Sinc fonksiyonu matematik, fizik ve mühendislikte kullanılan bir trigonometrik fonksiyondur. Fonksiyonun normalize edilmemiş ve normalize edilmiş iki şekli vardır.
Fonksiyon
Normalize edilmemiş sinc(x) ve cos (x).
s
i
n
c
(
x
)
=
s
i
n
(
x
)
x
{\displaystyle sinc(x)={\frac {sin(x)}{x}}}
s
i
n
c
(
0
)
:=
lim
x
→ → -->
0
sin
-->
(
a
x
)
a
x
=
1
{\displaystyle sinc(0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}
Fonksiyon Taylor serisi ile ifade edilirse,
sin
-->
x
x
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
x
2
n
(
2
n
+
1
)
!
=
1
− − -->
x
2
3
!
+
x
4
5
!
− − -->
x
6
7
!
+
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
sinc
-->
(
n
)
=
sinc
-->
(
1
)
+
sinc
-->
(
2
)
+
sinc
-->
(
3
)
+
sinc
-->
(
4
)
+
⋯ ⋯ -->
=
π π -->
− − -->
1
2
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}
Bu fonksiyonun türevi ,
d
d
x
s
i
n
c
(
x
)
=
c
o
s
(
x
)
− − -->
s
i
n
c
(
x
)
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}sinc(x)={\frac {cos(x)-sinc(x)}{x}}}
Normalize ve normalize olmayan sinc (x)
s
i
n
c
(
x
)
=
s
i
n
(
π π -->
x
)
π π -->
x
{\displaystyle sinc(x)={\frac {sin(\pi x)}{\pi x}}}
sin
-->
π π -->
x
π π -->
x
=
1
− − -->
π π -->
2
x
2
3
!
+
π π -->
4
x
4
5
!
− − -->
π π -->
6
x
6
7
!
+
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }
