v celih od nič različnih številih x, y, z pri naravnemn > 2. Conrad in drugi so razširili Wilesova dognanja in dokazali popolno Tanijama-Šimurino domnevo. Posebej so pokazali, da lahko vsako eliptično krivuljo:
parametriziramo z modularno funkcijo (formo), kar pomeni, da obstajata takšni modularni funkciji f in g z y = f(z) in x = g(z), kjer ima eliptična krivulja obliko:
Eliptična krivulja je tako projekcija modularne funkcije in zato racionalnetočke na eliptični krivulji odgovarjajo racionalnim točkam na modularni krivulji. Wilesa je Fermatov problem navdušil že pri 10. letih, ko ga je videl prvič v neki knjigi. Navdušilo ga je delo Kennetha Alana Ribeta, ki je leta 1986 pokazal, da pravilnost Tanijama-Weilove domneve zagotavlja pravilnost Fermatovega velikega izreka.
Med svojim samotnim in skrivnostnim sedemletnim delom na dokazu Fermatovega problema Wiles ni počel skoraj nič drugega. Svoje zamisli in napredek je sporočal edino Nicholasu Katzu, drugemu profesorju v Princetonu. Na tem področju so mu odstirali pot Gerhard Frey, Barry Mazur, Ribet, Karl Rubin, Jean-Pierre Serre in mnogi drugi. Maja 1993 je uspel dokazati poseben primer Tanijama-Weilove domneve, kar je bilo dovolj za dokaz Fermatovega izreka. Svoje rezultate je prvič objavil junija med vrsto predavanj v Cambridgeu na Inštitutu za matematične znanosti Isaaca Newtona z nedolžnim naslovom Modularne forme, eliptične krivulje in Galoisove reprezentacije (Modular Forms, Elliptic Curves, and Galois Representations). Ni vnaprej napovedal teme predavanj, vendar se je na tretjem predavanju razvedelo, in število poslušalcev je dokaj naraslo. Ko so posledice predavanj postale znane, je vzbudil veliko vznemirjenje. Kot pa se velikokrat zgodi z zapletenimi dokazi zelo težkih problemov so morali še zapolniti nekaj lukenj v njegovih dokazih s pomočjo Richarda Taylorja vse do leta 1995. Prva različica dokaza je bila odvisna od t. i. Eulerjevega sistema, problema, ki ga je pomagal rešiti Taylor, tako da se je končna različica razlikovala od izvirne.
Priznanja
Nagrade
Za dokaz Fermatovega problema je Wiles leta 1996 prejel Wolfovo nagrado za matematiko. Njegov članek Modularne eliptične krivulje in Fermatov veliki izrek (Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem) so objavili v Annals of Mathematics 141:3 (1995), 443–551 z dodatnim člankom Kolobarsko teoretične značilnosti nekaterih Heckejevih algeber (Ring-Theoretic Properties of Certain Hecke Algebras) v soavtorstvu s Taylorjem (Annals of Mathematics 141:3 (1995), 553–582). Leta 2016 je za isti dokaz prejel še Abelovo nagrado.