180 градусів у нас є, тому

e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}

e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}

e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}

e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}

При тлумаченні спин вгору, як логічний 1, вниз, як 0 і дубльований спин кінцевого стану в результаті ми отримуємо ворота зв'язці заперечення або NAND.