Trigonometride, kotanjant teoremi veya kotanjantlar yasası, bir üçgenin kenar uzunlukları ile üç iç açısının yarılarının kotanjantları arasındaki ilişkidir.[1][2]
Bir üçgen için olağan gösterimleri kullanarak (sağ üstteki şekle bakın), burada a, b, c üç kenarın uzunlukları, A, B, C bu üç ilgili kenarın karşısındaki köşeler, α, β, γ bu köşelerdeki karşılık gelen açılar, syarıçap, yani s = a + b + c/2 ve r çizilen dairenin yarıçapıdır, kotanjant yasası şunu belirtir:
ve ayrıca iç teğet çemberin yarıçapı şu şekilde verilir:
Kanıt
Üstteki şekilde, çemberin üçgenin kenarlarına teğet noktaları çevreyi 3 çift halinde 6 parçaya bölmektedir. Her çiftte doğru parçaları eşit uzunluktadır. Örneğin, A tepe noktasına bitişik 2 parça eşittir. Her çiftten bir parça seçersek, bunların toplamı yarıçap olacaktır. s. Bunun bir örneği şekilde renkli olarak gösterilen parçalardır. Kırmızı çizgiyi oluşturan iki parçanın toplamı a'dır, bu nedenle mavi parça (s - a) uzunluğunda olmalıdır. Açıktır ki, diğer beş parçanın uzunlukları da alttaki şekilde gösterildiği gibi, (s - a), (s - b) veya (s - c)'dir.
Şekli inceleyerek ve kotanjant fonksiyonunun tanımını kullanarak, şu sonuca varırız:
ve diğer iki açı için de benzer şekilde, ilk önermeyi kanıtlayarak.
İlk bölümde elde edilen değerleri yerine koyduğumuzda şunu elde ederiz:
r3/s ile çarpıldığında r2 değeri elde edilir ve ikinci önerme kanıtlanmış olur.
Kotanjantlar yasasını kullanan bazı kanıtlar
Kotanjantlar yasasından bir dizi başka sonuç türetilebilir.
Heron formülü. ABC üçgeninin alanının da 3 çift halinde 6 küçük üçgene bölündüğünü ve her çiftteki üçgenlerin aynı alana sahip olduğunu unutmayın. Örneğin, A tepe noktasının yakınındaki iki üçgen, tabanı (s - a) ve yükseklik r olan dik üçgenlerdir, her birinin alanı 1/2r(s - a)'dır. Dolayısıyla, bu iki üçgen birlikte r(s - a) alanına sahiptir ve bu nedenle tüm üçgenin S alanı;
"Kotanjant yasası" olarak adlandırılan diğer özdeşlikler
Kotanjantlar yasası, sinüsler yasası, kosinüsler yasası veya tanjantlar yasası kadar yaygın veya iyi kurulmuş değildir, bu nedenle aynı isim bazen kotanjantları içeren diğer üçgen özdeşliklerine de uygulanır. Örneğin:
İki açının kotanjantlarının toplamı, aralarındaki kenarın üçüncü tepe noktasından geçen yükseklik oranına eşittir:[3]
Kosinüs yasası, kosinüs yerine kotanjant cinsinden ifade edilebilir, bu da üçgenin alanını özdeşliğine dönüştürür:[4]
Bir üçgenin üç açısının toplamı olduğundan, bu açıların kotanjantlarının ikili çarpımlarının toplamı birdir:[5]
^The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
^It is called the 'theorem of the cotangents' in Apolinar, Efraín (2023). Illustrated glossary for school mathematics. ss. 260-261. ISBN9786072941311.
^
Gilli, Angelo C. (1959). "F-10c. The Cotangent Law". Transistors. Prentice-Hall. ss. 266-267.