Matematiksel seriler listesi

Aşağıdaki matematiksel seriler listesi, sonlu ve sonsuz toplamlar için formüller içerir. Toplamları değerlendirmek için diğer araçlarla birlikte kullanılabilir.

Kuvvetler toplamı

Bkz. Faulhaber formülü.

İlk birkaç değer şunlardır:

Bkz. zeta sabitleri.

İlk birkaç değer şunlardır:

  • (Basel problemi)

Kuvvet serileri

Düşük mertebeli polilogaritmalar

Sonlu toplamlar:

  • , (geometrik seri)

Sonsuz toplamlar, için geçerli (bkz. polilogaritma):

Aşağıdaki, düşük tam sayı mertebeli polilogaritmaları kapalı form içinde özyinelemeli olarak hesaplamak için yararlı bir özelliktir:

Üstel fonksiyon

  • (bkz. Poisson dağılımı ortalaması)
  • (bkz. Poisson dağılımının ikinci momenti)

burada; Touchard polinomlarıdır.

Trigonometrik, ters trigonometrik, hiperbolik ve ters hiperbolik fonksiyonlar ilişkisi

  • (versine)
  • [1] (haversine)

Değiştirilmiş faktöriyel paydalar

  • [2]
  • [2]

Binom katsayıları

  • (bkz Binom teoremi § Genelleştirilmiş Newton binom teoremi)
  • [3]
  • [3] , Catalan sayıları üreteç fonksiyonu
  • [3] , Merkezi binom katsayıları üreteç fonksiyonu
  • [3]

Harmonik sayılar

(Bkz harmonik sayılar, kendileri olarak tanımlanmıştır)

  • [2]
  • [2]

Binom katsayıları

  • (bkz Çoklu küme)
  • (bkz Vandermonde özdeşliği)

Trigonometrik fonksiyonlar

Sinüsler ve kosinüsler toplamı, Fourier serileri'nde ortaya çıkar.

  • ,[4]
  • [5]
  • [6]

Rasyonel fonksiyonlar

  • [7]
  • 'nin herhangi bir rasyonel fonksiyon'unun sonsuz bir serisi, burada açıklandığı gibi kısmi kesirlere ayrıştırma[8] kullanılarak poligama fonksiyonu'nun sonlu bir serisine indirgenebilir. Bu gerçek, rasyonel fonksiyonların sonlu serilerine de uygulanabilir ve seri çok sayıda terim içerdiğinde bile sonucun sabit zamanda hesaplanmasına izin verir.

Üstel fonksiyon

  • (bkz. Landsberg–Schaar bağıntısı)

Nümerik seriler

Bu numerik seriler, yukarıda listelenen serilerdeki sayılar eklenerek bulunabilir.

Alternatif harmonik seriler

Faktöriyellerin tersinin toplamı

Trigonometri ve π

Üçgensel sayıların tersi

Burada;

Dörtyüzlüsel sayıların tersi

Burada;

Üstel ve logaritmalar

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Haversine". MathWorld. Wolfram Research, Inc. 10 Mart 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Kasım 2015. 
  2. ^ a b c d Wilf, Herbert R. (1994). generatingfunctionology (PDF). Academic Press, Inc. 27 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 13 Temmuz 2023. 
  3. ^ a b c d "Theoretical computer science cheat sheet" (PDF). 10 Haziran 2003 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
  4. ^ fonksiyonun Fourier açılımını aralığında hesaplayın:
  5. ^ "Bernoulli polynomials: Series representations (subsection 06/02)". Wolfram Research. 28 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Haziran 2011. 
  6. ^ Hofbauer, Josef. "A simple proof of 1 + 1/22 + 1/32 + ··· = π2/6 and related identities" (PDF). 20 Temmuz 2007 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Haziran 2011. 
  7. ^ Sondow, Jonathan; Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function (eq. 52)". MathWorld—A Wolfram Web Resource. 17 Ağustos 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  8. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene (1964). "6.4 Polygamma functions". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. s. 260. ISBN 0-486-61272-4. 

Kaynakça

  • İntegraller listesi içeren birçok kitapta, seriler listesi de vardır.