У математици, рационалан број (понекад у разговору употребљавамо разломак) је број који се може записати као однос два цела броја a/b, где b није нула.^[1] На пример, −3/7 је рационалан број, као и сваки цео број (нпр. 5 = 5/1). Скуп свих рационалних бројева, који се такође називају „рационалним” вредностима,^[2] поље рационалних вредности^[3] или поље рационалних бројева обично се означава подебљаним Q (или ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, уникод вредношћу U+1D410 𝐐 mathematical bold capital q или U+211A ℚ double-struck capital q);^[4] како га је 1895. означио Ђузепе Пеано по речи quoziente, што је италијански за „квоцијент“, а први пут се појавио у Бурбакијевој Алгебри.^[5]

Сваки рационалан број може бити написан на бесконачан број начина, на пример ${\displaystyle {\frac {3}{6}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$. Најједноставнији облик је када бројилац и именилац немају заједничког делитеља (узајамно су прости), а сваки рационалан број различит од нуле има тачно једну једноставну форму са позитивним имениоцем. Рационални бројеви имају децимални развој са периодичним понављањем група цифара. Овде се рачуна и случај када нема децимала или када се од неког места 0 понавља бесконачно. Ово је истинито за сваку целобројну основу већу од 1. Другим речима, ако је развој исписа неког броја у некој бројној основи периодичан, он је периодичан у свим основама, а број је рационалан. Реалан број који није рационалан се зове ирационалан. Скуп свих рационалних бројева, који чине поље, означава се са ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Користећи скуповну нотацију ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ се дефинише као: ${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\},}$ где је ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ скуп целих бројева.

Децимално проширење рационалног броја се било завршава након коначног броја цифара (пример: 3/4 = 0.75), или на крају почиње да се понавља исти коначни низ цифара изнова и изнова (пример: 9/44 = 0.20454545...).^[6] Насупрот томе, свака децимала која се понавља или завршава представља рационалан број. Ови искази су тачни у бази 10, и у свакој другој целобројној бази (на пример, бинарној или хексадецималној).

Реалан број који није рационалан назива се ирационалан.^[5] Ирационални бројеви укључују √2, π, e, и φ. Децимално проширење ирационалног броја се наставља без понављања. Пошто је скуп рационалних бројева пребројив, а скуп реалних небројив, и скоро сви реални бројеви су ирационални.^[1]

Рационални бројеви се могу формално дефинисати као класе еквиваленције парова целих бројева (p, q) са q ≠ 0, користећи релацију еквиваленције дефинисану на следећи начин:

${\displaystyle \left(p_{1},q_{1}\right)\sim \left(p_{2},q_{2}\right)\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.}$

Разломак p/q тада означава класу еквиваленције (p, q).^[7]

Рационални бројеви заједно са сабирањем и множењем чине поље које садржи целе бројеве и налази се у било ком пољу које садржи целе бројеве. Другим речима, поље рационалних бројева је просто поље, а поље има карактеристику нула ако и само ако садржи рационалне бројеве као потпоље. Коначна проширења Q називају се поља алгебарских бројева, а алгебарско затварање Q је поље алгебарских бројева.^[8]

Иако се данас рационални бројеви дефинишу у виду односа, термин рационалан није изведен и речи ratio. Напротив, то је однос који је изведен из рационалног. Прва употреба речи ratio са његовим савременим значењем је посведочена на енглеском око 1660. године,^[9] док се употреба речи rational за квалификационе бројеве појавила скоро век раније, 1570. године.^[10] Ово значење рационалног потиче од математичког значења ирационалног, које је први пут коришћено 1551. године, а коришћено је у „преводима Еуклида (следећи његову особену употребу ἄλογος)“.^[11][12]

Ова необична историја потиче од чињенице да су стари Грци „избегли јерес тако што су себи забранили да мисле о тим [ирационалним] дужинама као бројевима“.^[13] Дакле, такве дужине су биле ирационалне, у смислу нелогичног, о чему се „не говори“ (ἄλογος на грчком).^[14]

Два рационална броја (разломка) ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ и ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ су једнаки ако и само ако важи ${\displaystyle ad=bc\,}$.

Два рационална броја се сабирају на следећи начин

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$

Правило множења гласи

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$

Адитивни и мултипликативни инверзни елемент постоји код рационалних бројева

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\qquad \,}$ и ${\displaystyle \qquad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}$ ако је ${\displaystyle a\neq 0\,}$

Следи да је количник два разломка дат са

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}}$

Сваки позитивни рационални број може бити представљен као збир различитих јединичних разломака, као што је

${\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}.}$

За сваки позитивни рационални број постоји бесконачно много начина да се број овако представи и то се зову египатски разломци. Код старих Египћана је овакав начин представљања био основа за све математичке радње.

Рационални бројеви се могу формирати као класе еквиваленције уређених парова целих бројева.^[7][15]

Тачније, нека (Z × (Z \ {0})) буде скуп парова (m, n) целих бројева таквих да n ≠ 0. Релација еквиваленције је дефинисана на овом скупу са

${\displaystyle \left(m_{1},n_{1}\right)\sim \left(m_{2},n_{2}\right)\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$^[7][15]

Сабирање и множење се могу дефинисати следећим правилима:

${\displaystyle \left(m_{1},n_{1}\right)+\left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right),}$

${\displaystyle \left(m_{1},n_{1}\right)\times \left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right).}$^[7]

Ова релација еквиваленције је релација конгруенције, што значи да је компатибилна са сабирањем и множењем дефинисаним горе; скуп рационалних бројева Q је дефинисан као количнички сет успостављен овом релацијом еквиваленције, (Z × (Z \ {0})) / ~, опремљен сабирањем и множењем изазваним горњим операцијама. (Ова конструкција се може извести са било којим интегралним доменом и производи његово поље разломака.)^[7]

Класа еквиваленције пара (m, n) означава се m/n. Два пара (m₁, n₁) и (m₂, n₂) припадају истој класи еквиваленције (то јест, еквивалентни су) ако и само ако је m₁n₂ = m₂n₁. То значи да је m₁/n₁ = m₂/n₂ ако и само ако је m₁n₂ = m₂n₁.^[7][15]

Свака класа еквиваленције m/n може бити представљена са бесконачно много парова, пошто

${\displaystyle \cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .}$

Свака класа еквиваленције садржи јединствени канонски репрезентативни елемент. Канонски представник је јединствени пар (m, n) у класи еквиваленције тако да су m и n међусобно прости, а n > 0. Ово се назива репрезентација у најнижим терминима рационалног броја.

Цели бројеви се могу сматрати рационалним бројевима који идентификују цео број n са рационалним бројем n/1.

Тотални ред се може дефинисати на рационалним бројевима, што проширује природни ред целих бројева. Постоји

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

ако

${\displaystyle (n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\qquad {\text{или}}\qquad (n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).}$

Рационалан број на Викимедијиној остави.

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Rational number”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• "Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource
• Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
• An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
• Efficient p-adic arithmetic (slides)
• Introduction to p-adic numbers