Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Weierstrass çarpım teoremi, her tam fonksiyonun, bu fonksiyonun sıfırlarını da içeren (muhtemelen sonsuz) bir çarpım olarak temsil edilebileceğini ifade eder. Teorem, her polinomun her kökü için bir tane olmak üzere doğrusal çarpanlara ayrılabileceğini ifade cebirin temel teoreminin doğal bir uzantısıdır.

Karl Weierstrass'ın adını taşıyan teorem, sonsuza doğru giden her dizinin, tam olarak o dizinin noktalarında sıfırları bulunan bir tam fonksiyonla ilişkili olduğunu ifade eden başka bir sonuçla yakından ilişkilidir.

Teoremin meromorf fonksiyonlara genelleştirilmesi de mevcuttur ve meromorf bir fonksiyonu üç çarpana sahip olan bir çarpım olarak ele almayı sağlar: fonksiyonun sıfırlarına ve kutuplarına bağlı terimler, bunlarla ilişkili olmayan ve sıfır değeri almayan holomorf bir fonksiyon.

Karmaşık düzlemdeki herhangi bir sonlu noktalar kümesi ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ için, ${\textstyle p(z)=\prod _{n}(z-c_{n})}$ polinomu bu noktalar kümesinde sıfır değeri alan bir polinomu temsil eder. Ters yönde de, cebirin temel teoreminin bir sonucu olarak, her ${\displaystyle p(z)}$ polinomu çarpanlara ayrılabilir ve ${\textstyle p(z)=a\prod _{n}(z-c_{n}),}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ olacak şekilde yazılabilir.^[1] Elbette, ${\displaystyle \{c_{n}\}}$, burada polinomun sıfır değeri aldığı noktaların kümesidir ve eleman tekrarına izin vermektedir. Örneğin, ${\displaystyle z^{2}(z-1)}$ polinomunun sıfır kümesi ${\displaystyle \{0,0,1\}}$ kümesidir.

Weierstrass çarpım teoreminin iki hâli, polinomlar için bahsedilen durumun tam fonksiyonlara uzantıları olarak düşünülebilir. Ancak, ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ sonlu bir küme olmadığında, ${\textstyle \prod _{n}(z-c_{n})}$ sonsuz çarpımının yakınsak olması için ilâve terimler getirmenin gerekliliği vardır. Bu nedenle, genel olarak, sıfır noktalarını temsil edecek bir noktalar dizisinden tam bir fonksiyon hemen tanımlanamaz veya cebirin temel teoremi tarafından elde edilen ifadeler ve teknikler kullanarak tam bir fonksiyonun sıfırlarıyla temsili kolaylıkla mümkün değildir.

Söz konusu sonsuz çarpımın yakınsaklığı için gerekli koşul, her ${\displaystyle z}$ için ${\displaystyle (z-c_{n})}$ çarpanlarının ${\displaystyle n\to \infty }$ iken ${\displaystyle 1}$e gitmesidir. Bu nedenle, belirli bir noktada 0 olabilen, ancak o nokta haricinde 1'e yakın kalabilen ve ayrıca belirtilenlerden daha fazla sıfır içermeyen bir fonksiyon aranması mantıklıdır. Weierstrass'ın temel çarpanları bu özelliklere sahiptir ve daha önceden bahsedilen ${\displaystyle (z-c_{n})}$ çarpanlarıyla aynı amaca hizmet eder.

${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ olmak üzere, ${\textstyle e^{-{\frac {z^{n+1}}{n+1}}}}$ biçiminde tanımlanan fonksiyonlar ${\displaystyle z=0}$ noktasında ${\displaystyle 1}$ değerini alırken, yine aynı noktada, ${\displaystyle n}$'inci mertebeye kadar sabit bir eğime sahiptirler. Hemen ${\displaystyle z=1}$ noktasından sonra keskin bir şekilde ${\displaystyle 0}$'a düşmeye de meyillidirler. Diğer taraftan, ${\displaystyle 1-z}$ fonksiyonunun sabit bir eğimi yoktur (ilk başta ${\displaystyle 1}$, sonra, her yerde, hep ${\displaystyle 0}$) ama ${\displaystyle z=1}$ noktasında sıfır değeri alır. Ayrıca, ${\displaystyle |z|<1}$ iken,

${\displaystyle (1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right)}$

elde edilir.

Weierstrass temel çarpanları sıfır eğim ve sıfır değer özelliklerini birleştiren fonksiyonlardır ve aşağıdaki gibi tanımlanır:^[2][3]

${\displaystyle E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&n\neq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle |z|<1}$ ve ${\displaystyle n>0}$ iken bu fonksiyonlar ${\textstyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}$ biçiminde yazılabilirler.

Ayrıca, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ve ${\displaystyle |z|<1}$ iken

${\displaystyle \vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}}$

özelliği sağlanır.^[2]

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ dizisi ${\displaystyle 0}$'a eşit olmayan karmaşık sayılardan oluşan ve ${\displaystyle |a_{n}|\to \infty }$ özelliğini sağlayan bir sayı dizisi olsun. Negatif olmayan tamsayılardan oluşan bir ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ dizisi olsun. Her ${\displaystyle r>0}$ için

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(r/|a_{n}|\right)^{1+p_{n}}<\infty }$

sağlanıyorsa, o zaman,

${\displaystyle f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})}$

biçiminde tanımlanan fonksiyon tamdır ve bu fonksiyon sadece ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ noktalarında sıfır değeri alır. Ayrıca, bir ${\displaystyle z_{0}}$ sayısı ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ dizisinde ${\displaystyle m}$ kere (ve sadece ${\displaystyle m}$ kere) yer alıyorsa, ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun ${\displaystyle z=z_{0}}$ noktasındaki sıfırı vardır ve katlılığı ${\displaystyle m}$dir.

• Teoremde bahsedilen ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ dizisi her zaman bulunabilir. Örneğin, her zaman ${\displaystyle p_{n}=n}$ alınabilir ve yakınsama elde edilebilir. Yine de, böyle bir dizi biricik değildir. Bu diziyi sonlu sayıda konumda değiştirmek veya p′_n ≥ p_n olacak şekilde başka bir dizi almak yakınsaklığı değiştirmeyecektir.
• Teorem şu şekilde genelleştirilebilir: Riemann küresinin açık altkümelerindeki (ve dolayısıyla bölgelerindeki) tanımlanmış diziler için bu altkümelerde tanımlı olan ve verilen dizinin noktalarında sıfırları bulunan holomorf fonksiyonlar bulunabilir. ${\displaystyle \mathbb {C} }$deki her açık kümenin aynı zamanda holomorfluk bölgesi olması gerçeği, teoremin bu genellemesiyle kanıtlanabilir. Meselâ, açık kümenin sınırının her noktasına yığılma gösteren ama herhangi bir şekilde içerideki bir noktaya yığılmayan karmaşık sayı dizisi inşa edilebilir.^[4] O zaman, Weierstrass teoreminin bu genel halinin yardımıyla, bu bölge üzerinde holomorf olan ve bu dizinin yığılma noktalarında sıfır değerleri olan bir fonksiyon vardır. Bu fonksiyonun çarpmaya göre tersi, açık kümenin üzerinde tanımlı ve holomorftur. Bu sayede, bu kümenin dışına holomorf olarak devam ettirilemez.
• Ayrıca cebirin temel teoremi tarafından verilen durum da buraya dahildir. Eğer ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ dizisi sonluysa, o zaman, ${\displaystyle p_{n}=0}$ alabiliriz ve ${\displaystyle \,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})}$ elde ederiz.

${\displaystyle f}$ tam fonksiyon olsun ve ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ dizisi de ${\displaystyle f}$'nin (${\displaystyle 0}$ noktası hariç) sıfır değer aldığı noktalardan oluşan, bu noktalardaki sıfır değer alma katlılığının birden fazla olduğu durumları da kapsayacak şekilde, gerekirse tekrarlanan noktalardan oluşan bir küme olsun. Ayrıca, ${\displaystyle f}$nin ${\displaystyle 0}$ noktasında katlılığı ${\displaystyle m\geq 0}$ olacak şekilde bir sıfır olduğunu varsayalım.^{[not 1]} O zaman,

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).}$^[5]

temsilini sağlayacak bir tam fonksiyon ${\displaystyle g}$ ve bir tamsayı dizisi ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ vardır.

Karmaşık düzlemin her yerinde tanımlı ve holomorf olan(yani, tam olan), Sinüs ve kosinüs çarpanlarına şöyle ayrılabilir:

$${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n}}\right)^{2}\right)}$$

$${\displaystyle \cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+{\tfrac {1}{2}}}}\right)^{2}\right)}$$

Gama fonksiyonu ${\displaystyle \Gamma }$ ise şu şekilde yazılabilir: $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=e^{\gamma z}z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-z/n}}$$ Burada, ${\displaystyle \gamma }$, Euler-Mascheroni sabitidir.

Weierstrass çarpım teoreminin özel bir durumu, büyüme mertebesi sonlu tam fonksiyonlar için ortaya çıkar. Bu durumda, ${\displaystyle p_{n}}$ dizisi ${\displaystyle n}$ saysıından bağımsız olarak alınabilir ve ${\displaystyle g(z)}$ fonksiyonu polinom olur. Böylece, $${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})}$$where ${\displaystyle a_{k}}$ yazılabilir. Burada,

• ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle f}$ fonksiyonun kökleri; yani, sıfır değeri aldığı ve ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$ sağlayan noktalar,
• ${\displaystyle m}$ ise ${\displaystyle f}$'nin sıfır noktasındaki katlılığı; elbette, ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ ise ${\displaystyle m=0}$ olacaktır,
• ${\displaystyle P}$, derecesi ${\displaystyle q}$ olan bir polinom
• ${\displaystyle p}$ ise ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}$ serisini yakınsak yapan en küçük negatif olmayan tamsayıdır.

Teoremin bu hâli, doğal Hadamard temsilidir.^[5] Negatif olmayan ${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$ sayısına ${\displaystyle f}$ tam fonksiyonunun cinsi (İng. genus) denir. Eğer ${\displaystyle f}$ tam fonksiyonsa, o hâlde, bu fonksiyonun büyüme mertebesi ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle g\leq \rho \leq g+1}$$ eşitsizliğini sağlamak zorundadır. Başka bir deyişle, büyüme mertebesi ${\displaystyle \rho }$ tamsayı değilse, o zaman ${\displaystyle g=[\rho ]}$ olur. Eğer, büyüme mertebesi ${\displaystyle \rho }$ pozitif bir tamsayı ise iki durum ortaya çıkar: ${\displaystyle g=\rho -1}$ ya da ${\displaystyle g=\rho }$.

Örnek vermek gerekirse, karmaşık düzlemdeki sinüs, kosinüs ve üstel fonksiyonları tam fonksiyonlardır ve cinsleri (genusları) ${\displaystyle g=\rho =1}$dir.

• Mittag-Leffler teoremi
• Bu teoremin sinüs fonksiyonuna uygulanmasıyla elde edilebilecek Wallis çarpımı
• Blaschke çarpımı

1. ^ z= 0'da m = 0 katlılığı ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ anlamına gelir. Diğer deyişle, fonksiyonun sıfır noktasında sıfırı yoktur.

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Weierstrass theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Visualization of the Weierstrass factorization of the sine function due to Euler, Wayback Machine sitesinde (30 Kasım 2018 tarihinde arşivlendi)