Розпочинав футбольну кар'єру в клубах зі Спліту «Ускок» і «Борац».
У 1927 році перебрався до складу найсильнішої команди міста — «Хайдука». У цьому році команді вдалося здобути перший у історії титул чемпіона країни. Чулич жодного матчу у фінальній частині чемпіонату не зіграв, лишаючись резервним воротарем у Отмара Гаццарі. У тому розіграші Бартул зіграв лише у фінальному матчі чемпіонату Спліта проти «Юга» (6:0), що був відбором до національної першості[2].
Повноцінним гравцем основи був Чулич, коли «Хайдук» здобув своє друге чемпіонство у скандальній першості 1929 року. За підсумками сезону переможцем став БСК, що набрав таку ж кількість очок, що і «Хайдук», але випереджав команду зі Спліта за додатковими показниками. Та федерація футболу визнала два матчі БСК недійсними через участь недозволеного гравця. У підсумку представники столичного клубу переграли лише один з цих матчів (якраз проти «Хайдука» і вдруге перемогли з рахунком 2:1 замість 3:1 на початку сезону), а у другому команді зарахували технічну поразку. Таким чином «Хайдук» виявився попереду БСК на два очки.
У 30-х роках «Хайдук» також тримався серед лідерів національного футболу, але досягнути ще хоча б однієї перемоги у чемпіонаті команді не вдалося. Тричі клуб ставав другим у 1932, 1933 і 1936 роках. Чулич був одним з небагатьох, хто лишився в команді з чемпіонських складів 1927 і 1929 років.
Загалом у складі «Хайдука» він зіграв у 1927—1939 роках 285 матчів[3]. Серед них 113 матчів у чемпіонаті Югославії, 15 матчів у чемпіонаті Спліта, 10 матчів у Кубку югославської федерації, 147 матчів у інших турнірах і товариських іграх.
Також виступав у складі австрійського (хоча сама Австрія тоді входила до складу Німеччини) клубу «Флорідсдорфер». Зокрема, зіграв 6 матчів в чемпіонаті в 1941—1943 роках[4].
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
