Сфери́ческая систе́ма координа́т — трёхмерная система координат , в которой каждая точка пространства определяется тремя числами
(
r
,
θ θ -->
,
φ φ -->
)
{\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}
, где
r
{\displaystyle r}
— расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
и
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
— зенитный и азимутальный углы соответственно.
Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии . Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости . В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.
Рис. 1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты
Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы
O
x
y
z
{\displaystyle Oxyz}
, фундаментальной плоскостью будет плоскость
x
y
{\displaystyle xy}
, зенитным углом точки, заданной радиус-вектором
P
{\displaystyle P}
, будет угол между
P
{\displaystyle P}
и осью
z
{\displaystyle z}
, а азимутом — угол между проекцией
P
{\displaystyle P}
на плоскость
x
y
{\displaystyle xy}
и осью
x
{\displaystyle x}
. Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат .
Определения
Положение точки
P
{\displaystyle P}
в сферической системе координат определяется тройкой
(
r
,
θ θ -->
,
φ φ -->
)
{\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}
, где
r
⩾ ⩾ -->
0
{\displaystyle r\geqslant 0}
— расстояние от начала координат до заданной точки
P
{\displaystyle P}
.
0
∘ ∘ -->
⩽ ⩽ -->
θ θ -->
⩽ ⩽ -->
180
∘ ∘ -->
{\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}
— угол между осью
z
{\displaystyle z}
и отрезком, соединяющим начало координат и точку
P
{\displaystyle P}
.
0
∘ ∘ -->
⩽ ⩽ -->
φ φ -->
<
360
∘ ∘ -->
{\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }}
— угол между осью
x
{\displaystyle x}
и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой
P
{\displaystyle P}
, на плоскость
x
y
{\displaystyle xy}
(см. рис. 1).
Угол
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
называется зенитным , или полярным , также он может называться наклонением , или коширотой , а угол
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
— азимутальным . Углы
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
и
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
не определены при
r
=
0
{\displaystyle r=0}
, также не определён угол
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
при
sin
-->
(
θ θ -->
)
=
0
{\displaystyle \sin(\theta )=0}
(то есть при
θ θ -->
=
0
{\displaystyle \theta =0}
или
θ θ -->
=
180
∘ ∘ -->
{\displaystyle \theta =180^{\circ }}
).
Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11 ). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
, используется угол между радиус-вектором точки
P
{\displaystyle P}
и плоскостью
x
y
{\displaystyle xy}
, равный
90
∘ ∘ -->
− − -->
θ θ -->
{\displaystyle 90^{\circ }-\theta }
. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
. Широта может изменяться в пределах
− − -->
90
∘ ∘ -->
⩽ ⩽ -->
θ θ -->
⩽ ⩽ -->
90
∘ ∘ -->
{\displaystyle -90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }}
. При этом соглашении углы
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
и
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
не имеют значения при
r
=
0
{\displaystyle r=0}
, так же как и в первом случае, а
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
не имеет значения при
cos
-->
(
θ θ -->
)
=
0
{\displaystyle \cos(\theta )=0}
(то есть при
θ θ -->
=
− − -->
90
∘ ∘ -->
{\displaystyle \theta =-90^{\circ }}
или
θ θ -->
=
90
∘ ∘ -->
{\displaystyle \theta =90^{\circ }}
).
Переход к другим системам координат
Если заданы сферические координаты точки
(
r
,
θ θ -->
,
φ φ -->
)
{\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}
, то переход к декартовым осуществляется по формулам:
{
x
=
r
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
φ φ -->
,
y
=
r
sin
-->
θ θ -->
sin
-->
φ φ -->
,
z
=
r
cos
-->
θ θ -->
.
{\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}
Обратно, от декартовых к сферическим:
{
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
,
θ θ -->
=
arccos
-->
z
x
2
+
y
2
+
z
2
=
a
r
c
t
g
x
2
+
y
2
z
,
φ φ -->
=
a
r
c
t
g
y
x
.
{\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}}
Якобиан преобразования к сферическим координатам равен
J
=
∂ ∂ -->
(
x
,
y
,
z
)
∂ ∂ -->
(
r
,
θ θ -->
,
φ φ -->
)
=
|
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
φ φ -->
r
cos
-->
θ θ -->
cos
-->
φ φ -->
− − -->
r
sin
-->
θ θ -->
sin
-->
φ φ -->
sin
-->
θ θ -->
sin
-->
φ φ -->
r
cos
-->
θ θ -->
sin
-->
φ φ -->
r
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
φ φ -->
cos
-->
θ θ -->
− − -->
r
sin
-->
θ θ -->
0
|
=
=
cos
-->
θ θ -->
(
r
2
cos
-->
φ φ -->
2
cos
-->
θ θ -->
sin
-->
θ θ -->
+
r
2
sin
2
-->
φ φ -->
cos
-->
θ θ -->
sin
-->
θ θ -->
)
+
r
sin
-->
θ θ -->
(
r
sin
2
-->
θ θ -->
cos
2
-->
φ φ -->
+
r
sin
2
-->
θ θ -->
sin
2
-->
φ φ -->
)
=
=
r
2
cos
2
-->
θ θ -->
sin
-->
θ θ -->
+
r
2
sin
2
-->
θ θ -->
sin
-->
θ θ -->
=
=
r
2
sin
-->
θ θ -->
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}}
Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:
d
V
=
d
x
d
y
d
z
=
J
(
r
,
θ θ -->
,
φ φ -->
)
d
r
d
θ θ -->
d
φ φ -->
=
r
2
sin
-->
θ θ -->
d
r
d
θ θ -->
d
φ φ -->
{\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:
{
ρ ρ -->
=
r
sin
-->
θ θ -->
,
φ φ -->
=
φ φ -->
,
z
=
r
cos
-->
θ θ -->
.
{\displaystyle {\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}
Обратно от цилиндрических к сферическим:
{
r
=
ρ ρ -->
2
+
z
2
,
θ θ -->
=
a
r
c
t
g
ρ ρ -->
z
,
φ φ -->
=
φ φ -->
.
{\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z}},\\\varphi =\varphi .\end{cases}}}
Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим
J
=
r
{\displaystyle J=r}
.
Дифференциальные характеристики
Вектор
d
r
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} }
, проведённый из точки
(
r
,
θ θ -->
,
φ φ -->
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
в точку
(
r
+
d
r
,
θ θ -->
+
d
θ θ -->
,
φ φ -->
+
d
φ φ -->
)
{\displaystyle (r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )}
, равен
d
r
=
d
r
r
^ ^ -->
+
r
d
θ θ -->
θ θ -->
^ ^ -->
+
r
sin
-->
θ θ -->
d
φ φ -->
φ φ -->
^ ^ -->
,
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,}
где
r
^ ^ -->
=
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
φ φ -->
ı ı -->
^ ^ -->
+
sin
-->
θ θ -->
sin
-->
φ φ -->
ȷ ȷ -->
^ ^ -->
+
cos
-->
θ θ -->
k
^ ^ -->
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}}
θ θ -->
^ ^ -->
=
cos
-->
θ θ -->
cos
-->
φ φ -->
ı ı -->
^ ^ -->
+
cos
-->
θ θ -->
sin
-->
φ φ -->
ȷ ȷ -->
^ ^ -->
− − -->
sin
-->
θ θ -->
k
^ ^ -->
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}}
φ φ -->
^ ^ -->
=
− − -->
sin
-->
φ φ -->
ı ı -->
^ ^ -->
+
cos
-->
φ φ -->
ȷ ȷ -->
^ ^ -->
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}
ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения
r
,
θ θ -->
,
φ φ -->
{\displaystyle r,\theta ,\varphi }
, соответственно, а
ı ı -->
^ ^ -->
,
ȷ ȷ -->
^ ^ -->
,
k
^ ^ -->
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}
— единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:
g
i
j
=
(
1
0
0
0
r
2
0
0
0
r
2
sin
2
-->
θ θ -->
)
,
g
i
j
=
(
1
0
0
0
1
r
2
0
0
0
1
r
2
sin
2
-->
θ θ -->
)
{\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}
det
(
g
i
j
)
=
r
4
sin
2
-->
θ θ -->
.
{\displaystyle \det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\ }
Квадрат дифференциала длины дуги :
d
s
2
=
d
r
2
+
r
2
d
θ θ -->
2
+
r
2
sin
2
-->
θ θ -->
d
φ φ -->
2
.
{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.}
H
r
=
1
,
H
θ θ -->
=
r
,
H
φ φ -->
=
r
sin
-->
θ θ -->
.
{\displaystyle H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .}
Γ Γ -->
22
1
=
− − -->
r
,
Γ Γ -->
33
1
=
− − -->
r
sin
2
-->
θ θ -->
,
{\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,}
Γ Γ -->
21
2
=
Γ Γ -->
12
2
=
Γ Γ -->
13
3
=
Γ Γ -->
31
3
=
1
r
,
{\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},}
Γ Γ -->
33
2
=
− − -->
cos
-->
θ θ -->
sin
-->
θ θ -->
,
Γ Γ -->
23
3
=
Γ Γ -->
32
3
=
c
t
g
θ θ -->
.
{\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .}
Остальные равны нулю.
Математическое моделирование Земли
Сферическая географическая система координат
Сферическая географическая система координат строится следующим образом[ 1] :
её начало помещено в центр Земли ;
полярная ось направлена по оси вращения Земли;
координата
r
{\displaystyle r}
отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
полярный угол
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
есть коширота (дополнение географической широты до
90
∘ ∘ -->
{\displaystyle 90^{\circ }}
);
азимутальный угол
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
совпадает с географической долготой (восточной).
Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
имеет компоненты
B
r
=
− − -->
B
sin
-->
I
,
B
θ θ -->
=
− − -->
B
cos
-->
I
cos
-->
D
,
B
φ φ -->
=
B
cos
-->
I
sin
-->
D
,
{\displaystyle B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,}
где
I
{\displaystyle I}
— магнитное наклонение ;
D
{\displaystyle D}
— магнитное склонение .
Компоненты вектора ускорения свободного падения
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
равны
g
r
=
− − -->
g
,
g
θ θ -->
=
g
φ φ -->
=
0.
{\displaystyle g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.}
Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли
Ω Ω -->
{\displaystyle \mathbf {\Omega } }
такие:
Ω Ω -->
r
=
Ω Ω -->
cos
-->
θ θ -->
,
Ω Ω -->
θ θ -->
=
− − -->
Ω Ω -->
sin
-->
θ θ -->
,
Ω Ω -->
φ φ -->
=
0.
{\displaystyle \Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.}
В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства[ 1] .
Сферическая геомагнитная система координат
Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом[ 1] :
её начало помещено в центр Земли ;
полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса ;
координата
r
{\displaystyle r}
отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
полярный угол
Θ Θ -->
{\displaystyle \Theta }
есть геомагнитная коширота (дополнение магнитной широты
Φ Φ -->
{\displaystyle \Phi }
до
90
∘ ∘ -->
: : -->
Θ Θ -->
=
π π -->
/
2
− − -->
Φ Φ -->
{\displaystyle 90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi }
);
азимутальный угол
Λ Λ -->
{\displaystyle \Lambda }
совпадает с геомагнитной долготой, отсчитываемой к востоку от плоскости в западном полушарии , содержащей географический и геомагнитный полюсы.
Географические координаты северного магнитного полюса равны
θ θ -->
0
=
4
,
6
∘ ∘ -->
,
φ φ -->
0
=
43
,
0
∘ ∘ -->
(
2012
)
.
{\displaystyle \theta _{0}=4,6^{\circ },\;\varphi _{0}=43,0^{\circ }\;(2012).}
В сферической геомагнитной системе координат склонение
D
=
0
{\displaystyle D=0}
и
B
r
=
− − -->
B
sin
-->
I
,
B
Θ Θ -->
=
− − -->
B
cos
-->
I
,
B
Λ Λ -->
=
0
,
{\displaystyle B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,}
g
r
=
− − -->
g
,
g
Θ Θ -->
=
g
Λ Λ -->
=
0.
{\displaystyle g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.}
Ω Ω -->
r
=
Ω Ω -->
(
cos
-->
θ θ -->
0
cos
-->
Θ Θ -->
− − -->
sin
-->
θ θ -->
0
sin
-->
Θ Θ -->
cos
-->
Λ Λ -->
)
,
{\displaystyle \Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ),}
Ω Ω -->
Θ Θ -->
=
− − -->
Ω Ω -->
(
cos
-->
θ θ -->
0
sin
-->
Θ Θ -->
+
sin
-->
θ θ -->
0
cos
-->
Θ Θ -->
cos
-->
Λ Λ -->
)
,
{\displaystyle \Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda ),}
Ω Ω -->
Λ Λ -->
=
Ω Ω -->
sin
-->
θ θ -->
0
sin
-->
Λ Λ -->
.
{\displaystyle \Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .}
Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты[ 1] :
cos
-->
Θ Θ -->
=
cos
-->
θ θ -->
0
cos
-->
θ θ -->
+
sin
-->
θ θ -->
0
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
(
φ φ -->
− − -->
φ φ -->
0
)
,
{\displaystyle \cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),}
cos
-->
Λ Λ -->
=
− − -->
sin
-->
θ θ -->
0
cos
-->
θ θ -->
+
cos
-->
θ θ -->
0
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
(
φ φ -->
− − -->
φ φ -->
0
)
sin
-->
Θ Θ -->
,
{\displaystyle \cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0})}{\sin \Theta }},}
cos
-->
θ θ -->
=
cos
-->
θ θ -->
0
cos
-->
Θ Θ -->
− − -->
sin
-->
θ θ -->
0
sin
-->
Θ Θ -->
cos
-->
Λ Λ -->
,
{\displaystyle \cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,}
cos
-->
(
φ φ -->
− − -->
φ φ -->
0
)
=
sin
-->
θ θ -->
0
cos
-->
Θ Θ -->
+
cos
-->
θ θ -->
0
sin
-->
Θ Θ -->
cos
-->
Λ Λ -->
sin
-->
θ θ -->
.
{\displaystyle \cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta }}.}
В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах, описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства[ 1] .
См. также
Примечания
↑ 1 2 3 4 5 Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 172—173. ISBN 5-02-000716-1
Ссылки
Название координат Типы систем координат Двумерные координаты Трёхмерные координаты
n
{\displaystyle n}
-мерные координатыФизические координаты Связанные определения