Gamma Reel eksen boyunca gama fonksiyonu
Genel tanım
Γ Γ -->
(
z
)
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
t
z
− − -->
1
e
− − -->
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}
Uygulama alanları Kalkülüs , matematiksel analiz , istatistik , fizik
Gama fonksiyonu , matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur . Г simgesiyle gösterilir.
Γ Γ -->
(
z
)
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
t
z
− − -->
1
e
− − -->
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }\,t^{z-1}\,e^{-t}dt}
Γ Γ -->
(
n
)
=
(
n
− − -->
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır, pozitif tam sayı olmalıdır.
Öncelikle;
(
n
+
1
)
n
!
=
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle (n+1)n!=(n+1)!}
n
=
0
{\displaystyle n=0}
1.0
!
=
1
!
=
1
{\displaystyle 1.0!=1!=1}
Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.
n
=
1
/
2
{\displaystyle n=1/2}
(
3
/
2
)
(
1
/
2
)
!
=
(
3
/
2
)
!
{\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!}
(
3
/
2
)
(
1
/
2
)
!
=
(
3
/
2
)
!
{\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!}
(
3
/
2
)
!
/
(
1
/
2
)
!
=
3
/
2
{\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2}
Γ Γ -->
(
n
)
=
(
n
− − -->
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
Γ Γ -->
(
5
/
2
)
{\displaystyle \Gamma (5/2)}
(
3
/
2
)
!
{\displaystyle (3/2)!}
Γ Γ -->
(
3
/
2
)
{\displaystyle \Gamma (3/2)}
(
1
/
2
)
!
{\displaystyle (1/2)!}
Γ Γ -->
(
5
/
2
)
=
3
π π -->
4
≈ ≈ -->
1.329
Γ Γ -->
(
3
/
2
)
=
π π -->
2
≈ ≈ -->
0.886
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\end{array}}}
Γ Γ -->
(
5
/
2
)
/
Γ Γ -->
(
3
/
2
)
=
3
/
2
{\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2}
Bu da
Γ Γ -->
(
5
/
2
)
/
Γ Γ -->
(
3
/
2
)
=
3
/
2
{\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2}
(
3
/
2
)
!
/
(
1
/
2
)
!
=
3
/
2
{\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2}
karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu Bu çift
Γ Γ -->
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z' nin gerçel kısmı (Re[z ] > 0) şeklindedir. integral 'i
Γ Γ -->
(
z
)
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
t
z
− − -->
1
e
− − -->
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}
Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.
Γ Γ -->
(
z
+
1
)
=
z
Γ Γ -->
(
z
)
(1)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\qquad {\text{(1)}}}
n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir .
Γ Γ -->
(
1
)
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
e
− − -->
t
d
t
=
lim
k
→ → -->
∞ ∞ -->
− − -->
e
− − -->
t
|
0
k
=
− − -->
0
− − -->
(
− − -->
1
)
=
1
(2)
{\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1\qquad {\text{(2)}}}
Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor.
Bütün n Doğal sayılar 'ı için .
Γ Γ -->
(
n
+
1
)
=
n
Γ Γ -->
(
n
)
=
n
(
n
− − -->
1
)
Γ Γ -->
(
n
− − -->
1
)
=
⋯ ⋯ -->
=
n
!
Γ Γ -->
(
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=n\,(n-1)\,\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}
Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri .
Γ Γ -->
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (z . = −n basit kutbu ile rezidü (−1) n /n !).[ 1]
0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından
Γ Γ -->
(
z
)
=
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
⋯ ⋯ -->
(
z
+
n
)
=
1
z
∏ ∏ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
(
1
+
1
n
)
z
1
+
z
n
Γ Γ -->
(
z
)
=
e
− − -->
γ γ -->
z
z
∏ ∏ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
(
1
+
z
n
)
− − -->
1
e
z
/
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\\end{aligned}}}
burada γ, Euler-Mascheroni sabiti 'dir.
yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi
basitleştirilmiş şekli,
Γ Γ -->
(
z
+
1
)
=
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
n
!
(
n
)
z
+
1
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
⋯ ⋯ -->
(
z
+
n
+
1
)
=
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
(
z
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
⋯ ⋯ -->
(
z
+
n
)
(
n
)
(
z
+
n
+
1
)
)
=
z
Γ Γ -->
(
z
)
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
(
n
)
(
z
+
n
+
1
)
=
z
Γ Γ -->
(
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n)^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n+1)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}}
değişik bir gösterim...
Γ Γ -->
(
z
+
1
)
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
e
− − -->
t
1
/
z
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!}
Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları 'nın
terimleri içinde verilir;
Γ Γ -->
(
z
)
=
t
z
⋅ ⋅ -->
∑ ∑ -->
n
=
0
L
n
(
z
)
(
t
)
z
+
n
{\displaystyle \Gamma (z)=t^{z}\cdot \sum _{n=0}{\frac {L_{n}^{(z)}(t)}{z+n}}}
ℜ ℜ -->
(
z
)
<
1
2
{\displaystyle \Re (z)<{\frac {1}{2}}}
Mutlak değer
Gerçel kısım
Sanal kısım
Mathematica'da kendi kendine yapılan Γ fonksiyonunun mutlak değerinin 3B grafiği (mupad'deki önceki sürümler)
Pi fonksiyonu
Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor, gama fonksiyonu terimleri yardımıyla
Π Π -->
(
z
)
=
Γ Γ -->
(
z
+
1
)
=
z
Γ Γ -->
(
z
)
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
e
− − -->
t
t
z
d
t
,
{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t,}
böylece
her negatif olmayan n için.
Π Π -->
(
n
)
=
n
!
,
{\displaystyle \Pi (n)=n!,}
Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır
Π Π -->
(
z
)
Π Π -->
(
− − -->
z
)
=
π π -->
z
sin
-->
(
π π -->
z
)
=
1
sinc
-->
(
z
)
{\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}
burada sinc normalize sinc fonksiyonudur , eğer çarpım teoremi formu alınırsa
Π Π -->
(
z
m
)
Π Π -->
(
z
− − -->
1
m
)
⋯ ⋯ -->
Π Π -->
(
z
− − -->
m
+
1
m
)
=
(
2
π π -->
)
m
− − -->
1
2
m
− − -->
z
− − -->
1
2
Π Π -->
(
z
)
.
{\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z).}
ayrıca bazen
π π -->
(
z
)
=
1
Π Π -->
(
z
)
,
{\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},}
bulunur.
yukardaki bir Tam fonksiyon 'dur, çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z ) hiçbir kutuba sahip değildir, Π(z )de, Γ(z ) gibi,sıfır yok idi.
ilgilenenler için, yarıçap
r
1
,
.
.
.
,
r
n
{\displaystyle r_{1},...,r_{n}}
bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.
V
n
(
r
1
,
.
.
.
,
r
n
)
=
π π -->
n
2
Π Π -->
(
n
2
)
∏ ∏ -->
k
=
1
n
r
k
{\displaystyle V_{n}(r_{1},...,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi ({\frac {n}{2}})}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}}
Γ Γ -->
(
− − -->
3
/
2
)
=
4
π π -->
3
≈ ≈ -->
2.363
Γ Γ -->
(
− − -->
1
/
2
)
=
− − -->
2
π π -->
≈ ≈ -->
− − -->
3.545
Γ Γ -->
(
1
/
2
)
=
π π -->
≈ ≈ -->
1.772
Γ Γ -->
(
1
)
=
0
!
=
1
Γ Γ -->
(
3
/
2
)
=
π π -->
2
≈ ≈ -->
0.886
Γ Γ -->
(
2
)
=
1
!
=
1
Γ Γ -->
(
5
/
2
)
=
3
π π -->
4
≈ ≈ -->
1.329
Γ Γ -->
(
3
)
=
2
!
=
2
Γ Γ -->
(
7
/
2
)
=
15
π π -->
8
≈ ≈ -->
3.323
Γ Γ -->
(
4
)
=
3
!
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}
1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,
∫ ∫ -->
a
a
+
1
log
-->
Γ Γ -->
(
t
)
d
t
=
1
2
log
-->
2
π π -->
+
a
log
-->
a
− − -->
a
,
a
≥ ≥ -->
0.
{\displaystyle \int \limits _{a}^{a+1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a\geq 0.}
özel olarak, eğer
a
=
0
{\displaystyle a=0}
∫ ∫ -->
0
1
log
-->
Γ Γ -->
(
t
)
d
t
=
1
2
log
-->
2
π π -->
.
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}
Notlar
^ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics . United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman )
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.(See Chapter 6) 17 Şubat 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi .
Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection ; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66 , 849-869 (1959)
Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C (See Section 6.1.)
Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function . In PostScript 4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi . and HTML 4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi . formats.
Wikimedia Commons'ta
Gama fonksiyonu ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.
Askey, R. A. ; Roy, R. (2010), "Gama fonksiyonu" , Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248 Cephes 8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi . - C and C++ language special functions math libraryExamples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com .
Gamma function calculator Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision) 28 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi .Şablon:WolframFunctionsSite Volume of n-Spheres and the Gamma Function 5 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi . at MathPagesComputing the Gamma function 31 Aralık 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi . - various algorithmsOnline tool to graph functions which contain the Gamma function Eric W. Weisstein , Gamma function MathWorld )"Elementary Proofs and Derivations" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi ."Transformations, Identities and Special Values" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi . 
