Trigonometrik fonksiyonları tanımlamanın birkaç eşdeğer yolu vardır ve bunlar arasındaki trigonometrik özdeşliklerin kanıtları seçilen tanıma bağlıdır. En eski ve en temel tanımlar dik üçgenlerin geometrisine ve kenarları arasındaki orana dayanır. Bu makalede verilen kanıtlar bu tanımları kullanır ve dolayısıyla bir dik açıdan büyük olmayan negatif olmayan açılar için geçerlidir. Daha büyük ve negatif açılar için Trigonometrik fonksiyonlar bölümüne bakınız.

Diğer tanımlar ve dolayısıyla diğer kanıtlar sinüs ve kosinüsün Taylor serisine veya ${\displaystyle f''+f=0}$ diferansiyel denkleminin çözümlerine dayanır.

Altı trigonometrik fonksiyon, bazıları için 0'dan dik açının (90°) katları kadar farklı olan açılar hariç, her gerçel sayı için tanımlanmıştır. Sağdaki diyagrama bakılırsa, θ'nın altı trigonometrik fonksiyonu, dik açıdan daha küçük açılar içindir:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {a}{h}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {b}{h}}}$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}}}={\frac {a}{b}}}$

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}}}={\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}}}={\frac {h}{b}}}$

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}}}={\frac {h}{a}}}$

Bir dik açıdan daha küçük açılar söz konusu olduğunda, aşağıdaki özdeşlikler bölme özdeşliği aracılığıyla yukarıdaki tanımların doğrudan sonuçlarıdır

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\left({\frac {a}{h}}\right)}{\left({\frac {b}{h}}\right)}}.}$

90°'den büyük açılar ve negatif açılar için geçerli olmaya devam ederler.

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}}}={\frac {\left({\frac {\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}}}\right)}{\left({\frac {\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}}}\right)}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}$

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}}}={\frac {\left({\frac {\text{komşu kenar}}{\text{komşu kenar}}}\right)}{\left({\frac {\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}}}\right)}}={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}$

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}}}}$

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}={\frac {\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}}}}$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}}}={\frac {\left({\frac {{\text{karşı kenar}}\times {\text{hipotenüs}}}{{\text{karşı kenar}}\times {\text{komşu kenar}}}}\right)}{\left({\frac {{\text{komşu kenar}}\times {\text{hipotenüs}}}{{\text{karşı kenar}}\times {\text{komşu kenar}}}}\right)}}={\frac {\left({\frac {\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}}}\right)}{\left({\frac {\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}}}\right)}}={\frac {\sec \theta }{\csc \theta }}}$

Veya

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left({\frac {1}{\csc \theta }}\right)}{\left({\frac {1}{\sec \theta }}\right)}}={\frac {\left({\frac {\csc \theta \sec \theta }{\csc \theta }}\right)}{\left({\frac {\csc \theta \sec \theta }{\sec \theta }}\right)}}={\frac {\sec \theta }{\csc \theta }}}$

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\csc \theta }{\sec \theta }}}$

Toplamı π/2 radyan (90 derece) olan iki açı "tümler (veya tamamlayıcı veya dikler)”dir. Şekilde, A ve B köşelerindeki açılar tümlerdir, bu nedenle a ve b'yi değiştirebilir ve θ'yı π/2 - θ olarak değiştirerek elde edebiliriz:

${\displaystyle \sin \left(\pi /2-\theta \right)=\cos \theta }$

${\displaystyle \cos \left(\pi /2-\theta \right)=\sin \theta }$

${\displaystyle \tan \left(\pi /2-\theta \right)=\cot \theta }$

${\displaystyle \cot \left(\pi /2-\theta \right)=\tan \theta }$

${\displaystyle \sec \left(\pi /2-\theta \right)=\csc \theta }$

${\displaystyle \csc \left(\pi /2-\theta \right)=\sec \theta }$

Özdeşlik 1:

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$

Bu ve oran özdeşliklerinden aşağıdaki iki sonuç çıkar. İlkini elde etmek için, ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$ ifadesinin her iki tarafını ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$'ya ikincisi için ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$'ya bölün.

${\displaystyle \tan ^{2}\theta +1\ =\sec ^{2}\theta }$

${\displaystyle \sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta =1}$

Benzer şekilde,

${\displaystyle 1\ +\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$

${\displaystyle \csc ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =1}$

Özdeşlik 2:

Aşağıda her üç ters fonksiyon da açıklanmaktadır.

${\displaystyle \csc ^{2}\theta +\sec ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =2\ +\tan ^{2}\theta }$

İspat 2:

Yukarıdaki üçgen şekline bakınız. Pisagor teoremine göre ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$ olduğuna dikkat edin.

${\displaystyle \csc ^{2}\theta +\sec ^{2}\theta ={\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {h^{2}}{b^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}=2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}$

Uygun fonksiyonlarla yer değiştirdiğimizde -

${\displaystyle 2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\ +\tan ^{2}\theta +\cot ^{2}\theta }$

Yeniden düzenlersek:

${\displaystyle \csc ^{2}\theta +\sec ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =2\ +\tan ^{2}\theta }$

Yatay bir çizgi (x-ekseni) çizin; bir O orijini işaretleyin. O'dan yatay çizginin üzerinde ${\displaystyle \alpha }$ açısında bir çizgi ve bunun üzerinde ${\displaystyle \beta }$ açısında ikinci bir çizgi çizin; ikinci çizgi ile x-ekseni arasındaki açı ${\displaystyle \alpha +\beta }$'dır.

P'yi ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ile tanımlanan doğru üzerine orijinden birim uzaklıkta yerleştirin.

PQ, ${\displaystyle \alpha }$ açısıyla tanımlanan OQ doğrusuna dik bir doğru olsun ve bu doğru üzerindeki Q noktasından P noktasına çizilsin. ${\displaystyle \therefore }$ OQP bir dik açıdır.

QA, x-ekseni üzerindeki A noktasından Q'ya ve PB, x-ekseni üzerindeki B noktasından P'ye bir dik olsun.

QR x-eksenine paralel olacak şekilde R'yi PB üzerine çizin.

Şimdi ${\displaystyle RPQ=\alpha }$ açısı (çünkü ${\displaystyle OQA={\frac {\pi }{2}}-\alpha }$, ${\displaystyle RQO=\alpha ,RQP={\frac {\pi }{2}}-\alpha }$ ve son olarak ${\displaystyle RPQ=\alpha }$ yapar.)

${\displaystyle RPQ={\tfrac {\pi }{2}}-RQP={\tfrac {\pi }{2}}-({\tfrac {\pi }{2}}-RQO)=RQO=\alpha }$

${\displaystyle OP=1}$

${\displaystyle PQ=\sin \beta }$

${\displaystyle OQ=\cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {AQ}{OQ}}=\sin \alpha }$, so ${\displaystyle AQ=\sin \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {PR}{PQ}}=\cos \alpha }$, so ${\displaystyle PR=\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=PB=RB+PR=AQ+PR=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \beta }$ yerine ${\displaystyle -\beta }$ koyarak ve tek ve çift fonksiyonlar için yansıma özdeşliklerini kullanarak da elde ederiz:

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos(-\beta )+\cos \alpha \sin(-\beta )}$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }$

Yukarıdaki şekli kullanarak,

${\displaystyle OP=1}$

${\displaystyle PQ=\sin \beta }$

${\displaystyle OQ=\cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {OA}{OQ}}=\cos \alpha }$, so ${\displaystyle OA=\cos \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {RQ}{PQ}}=\sin \alpha }$, so ${\displaystyle RQ=\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=OB=OA-BA=OA-RQ=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \beta }$ yerine ${\displaystyle -\beta }$ koyarak ve tek ve çift fonksiyonlar için yansıma özdeşliklerini kullanarak da elde ederiz:

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos(-\beta )-\sin \alpha \sin(-\beta ),}$

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }$

Ayrıca, tümler açı formülleri kullanılarak,

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\sin \left(\pi /2-(\alpha +\beta )\right)\\&=\sin \left((\pi /2-\alpha )-\beta \right)\\&=\sin \left(\pi /2-\alpha \right)\cos \beta -\cos \left(\pi /2-\alpha \right)\sin \beta \\&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\end{aligned}}}$

Sinüs ve kosinüs formüllerinden şunu elde ederiz

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}}$

Hem pay hem de paydayı ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$ ile bölersek, şunu elde ederiz

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}$

${\displaystyle \beta }$ değerini, ${\displaystyle \alpha }$ değerinden ${\displaystyle \tan(-\beta )=-\tan \beta }$ eşitliği yardımıyla çıkarırsak,

${\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan(-\beta )}{1-\tan \alpha \tan(-\beta )}}={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}}$

Benzer şekilde, sinüs ve kosinüs formüllerinden şunu elde ederiz

${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}={\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }}}$

Daha sonra hem pay hem de paydayı ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta }$ ile bölerek şunu elde ederiz

${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}}$

Ya da ${\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}}$ eşitliğini kullanarak,

${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {1-\tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}={\frac {{\frac {1}{\tan \alpha \tan \beta }}-1}{{\frac {1}{\tan \alpha }}+{\frac {1}{\tan \beta }}}}={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}}$

${\displaystyle \cot(-\beta )=-\cot \beta }$ eşitliğini kullanarak,

${\displaystyle \cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot(-\beta )-1}{\cot \alpha +\cot(-\beta )}}={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}}$

Açı toplam özdeşliklerinden şunu elde ederiz

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$

ve

${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }$

Pisagor özdeşlikleri bunlardan ikincisi için iki alternatif form verir:

${\displaystyle \cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1}$

${\displaystyle \cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}\theta }$

Açı toplam özdeşlikleri de şunları verir

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2}{\cot \theta -\tan \theta }}}$

${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}}$

Ayrıca Euler formülü kullanılarak da kanıtlanabilir.

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$

Her iki tarafın karesi alındığında

${\displaystyle e^{i2\varphi }=(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}}$

Ancak açıyı, denklemin sol tarafında aynı sonucu veren iki katına çıkarılmış versiyonu ile değiştirirsek

${\displaystyle e^{i2\varphi }=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$

Bundan şu sonuç çıkar

${\displaystyle (\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$.

Kareyi genişletmek ve denklemin sol tarafını sadeleştirmek şu sonucu verir

${\displaystyle i(2\sin \varphi \cos \varphi )+\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \ =\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$.

Sanal ve gerçek kısımlar aynı olmak zorunda olduğundan, orijinal özdeşliklerle baş başa kalırız

${\displaystyle \cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \ =\cos 2\varphi }$,

ve ayrıca

${\displaystyle 2\sin \varphi \cos \varphi =\sin 2\varphi }$.

cos 2θ için alternatif formları veren iki özdeşlik aşağıdaki denklemlere yol açar:

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}.}$

Karekök işaretinin doğru seçilmesi gerekir -θ'ya 2π eklenirse, kareköklerin içindeki büyüklüklerin değişmediğini, ancak denklemlerin sol taraflarının işaret değiştirdiğini unutmayın. Bu nedenle, kullanılacak doğru işaret θ değerine bağlıdır.

Tan fonksiyonu için denklem şöyledir:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}.}$

Daha sonra karekök içindeki pay ve paydayı (1 + cos θ) ile çarpmak ve Pisagor özdeşliklerini kullanmak şu sonucu verir:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}.}$

Ayrıca, pay ve paydanın her ikisi de (1 - cos θ) ile çarpılırsa, sonuç şu olur:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}.}$

Bu aynı zamanda şunu da verir:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta -\cot \theta .}$

Benzer düzenlemeler cot fonksiyonu için de geçerlidir:

${\displaystyle \cot {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta .}$

Eğer ${\displaystyle \psi +\theta +\phi =\pi =}$ yarım çember ise (örneğin, ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \theta }$ ve ${\displaystyle \phi }$ bir üçgenin açılarıdır),

${\displaystyle \tan(\psi )+\tan(\theta )+\tan(\phi )=\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi ).}$

İspat:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\pi -\theta -\phi \\\tan(\psi )&=\tan(\pi -\theta -\phi )\\&=-\tan(\theta +\phi )\\&={\frac {-\tan \theta -\tan \phi }{1-\tan \theta \tan \phi }}\\&={\frac {\tan \theta +\tan \phi }{\tan \theta \tan \phi -1}}\\(\tan \theta \tan \phi -1)\tan \psi &=\tan \theta +\tan \phi \\\tan \psi \tan \theta \tan \phi -\tan \psi &=\tan \theta +\tan \phi \\\tan \psi \tan \theta \tan \phi &=\tan \psi +\tan \theta +\tan \phi \\\end{aligned}}}$

Eğer ${\displaystyle \psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}=}$ çeyrek çember ise,

${\displaystyle \cot(\psi )+\cot(\theta )+\cot(\phi )=\cot(\psi )\cot(\theta )\cot(\phi )}$.

İspat:

${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \theta }$ ve ${\displaystyle \phi }$ açılarının her birini tümler açılarıyla değiştirin, böylece kotanjantlar tanjantlara dönüşür ve bunun tersi de geçerlidir.

${\displaystyle \psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \therefore ({\tfrac {\pi }{2}}-\psi )+({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )+({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-(\psi +\theta +\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {\pi }{2}}=\pi }$

verildiğinde sonuç üçlü tanjant özdeşliğinden çıkar.

• ${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

İlk olarak, toplam-açı özdeşlikleri ile başlayın:

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }$

Bunları toplayarak,

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =2\sin \alpha \cos \beta }$

Benzer şekilde, iki toplam açı özdeşliğini çıkararak,

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \alpha +\beta =\theta }$ ve ${\displaystyle \alpha -\beta =\phi }$ olsun,

${\displaystyle \therefore \alpha ={\frac {\theta +\phi }{2}}}$ ve ${\displaystyle \beta ={\frac {\theta -\phi }{2}}}$

${\displaystyle \theta }$ ve ${\displaystyle \phi }$ yerine

${\displaystyle \sin \theta +\sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \sin \theta -\sin \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)=2\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)}$

Dolayısıyla,

${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)}$

Benzer şekilde kosinüs için de toplam-açı özdeşlikleri ile başlayın:

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }$

Tekrar, toplama ve çıkarma yaparak

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =-2\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \theta }$ ve ${\displaystyle \phi }$ değerlerini daha önce olduğu gibi yerine koyun,

${\displaystyle \cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

Sağdaki şekil, yarıçapı 1 olan bir çemberin bir sektörünü göstermektedir. Sektör tüm çemberin θ/(2π)'sıdır, dolayısıyla alanı θ/2'dir. Burada θ' < π/2.

${\displaystyle OA=OD=1}$

${\displaystyle AB=\sin \theta }$

${\displaystyle CD=\tan \theta }$

OAD üçgeninin alanı AB/2 veya sin(θ)/2'dir. Üçgenin OCD alanı CD/2 veya tan(θ)/2'dir.

OAD üçgeni tamamen sektörün içinde yer aldığından ve sektör de tamamen OCD üçgeninin içinde yer aldığından,

${\displaystyle \sin \theta <\theta <\tan \theta .}$

Bu geometrik argüman, varsayım olarak hareket eden yay uzunluğu ve alan tanımlarına dayanır, bu nedenle kanıtlanabilir bir özellikten ziyade trigonometrik fonksiyonların yapımında dayatılan bir koşuldur.^[2] Sinüs fonksiyonu için diğer değerleri de ele alabiliriz. Eğer θ > π/2 ise, θ > 1. Ancak sin θ ≤ 1 (Pisagor özdeşliği nedeniyle), bu nedenle sin θ < θ. O halde elimizde,

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}<1\ \ \ \ \ 0<\theta \ \ \ \mathrm {ise} .}$

Negatif θ değerleri için sinüs fonksiyonunun simetrisi gereği

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}={\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}<1.}$

Dolayısıyla

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}<1\quad {\text{ }}\quad \theta \neq 0\quad {\text{ ise}},}$

ve

${\displaystyle {\frac {\tan \theta }{\theta }}>1\quad {\text{ }}\quad 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ ise}}.}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\sin \theta }=0}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\cos \theta }=1}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1}$

Başka bir deyişle, sinüs fonksiyonu 0'da türevlenebilirdir ve türevi 1'dir.

İspat: Önceki eşitsizliklerden, küçük açılar için

${\displaystyle \sin \theta <\theta <\tan \theta }$,

Bu nedenle,

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}<1<{\frac {\tan \theta }{\theta }}}$,

Sağ taraftaki eşitsizliği göz önünde bulundurun. O zaman,

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}$

${\displaystyle \therefore 1<{\frac {\sin \theta }{\theta \cos \theta }}}$

${\displaystyle \cos \theta }$ ile çarpın

${\displaystyle \cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}}$

Sol taraftaki eşitsizlik ile birleştirildiğinde:

${\displaystyle \cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}<1}$

${\displaystyle \cos \theta }$ değerinin ${\displaystyle \theta \to 0}$ limitini alırsak

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\cos \theta }=1}$

Böylece,

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}=0}$

İspat:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}&={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\theta (1+\cos \theta )}}\\&={\frac {\sin ^{2}\theta }{\theta (1+\cos \theta )}}\\&=\left({\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\times \sin \theta \times \left({\frac {1}{1+\cos \theta }}\right)\\\end{aligned}}}$

Bu üç niceliğin limitleri 1, 0 ve 1/2'dir, dolayısıyla sonuçta elde edilen limit sıfırdır.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

İspat:

Önceki kanıtta olduğu gibi,

${\displaystyle {\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}\times {\frac {\sin \theta }{\theta }}\times {\frac {1}{1+\cos \theta }}.}$

Bu üç niceliğin limitleri 1, 1 ve 1/2'dir, dolayısıyla ortaya çıkan limit 1/2'dir.

Tüm bu fonksiyonlar, Pisagor trigonometrik özdeşliğinden kaynaklanır. Örneğin şu fonksiyonu kanıtlayabiliriz

${\displaystyle \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

İspat:

Şuradan başlayalım;

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$ (I)

Daha sonra bu (I) denklemini ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$'a bölersek

${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1}{\tan ^{2}\theta +1}}}$ (II)

${\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta ={\frac {1}{\tan ^{2}\theta +1}}}$

Ardından ${\displaystyle \theta =\arctan(x)}$ ifadesini yerine koyun:

${\displaystyle 1-\sin ^{2}[\arctan(x)]={\frac {1}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}[\arctan(x)]={\frac {\tan ^{2}[\arctan(x)]}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}}$

Daha sonra ${\displaystyle \tan[\arctan(x)]\equiv x}$ özdeşliğini kullanırız.

${\displaystyle \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$ (III)

Ve ilk Pisagor trigonometrik özdeşliği kanıtlandı...

Benzer şekilde bu (I) denklemini ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$'e bölersek

${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {\frac {1}{1}}{1+{\frac {1}{\tan ^{2}\theta }}}}}$ (II)

${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {\tan ^{2}\theta }{\tan ^{2}\theta +1}}}$

Ardından ${\displaystyle \theta =\arctan(x)}$ ifadesini yerine koyun:

${\displaystyle \sin ^{2}[\arctan(x)]={\frac {\tan ^{2}[\arctan(x)]}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}}$

Daha sonra ${\displaystyle \tan[\arctan(x)]\equiv x}$ özdeşliğini kullanırız.

${\displaystyle \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$ (III)

Ve ilk Pisagor trigonometrik özdeşliği kanıtlandı...

${\displaystyle [\arctan(x)]=[\arcsin({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}})]}$

${\displaystyle y={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {x^{2}}{x^{2}+1}}}$ (IV)

Kanıtlamamız gereken şeyi tahmin edelim:

${\displaystyle x={\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}}$

${\displaystyle x^{2}={\frac {y^{2}}{1-y^{2}}}}$ (V)

(V)'i (IV) ile değiştirirsek:

${\displaystyle y^{2}={\frac {\frac {y^{2}}{(1-y^{2})}}{{\frac {y^{2}}{(1-y^{2})}}+1}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {\frac {y^{2}}{(1-y^{2})}}{\frac {1}{(1-y^{2})}}}}$

Yani doğrudur: ${\displaystyle y^{2}=y^{2}}$ ve tahmin ettiğimiz ${\displaystyle x={\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}}$ ifadesi de doğruydu:

${\displaystyle [\arctan(x)]=[\arcsin({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}})]=[\arcsin(y)]=[\arctan({\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}})]}$

Şimdi y, x olarak yazılabilir; ve [arctan] cinsinden ifade edilen [arcsin]'i elde ettik...

${\displaystyle [\arcsin(x)]=[\arctan({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}})]}$

Benzer şekilde, eğer araştırırsak:${\displaystyle [\arccos(x)]}$....

${\displaystyle \cos[\arccos(x)]=x}$

${\displaystyle \cos({\frac {\pi }{2}}-({\frac {\pi }{2}}-[\arccos(x)]))=x}$

${\displaystyle \sin({\frac {\pi }{2}}-[\arccos(x)])=x}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-[\arccos(x)]=[\arcsin(x)]}$

${\displaystyle [\arccos(x)]={\frac {\pi }{2}}-[\arcsin(x)]}$

${\displaystyle [\arcsin(x)]}$'den ...

${\displaystyle [\arccos(x)]={\frac {\pi }{2}}-[\arctan({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}})]}$

${\displaystyle [\arccos(x)]={\frac {\pi }{2}}-[\operatorname {arccot}({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}})]}$

Ve son olarak [arctan] cindsinden ifade edilen [arccos]'u elde ettik...

${\displaystyle [\arccos(x)]=[\arctan({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}})]}$