Формула Карди — формула для предельной вероятности пробоя в двумерной задаче перколяции. Предсказанная в начале 1990-х годов Джоном Карди^[англ.] на основании рассуждений конформной теории поля, она утверждает, что предельная вероятность пробоя между дугами ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle [c,d]}$ границы односвязной области ${\displaystyle \Omega }$ в задаче критической перколяции равна

${\displaystyle \Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)}}\eta ^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {4}{3}},\eta \right)=1-{\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)}}(1-\eta )^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {4}{3}},1-\eta \right),}$

где ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ — гипергеометрическая функция, а ${\displaystyle \eta }$ — двойное отношение

${\displaystyle \eta ={\frac {x_{4}-x_{3}}{x_{3}-x_{1}}}:{\frac {x_{4}-x_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$

четырёх образов ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$ точек ${\displaystyle a,b,c,d}$ при конформном отображении области ${\displaystyle \Omega }$ в верхнюю полуплоскость. ^[1][2][3]

Эта формула была переформулирована Леннартом Карлесоном^[4] в следующем виде: если отображение, конформно переводящее область ${\displaystyle \Omega }$ в правильный треугольник со стороной 1, а точки ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ в вершины этого треугольника, переводит точку ${\displaystyle d}$ в находящуюся на расстоянии ${\displaystyle x}$ от вершины-образа точки ${\displaystyle c}$, то искомая вероятность равна^[5][2] ${\displaystyle x}$.

Для случая треугольной решётки эта формула была строго доказана в начале 2000-х годов Станиславом Смирновым с использованием техники дискретно-гармонических функций.^[5][2][6]

Вопрос о вероятности пробоя, для конкретной (трёхмерной) модели (упакованные в ящике заданного размера чёрные и белые шары) задавался ещё в 1894 году, в журнале American Mathematical Monthly. Де Вольсон Вуд предложил^[7] следующую задачу:

Стоит отметить, что опубликованное в этом номере решение П. Х. Филбрика было приближённым (в нём предполагалось, что наиболее вероятно существование пробоя по прямой); там же, редакторы предлагали опубликовать точное решение, если кто-нибудь его найдёт. Как мы теперь знаем, сделанное в приближённом решении предположение было далеко от истины.^[4]

В 1957 году Бродбент и Хаммерсли заложили основы математической теории перколяции в своей работе^[8], исходной точкой для которой послужило исследование просачивания газов сквозь угольный фильтр противогаза^[9].

В начале 1990-х появляется работа Ленглендса и др.^[10][11], в которой исследуются различные вероятности пробоя в прямоугольной области для шести различных моделей, и обнаруживается, что (в пределах точности численных экспериментов) эти функции для различных моделей совпадают. Кроме того, Айзенман^[англ.] высказывает^[12][13] гипотезу о конформной инвариантности вероятности пробоя.

Почти сразу после этого, Карди предлагает свою формулу для вероятности пробоя.^[1]

Формулой Карди задаётся ответ в задаче о пробое. А именно, рассматривается односвязная область ${\displaystyle \Omega }$ на плоскости, с четырьмя отмеченными точками ${\displaystyle a,b,c,d}$ на границе. При каждом ${\displaystyle \delta >0}$, эта область аппроксимируется решёткой с шагом (или масштабом) ${\displaystyle \delta }$ — в зависимости от задачи, квадратной, треугольной, или более сложной; так получается граф ${\displaystyle \Omega ^{\delta }}$ с отмеченными точками ${\displaystyle a^{\delta },b^{\delta },c^{\delta },d^{\delta }}$.

Для каждого ${\displaystyle \delta >0}$, находится вероятность пробоя в этом графе. А именно, вершины графа независимо, каждая с вероятностью 1/2, объявляются «открытыми» или «закрытыми», и искомая вероятность ${\displaystyle \Pi _{\delta }}$ это вероятность наличия пути от дуги ${\displaystyle [a^{\delta },b^{\delta }]}$ к дуге ${\displaystyle [c^{\delta },d^{\delta }]}$, идущего только по открытым вершинам.

Наконец, искомая вероятность пробоя определяется как предел «дискретизованных» вероятностей ${\displaystyle \Pi _{\delta }}$ при ${\displaystyle \delta }$, стремящемся к нулю:

${\displaystyle \Pi (\Omega ,[a,b],[c,d]):=\lim _{\delta \to 0}\Pi _{\delta }.}$

Предложенный Карди (с использованием конформной теории поля) ответ для вероятности пробоя был следующим:

• Вероятность пробоя конформно-инвариантна, то есть если между областями ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle \Omega '}$ есть конформное отображение ${\displaystyle \varphi }$, переводящее точки ${\displaystyle a,b,c,d}$ на границе ${\displaystyle \Omega }$ в точки ${\displaystyle a',b',c',d'}$ на границе ${\displaystyle \Omega '}$, то

${\displaystyle \Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])=\Pi (\Omega ';[a',b'],[c',d']).}$

Тем самым, достаточно задавать вероятность пробоя лишь для какой-нибудь одной односвязной области, причём три из четырёх точек ${\displaystyle a,b,c,d}$ могут быть зафиксированы.

• В верхней полуплоскости ${\displaystyle \mathbb {C} _{+}=\{Im\,z>0\}}$ для точек ${\displaystyle 0,1-u,1,\infty }$ вероятность пробоя выражается через гипергеометрическую функцию ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ как^[2]

${\displaystyle \Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)}}u^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {4}{3}},u\right).}$

Это представление может быть переписано как интеграл

${\displaystyle \Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {1}{\int _{0}^{1}(v(1-v))^{-2/3}dv}}\int _{0}^{u}(v(1-v))^{-2/3}dv.}$

Вскоре после появления формулы Карди, Леннарт Карлесон заметил^[4], что интеграл, стоящий в правой части интегрального представления, задаёт (как функция на верхней полуплоскости) конформное отображение верхней полуплоскости на правильный треугольник. Поэтому, формулу Карди можно упростить, рассмотрев в качестве области правильный треугольник, у которого три из четырёх отмеченных точек находятся в вершинах. В этом случае, вероятность пробоя оказывается равна просто отношению того из отрезков ${\displaystyle [a,b],[c,d]}$, который не является стороной треугольника, к стороне треугольника.

Формула Карди для случая треугольной решётки была доказана Смирновым с использованием техники дискретного комплексного анализа. Одним из шагов его доказательства явилось продолжение вероятности пробоя до функции на внутренности области. А именно, для дискретизованной области ${\displaystyle \Omega _{\delta }}$ с тремя отмеченными точками ${\displaystyle A_{\delta },B_{\delta },C_{\delta }}$ на границе, рассматривается функция ${\displaystyle h_{C,\delta }(z)}$ на этой области, задающая вероятность наличия открытого пути от дуги ${\displaystyle A_{\delta }C_{\delta }}$ до дуги ${\displaystyle B_{\delta }C_{\delta }}$ границы, отделяющего от дуги ${\displaystyle A_{\delta }B_{\delta }}$ точку ${\displaystyle z}$. Вероятность пробоя ${\displaystyle \Pi _{\delta }(\Omega _{\delta };[A_{\delta }B_{\delta }],[C_{\delta }D_{\delta }])}$ задаётся значением этой функции в граничной точке ${\displaystyle D_{\delta }}$.

Оказывается, что как для суммы трёх таких функций,

${\displaystyle h_{\delta }=h_{A,\delta }(z)+h_{B,\delta }(z)+h_{C,\delta }(z),}$

так и для их линейной комбинации

${\displaystyle s_{\delta }=h_{A,\delta }(z)+\tau h_{B,\delta }(z)+\tau h_{C,\delta }(z),\quad \tau =e^{2\pi i/3},}$

дискретно-антиголоморфный дифференциал ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ оказывается малым (и стремящимся к нулю с уменьшением шага ${\displaystyle \delta }$). Отсюда следует голоморфность предельных функций ${\displaystyle h=\lim _{\delta \to 0}h_{\delta }}$ и ${\displaystyle s=\lim _{\delta \to 0}s_{\delta }}$. Наконец, функция ${\displaystyle h}$ голоморфна и принимает только вещественные значения; тем самым, она оказывается постоянной и, в силу граничных значений, тождественно равной единице.

Анализ функции s показывает, что она конформно отображает область ${\displaystyle \Omega }$ в правильный треугольник, переводя точки A, B и C в точки ${\displaystyle 0,1,e^{\pi i/3}}$; формула Карди после этого восстанавливается, исходя из исследования поведения функций на границе.

• Austin D. Percolation: Slipping through the Cracks (англ.). American Mathematical Society Feature Column. Дата обращения: 8 сентября 2011. Архивировано 15 мая 2012 года.

• Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка. — Библиотечка «Квант». — Москва: Наука, 1982. — 265 с с.
• Cardy J. Critical percolation in finite geometries // J. Phys. A. — 1992. — Т. 25. — С. L201-L206.
• Smirnov S. Critical percolation in the plane. I. Conformal invariance and Cardy’s formula. II. Continuum scaling limit.  (неопр.)
• Smirnov S. Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy’s formula, scaling limits // C. R. Acad. Sci. Paris, ser. I. — 2001. — Vol. 333. — P. 239—244.
• Smirnov S. Critical percolation and conformal invariance (англ.) // XIVth International Congress on Mathematical Physics, Lisbon, Portugal, July 28 — August 2, 2003 / Zambrini, Jean-Claude (ed.). — Hackensack, NJ: World Scientific Publishing, 2006. — P. 99—112. — ISBN 978-9812562012.
• Beffara V. Cardy’s formula on the triangular lattice, the easy way  (неопр.). Дата обращения: 17 августа 2011. Архивировано из оригинала 31 августа 2012 года.
• Kesten H. Some Highlights on Percolation // Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Beijing 2002, August 20-28. — Т. 1. — С. 345--362. — ISBN 978-7040086904.