У математици две величине су у златном односу, ако је однос између две величине једнак односу суме те две вредности наспрам веће вредности. Слика на десној страни илуструје геометријски однос. Алгебарски, за количине a и b и a > b > 0,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi ,}$

грчко слово фи (${\displaystyle \varphi }$ или ${\displaystyle \phi }$) представља константу. Њена вредност је:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots .}$  A001622

Златни однос има и назив златни пресек (латински: sectio aurea).^[2][3]. Остали називи укључују крајња и средња размера^[4], екстремни однос, средишњи пресек, златна пропорција, и златни број.^[5][6][7] Sectio divina лат. (изговор: секцио дивина). Божанствени пресјек.^[8] Овај однос дужи примјењен на предметима, сликама итд. изазива посебан естетски доживљај – допадање, па отуда и назив „Божански пресјек“.^[8]

Златни однос се појављује у неким шаблонима у природи, укључујући phyllotaxis (спирално ређање листова) и у другим деловима биљака.

Математичари још од Еуклида су проучавали својства златног односа, укључујући појављивање у димензијама правилног петоугла и у златном правоугаонику, који може да се подели у квадрат и још један правоугаоник истог односа.

Теорија златног пресека започета је у антици, а свој процват имала је у ренесанси када су уметници, математичари, физичари и астролози тражили савршенство у композицијама познатих структура.

Херодот (484. - 424. п. н. е.) је записао: „Један египатски свештеник говорећи о облику Кеопсове пирамиде споменуо ми је да је квадрат над њеном висином једнак површини бочног троугла.”

${\displaystyle v={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi }}}$

${\displaystyle b={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi +2}}}$

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} {\sqrt {\varphi }}}$

${\displaystyle \beta =\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {\varphi }{2}}}}$

Грчки кипар Фидије у V веку п. н. е. применио је златни пресек у дизајну својих скулптура и градњи Партенона. Платон (грчки филозоф, V i IV век пне) у „Тимотеју” описује пет правилних геометријских тела као основу хармоничне структуре света. Златни пресек игра кључну улогу у димензијама и обликовању неких од ових тела. Питагорејци (око 500. године п. н. е.) долазе до једног од најважнијих открића у математици: дијагонала и страница квадрата (правилног петоугла) су несамерљиве.

${\displaystyle {\frac {d}{a_{5}}}=\varphi }$

Грчки математичар Еуклид први је овај број уочио и математички изразио. Око 300 година п. н. е. написао је књигу „Елементи” у којој наводи прву забележену дефиницију златног пресека.

Дата дужина се може поделити тако да правоугаоник обухваћен целом дужином и једним одсечком, буде једнак квадрату на другом одсечку.

${\displaystyle a(a-x)=x^{2}}$

${\displaystyle x^{2}+ax-a^{2}=0}$

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}a}$

Сва знања старих Грка објединио је римски архитекта Марко Витрувије у делу De architectura libri decem или Десет књига о архитектури, посвећеном императору Августу. Писао је о симетрији храмова, а њихове пропорције упоређује с размерама човечијег тела. Витрувије је уцртао људско тело у кружницу, што је касније поново интерпретирао Леонардо Да Винчи. Лука Пачоли (1446–1510) штампао је у Венецији 1509. дело De divina proportione, које је имало велики утицај и након којег златни пресек доживљава праву ренесансу. У њему описује хармонијске особине „божанске размере”. Књигу је илустровао Леонардо да Винчи.

Мартин Ом је 1835. године у другом издању уџбеника Die reine Elementar - Mathematik (Чиста елементарна математика) први пут користи термин златни пресек. Ознаку ${\displaystyle \varphi }$ је 1909. предложио амерички математичар Марк Бар у част славног старогрчког кипара Фидије (480–430. п. н. е.)

Бинарни	1.1001111000110111011...
Декадни	1.6180339887498948482...  A001622
Хексадецимални	1.9E3779B97F4A7C15F39...
Верижни разломак	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}$
Алгебарски облик	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
Бесконачни ред	${\displaystyle {\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}}}$

Две величине a и b су у златном односу φ ако

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$

Један метод за проналажење вредности φ је са решавањем леве стране. Упрошћавањем разломка и заменом у b/a = 1/φ,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.}$

Стога је,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .}$

Множењем са φ даје

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$

које може да се изрази као

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$

Коришћењем формуле за решавање квадратне једначине, добијају се два решења:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.61803\,39887\dots }$

и

${\displaystyle \varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.6180\,339887\dots }$

Зато што је φ однос између две позитивне вредности, φ је увек позитивна вредност:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.61803\,39887\dots }$.

Златни однос је ирационалан број. Испод су два кратка доказа o ирационалности:

Подсетимо се да:

целина је дужи део плус краћи део;

целина је дужи део као што је дужи део на краћи део.

Ако целину именујемо са n а дужи део са m, онда друга изјава постаје:

n је према m исто као што је m према n − m,

или, алгебарски

${\displaystyle {\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (*)}$

Тврдити да је φ рационалан значи да је φ однос n/m где су n и m цели бројеви. Можемо рећи и да n/m имају најниже вредности и да су n и m позитивни бројеви. Али ако је разломак n/m у најнижим вредностима, онда се идентитет обележава са (*) за горњу једначину m/(n − m) која и даље поседује најниже вредности. То је контрадикција која произлази из тврдње да је φ рационалан.

Још један кратак доказ — вероватно познатији — где ирационалност златног односа користи затвореност рационалних бројева код сабирања и множења. Ако је ${\displaystyle \textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ рационалан, онда је и ${\displaystyle \textstyle 2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)-1={\sqrt {5}}}$ такође рационалан, што је противречно чињеници да је квадратни корен од не-квадрата природног броја ирационалан.

Златни однос је такође и алгебарски број а чак и алгебарски цео број (комплексан број који је корен унарног полинома). Најмањи полином гласи:

${\displaystyle x^{2}-x-1}$

Због члана са степеном 2, овај полином у ствари има два корена, и друга вредност је сродник златном односу.

Друга корена вредност најмањег полинома x² - x - 1 је

${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.61803\,39887\dots .}$

Апсолутна вредност ове количине (≈ 0.618) одговара дужини односа у обрнутом смеру (дужина краће стране у односу на дужу страну, b/a), понекад позната под именом сродник златног пресека.^[9] Означава се великим словом фи (${\displaystyle \Phi }$):

${\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }=\varphi ^{-1}=0.61803\,39887\ldots .}$

• Златни правоугаоник

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Golden ratio”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• "Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Golden Section in Photography: Golden Ratio, Golden Triangles, Golden Spiral
• Weisstein, Eric W. „Golden Ratio”. MathWorld. 
• „Researcher explains mystery of golden ratio”. PhysOrg. 21. 12. 2009. .
• Knott, Ron. „The Golden section ratio: Phi”.  Information and activities by a mathematics professor.
• The Pentagram & The Golden Ratio. Green, Thomas M. Updated June 2005. Archived November 2007. Geometry instruction with problems to solve.
• Schneider, Robert P. (2011). „A Golden Pair of Identities in the Theory of Numbers”. arXiv:1109.3216  [math.HO].  Proves formulas that involve the golden mean and the Euler totient and Möbius functions.
• The Myth That Will Not Go Away Архивирано на сајту Wayback Machine (12. новембар 2020), by Keith Devlin, addressing multiple allegations about the use of the golden ratio in culture.